Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. вектор (2-53) направлен внутрь области 6 или обращается в нуль. В точках стыка траекторий двух указанных типов должно выполняться одно из следующих условий скачка: ф (т) = ~> (т) + р игад у [х (т)) $ (т)+ ригами л[х(т)]= — О, р ~. О, (2-54) или (2-55) (2-56) гле р — вещественное число. Ксли участок траектории, содержащий точку стыка, лежит на границе д (х) =- О, то Виды некоторых оптимальных процессов 1. Процесс с ограничением по модулю первой и второй производных: Вх .
Ыех где х„„х„, — постоянные. Начальные условия: х (О) = О, х (О) — О. вйх Б соответствии с принципом максимума управление и* =— ам будет равно х„, до тех пор, пока х остается меньше хео При этом х и х, очевидно, изменяются по закону х=х„,с, Это соответствует отрезку траектории, лежащей внутри области 6. В момент хт мы попадаем на границу области. Далее х остается постоянной и равной х„„а х изменяется по закону х=х ы ' Чтобы прийти в точку О с нулевой скоростью, мы должны в некоторый момент времени начать торможение. Так же как и в задаче с ограниченной второй производной, так как начальные и конечные значения скорости равны, кривая х (с) должна быть симметричной относительно точки 1/2 х„(рис.
2-7). Оптимальные фазовые траектории показаны на рис. 2-8. Случай одновременного ограничения нескольких координат детально изучен А. Я. Лернером И01) с помощью пространства состояний и метода изохрон. 2, Пространством состояний названо многомерное пространство, в котором по осям отложены все значения координат системы, включая входную. Каждому заданному закону иаменения входной координаты х„, = и в пространстве состояний соответствует единственная кривая, определяющая протекание процесса з системе, но вместе с тем через каждую точку пространства состояний проходит бесчисленное множество траекторий, определяемых законом изменения и.
Ограничения рассматриваемого типа выделяют в пространстве состояний область допустимых состояний (В-область). Рассмотрим в области Я некоторую точку а, и найдем геометрическое место точек, из которых путем выбора надлежащего аакона изменения управляющего воздействия, мы попадаем в точку а, за одно и то же время (рис. 2-9). «~п ау. Рис.
2-8. Рис. 2-7. Построить зги точки можно, приняв точку а, за начальную, задав некоторый произвольный закон изменения управления и отсчитывая время в обратном направлении. Эти геометрические места точек дают так называемую область изохрон И, для 2 = 2„ Из для 2 = 2, и т. д. Точка а„относительно которой выделяется область изохрон, нааывается полюсом изохрон. Можно также построить оба~ пасть изохрон для кривой. Область изохрон обладает следующими свойствами: $. Для любого положительного 8; область изоао хрон имеет то же число измерений, что и пространство состояний, а все радиусы-векторы, проведенные в любую точку границы области изохрон, для любого положительного 8; имеют конечную длину.
2. Каждая точка области изохрон для времени 8„ принадлеРис. 2-9. жит также и области изохрон для большего времени 8з ) 2„. Если точка, изображающая начальное состояние, находится на границе области изохрон с временем 2„, то переход из атой точки за время 8 в полюс изохрон возможен только при условии движения изображающей точки по траектории, состоящей из отреаков кривых, располонгенных на границе Я-области, и отрезков прямых, параллельных оси входной коор- динаты системы, соответствующих скачкам координаты (рис.
2-10). Число т этих скачков, необходимых для приведения системы в заданное состояние за минимальное время, можно определить следующим образом. Пусть система представлена в виде последовательного соеди- нения звеньев первого порядка (рис. 2-11). Это, очевидно, воз- можно, если все корни характеристического уравнения системы вещественны. Допустим, что ограничение палок»ено только на входную координату х„„. Тогда, как это следует кз теоремы об и интервалах число переключений, не превышает и — 1 (т. е. число интервалов не а превышает и). Введем в рассмотрение число скачков т, которое равно 0 числу переключений координаты х„„ а, плюс начальный скачок (включение) и конечный скачок (отключение).
'1'аким образом, число скачков при ограничении только координаты х„эд не больше и + 1, т. е. индекса этои координаты. Ркс. 2-10. Пусть теперь, кроме входной, ограничены также координаты х»ды х„„» ) р. Если бы ограничение накладывалось только на координату хрл, то она совершила бы не более р + 1 скачнов; эо так как ограничение наложено и на старшую по отнодпению Рвс. 2-11.
