Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 8
Текст из файла (страница 8)
п, а=э (2-7) Введем функцию 21 переменных х„..., х„, ф„,.,, ф„, и г Л" (ф х, п) = ~Ч~ фг7г(х, и). (2-8) а 0 Тогда уравнения (2-6) и (2-7) можно объединить в одну систему уравнений, называемую гамильтоновой системоп: сЬ; доем" ~й дф ч~, а,Тс- Вг ах; (2-9) 1=0,1,2, .,и. где гг [ф (1), х(1)! = зпр Л (ф х, и); (2-11) зги 2) в конечный момент времени 1 = Т выполнялись бы соотноигения $г(Т)=0, Ж[ф(Т), х(Т)]=0. (2-12) Далее в [17] показано, что если величины $ * (1), х* (1) и и* (1) удовлетворяют системе (2-8), (2-9) н условиям (2-10) и (2-11), то функции ~уг (1) и ыс [ф * (1), х * (1)] переменного 1 являются постоянными, так что проверку соотношений (2-12) можно производить в любой момент 1 (а не обязательно 1 = Т).
Таким образом, для оптимальности и (1) необходимо, чтобы ОЯ" в любой момент времени равнялась нулю, будучи отрицательной при неоптимальных управлениях. Условия, сформулированные в теореме, являются необходимыми, но, строго говоря, недостаточными. Если найдена траектория, удовлетворяющая этим условиям, то из этого еще не следует, что эта траектория оптимальна. Но если каким-либо образом доказано, во-первых, что оптимальная траектория существует, т.
е. 38 Пусть существует такое допустимое управление и (1), что соответствующая ему фааовая траектория проходит через точки (О, ХМО ХМЧ ... Х„,) И $, Хмп Хгт ..., Хьх), ГдЕ З = Х, (Т) — ПранэВОЛЬНОЕ ЧИСЛО. Л. С. Понтрягиным доказана [131, 132] следующая теорема: Для того, чтобы управление и (1) было оптимальны,м, необходимо, чтобы существов ла такая ненулевая непрерывная векторфункиия ф (1) = Ьуг (1), ~уг (1), ..., $„(1)], соответствующая в силу урав- нениЯ (2-9) фУнкиилм и (1) = [иг (1), иг (1), ..., и„(1)! и х (1) = [хг (1), х, (1), ..., х„(1)], чтобы: 1) при любом 1, взятом в рассматриваемом интерв ле времени 0(1( Т, функция:Л [$ (1), х (1), и], рассматриваемая как функиия переменного и~ (7, достигала в точке п = и в (1) максимума Л [ф* (1), х* (1), и' (1)! = ыс [ф (1), х (1)], (2-10) -'уГ ='ре+ ~~ !р4т(х, и).
т=! Обозначим уравнения (2-8) и (2-9) теперь принимают вид: дН дН дх! 2,...,п, (2-13) а условия (2-10) — (2-12) записываются так: Н(ар*(1), х*(1), п*(1)1=- М(зр(!), х(1)1= — !рз)0, (2-14) где М(зр, х) =М (зр, х) — !ре. Н р н м е р 1. Дано уравнение (2-15) причем на управленне и наложено ограничение ~и~(1. (2-15) Определим условня быстрейшего перехода фазовой точки нз заданного начального положения хзе, х,а в начало координат. Уравнение (2-15) преобраауем к виду дх! — = ха; д! (2 17) дхз — = и.
д! Функция Н имеет внд: Н = фгхз + !гзв. (2-15) Это лннейыая функция переменной в, н свои наибольшие значения она может крнннмать на граннцах интервала — 1 ( и ( 1. что система управляема, и, во-вторых, что найденная траектория, проходящая через точки (О, хд„..., ха,) и ($, х„„..., таа), единственна, то зта траектория и будет оптимальной. Теорема, изложенная выше, и называется принципом максимума (17, 16). В случае оптимизации по быстродействию имеем л = Т, ус (х, и) = 1, и функция оуд' принимает вид: Для вспомогательных переменных ф, и ф в соответствии с (2-13) получаем следующие уравнении: дфс дН с)с дх, (2-19) Откуда фс = с„фэ = с, — с,с, где сс и с, — постоянные. Управление и найдем иэ следующих соображений. При положительных фз прямая Н в функции в имеет положительный наклон к оси и и максимум Н достигается на правой границе интервала — 1 —.-и(1, т.