к х„, координату х» „, то, для того чтобы хрдд смогла совершить скачок, может потребоваться 1 — р + 1 скачков координаты х» „ а для скачка координаты х, „в свою очередь, может потребоваться и — д + 1 скачков координаты т„„. Таким образом, общее число скачков будет не более т = (и — »+1) (» — р+ 1)(р+1), пли, обозначая и — »=г и» вЂ” р=г, т=(г+ 1) (а+1) (р+ 1), (2-57) где г, г, р — разности индексов двух ближайших друг к другу ограниченных координат (для младшей координаты хр+д это 33 будет разность между ее индексом и индексом выходной величикы х,).
Если ограничены все координаты, то число скачков пе будет превышать 2", так как разность двух смежных индексов равна единице, каждая из скобок в произведении (2-57) равна двум, а число скобок равно числу звеньев и. На рис. 2-12 показан ряд процессов перевода системы из одного установившегося состояния равновесия в другое при ограничениях, налагаемых па различные производные. Схема рис. 2-11 при этом будет состоять из интегрирующих звеньев.
На рис. 2-12,а показан процесс в системе при ограничении только первой производной. Порядок уравнения п =- 1 и т ==- и+ 1 = 2, т. е. имеется два скачка (включение и отключение), один интервал и число переключений равно нулю. На рис. 2-12, б показан процесс при ограничении третьей производной, т = и + 1 = 3 + 1 == 4. Я На рис. 2-12, и ограничены третья и первая производная, ьо р =- 3 — 1 =- 2, г=1 — 0= = 1, т=(р+1) (г+1)=6.На рис. 2-12,г ограничены третья, вторая и первая производные, т = 2з = 8.
На рис. 2 12, д г ограпичепа четвертая производ- д ная, т = 5; на рис. 2-12, е ограничены четвертая и вторая Рис. 2-13. производные, т == (2+ 1) (2+ 51)=-9; па рис. 2-12, ж ограничены четвертая, третья и вторая производные, т =- (1 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 12; па рис. 2-12, е ограничены все четыре производные, т = 2' = 16.
Если исходное и конечное состояния систем равновесны, (х®(0) =х'"'(Т)=0, й=1, 2, ..., п — 1), то число скачков точно равно т, определяемому из (2-57), если же начальные условия произвольны, то число скачков может быть и меньшим. Минимальное число скачков, очевидно, равно двум, что соответствует отсутствию переключений. 3. Задача А. А. Фельдбаума об оптимальной погоне.
Задача об оптимальной погоне детально рассматривалась в ряде работ. Мы рассмотрим здесь лишь простейшую задачу, которая была по времени первой [180]. Пусть к динамической системе приложено некоторое задающее воздействие х,(1) (рис. 2-13).(Это, например, может быть информация о траектории движения влипая<а, который мы должны догнать.) Требуется осуществить управление таким образом, чтобы при ограничении по модулю ускорения нашей системы бб Н~ — ~(А координата х(1) стала бы за возможно кратчайшее нн время Т равной х, (Т), причем в точке А встречи должны выполняться условия касания кривых в-го порядка: х(Т) =х„(Т). (2-58) Функцию х (1), удовлетворяющую поставленному ограничению, будем нааывать допустимой.
Считаем, что функция х, (~) также является допустимой. б) 1 а г) Э Ю Э Ф В Э Ркс. 2-14. рассматриваемая система является неавтономной, но на нее также может быть распространен принцип максимума. Оптимальное движение здесь также будет обладать кусочно-постоянной второй производной — -= -~ А. А' (2-59) Интегрируя, получаем х=х -Рх с-4 — Р=Л + — (С вЂ” (ь), А А н н — 3 3 (2-60) где х„, х„— значения координаты и первой производной в начале рассматриваемого интервала; ) и р — постоянные, очевидным образом зависящие от х„и х„.
Движение совершается по параболе, которая при изменениях Х и )ь сохраняет форму, но перемещается так, что ее ось остается параллельной оси х. т1тобы построить оптимальный процесс, вырежем два парабо- 1 лических шаблона х=-- АР. Задав начальные значения х (О) =- О, х' (О): — х„, проведем кз начала координат прямун> ОМ с угловым коэффициентом .г (О) и расположим первую параболу так, чтобы она проходила через начало координат, касалась бы построенной прямой и ось се была бы параллельпои оси х (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