е. при и.=-+1. При отрицательных ф наклон прямой будет также отрицательным и максимум х Н будет достигаться на левом конце интервала, т. е, при и =- — 1. Это можно записать так: в (с) = зсйп ф, (с) = эсяп (с, — с,с). (2-20) Заметим, что если бы вависимость Н от и определялась не выражением (248), а была нелинейной, то максимум Н мог бы достигаться нак на концах интервала, так и в его середине,поэтому потребовалось бы исследование функции Н(и)на максимум в пределах интервала — 1 ~ и «1.
Линейная функция с, — ссс на Р . 2-2. Рис. 2- . отрезке 0 ( с( Т меняет знак не более одного раза (на любом отрезке С, ( с -=. с, она меняет знак только один раз). Поэтому и (с) представляет собою кусочно-линейную функцию, принимающую аначенил -с- 1 и имеющую ке более двух интервалов постоянства. Оптимальная система в данном случае оказывается релейной. Такого рода системы, но иными методами, исследовались в [100, 179). Для определения моментов переключения найдем на основании уравнений (2-17) значения переменных хс и хс для и = 1, равные хз = хю+ С 1 хс = — С'+ хсас+ хсз — — (С+ хаа) + ~хса — — '~) = — "+ А, 2 Фаэовые траектории в плоскости хс, хс представляют собой отрезки парабол с вершинами, расположенными на оси хс, и с ветвями, расположенными справа от вершин (рис.
2-2, кривые 1). При и = — 1 имеем сс хс — хао с хс — + хюс + хсо— 2 1 х'„,' хс = — — ( — с + х„,)' + (х, а+ - -' ) = — — + В. 2 а , 2с= (2-22) Фазовые траектории — параболы с вершинами на вещественной оси и ветвями, направленными влево от вершин (рис. 2-2, кривые 2). Изменение знака и (переключение) происходит не более одного раза, поэтому оно может происходить лишь на той траектории, которая проходит 40 через конечную точку — начало координат (на рис.
2-2 показана жирной сплошной линией). Фазовые оптимальные траектории показаны на рис. 2-2 сплошными линиями. Полученное решение применимо и к задаче об оптимальном по быстродействию управлении системой, у которой ограничено значение второй производной. Для этой цели мы принимаем ограниченную вторую производную в качестве управления и получаем уравнение (2-$5). Первоначально подобная задача была решена в (100, 179) на основании следующих физических соображений. о*=х Вначале, чтобы получить наибыстрейший разгон системы, следует наращивать скорость наиболее интенсивно, т. е.
с максимально воаможным ускорением. Но чтобы система пришла в заданную точку с нулевой скоростью, ее придется в какой-то момент времени хз до прихода в заданную точку начать тормозить. При этом чем интенсивнее торможение, тем О l поаже оно может быть начато, тем больше средняя скорость перехода и тем меньше время торможения. Следовательно, торможение также должно совертпаться с максимальной интенсивностью при предельном значении отри- ~(ательного ускорения. Таким образом, оптимальный процесс должен состоять из двух интервалов: разгона при предельном ускорении и торможении при Рис. 2-3. предельном замедлении. Принцип максимума дает, как мы видели, строгое математическое обоснование этого рассуждения.
Кривые оптимального процесса х х (8) и управления и * = — Ызх/с(тз при нулевых начальных условиях и значениях !и .==- 1, Т =- 2 покаааны на рис. 2-3. П р и м е р 2. Дано уравнение х + 2ах + ю'„-х .—..- и, ( и ~ -. 1. Приведем его, положив х =- хю к виду ехт — = хз; л) ххз — — =- — ю(хт — 2ахз + и. й (2-23) (2-24) Составим функцию Н: Н = фсхз сензфзхс — 2Ьфсие + фзи.
(2-25) Уравнения для функций ф имеют вид: Сфс 6Н вЂ” = — — = сэсф; асс дзс —,-'- = — — = 2Ьф,-фо (2-26) Корни характеристического уравнения р ые ' ~ =р — 2Ьр+ы,'=0; 1 р — 2Ь рс,з =" ~ УЬ~ юе' Так же как и в предыдущем примере, оптимальное управление и* (с) = з)бп ф, = з)йп ~ — с —,,". ежс + ~~,з е"'с1, (2-29) ыо ыа Определим, сколько раз ф, изменяет знак или сколько раз фз по мере иаменения с обращается в нуль. Если ф = О, то — еш = — — ещ р,Ас с рзАз ы, 'шее илп есг* реАз ' с— (2-30) Рз — Рс В зависимости от начальных условий решений для с либо нет совсем (если число, стоящее под знаком логарифма отрицательно), либо существует единственное значение с, при котором ф обращается в нуль.
Итак, число переключений — не больше одного. По если вид функции и* (с) в рассматриваемой задаче определяется так же просто, как и в предыдущей, то с определением момента переключения дело обстоит значительно сложней. Путь непосредственного вычисления с по формуле (2-30) требует предварительного вычисления постоянных Ас и Аз по начальным условиям, и вычислительное устройство для такого метода решения задачи получится достаточно сложным. Попробуем другой путем установим связь между значениями з и с(хЬСС. РасшиРим заДачУ, положив (и1 =- ии. Обовначив и хе= х — —, юе отличаются от корней характеристического уравнения системы (2-24) лишь знаком Ь. Рассмотрим два случая: 1.
(Ь~ > )сэе); корни характеристического уравнения вещественны. При этом фс = фж+ Асе"'с + Азег'с; (2.27) ф 1 'Сфс рсАс ежс ) рзАз ег,с (2-28) ы' „~се охг — = хг; 1! = г(хг — = — в„"-х, — 2йх, ,1г — г г (2-31) Дифференциальное уравнение фазозой траектории йхг .х — = — — 2й — взг— г!х, 'хг южстановкой г = хг!х, сведем к виду г(г в~9 ° +х,— = — 2й — — ", зх, г ' Разделяя переменные, получим г яг Ыт~ г' + 2йг + воз хг ' (2-32) При вещественных корнях знаменателя уравнение (2-32) имеет решение г )п , 'гг + 2йг + в', ! — 1и ' + !п С = — !п х . й г+ й — )Гйг — в"; 2 2 г' йг — в„"г+ й+ Р йг — в,' Возвращаясь к переменным х, и х, после несложных преобразований получим !и ! х;"+ 2йх,х, + в'хг ! — — !и С = О й .+* (й — й) йг х,+хг(й+йг) (2-33) зля ь хг! + 2йхгхг+ в'х-', =- С ( !х + х„(й — й ))ь' ( г+ 'г(й+йг)~ (2-34) где й, = Уй' — в„..
Пусть построена картина фазовых траекторий для системы (2-31). Как было показано в ч. 11 (стр. 133), эти траектории располагаются так, как показано на рис. 2-4, а. Чтобы получить фазовый портрет для уравнения (2-33), мы можем перенести начало координат либо в точку х, = !им!/вс для и > О, либо в точку х, = — и ! (в' для и < О. Траектории, проходящие через эти точки, на хх рисунке показаны жирной линией. В плоскости х, — = х, оптимальная г!! траектория, совпадающая с линией переключения, изображается траекторией, полученной путем смещения отмеченных жирной линией отрезков так, чтобы они прошли через начало координат (рис. 2-4, б). Смещением и отрезанием частей, лежащих после линии переключения, получается и остальное семейство оптимальных траекторий. 2.
Корни характеристического уравнении комплексны. При этом ф, = Аге~~ з1п(вгг+ А,); А, ь~ (2-35) фг = — —.' еь' (й з!п (вр + А,) + вд соз (вП + А,)), в! где в, = )'в( — йг. 43 и учитывая, что внутри интервалов между переключениями и = им постоян- яа, и ее производная по времени равна нулю, сведем уравнения (2-23) к системе однородных уравнений Обращение функции ф, в нуль на интервале 0 < 1 < т может яметь место неоднократно, и, чем больше длительность интервала Т, тем большее число переключений на этом интервале произойдет. Чтобы установить вид оптимальных траекторий на фазовой плоскости, рассмотрим сначала более простую вадачу, в которой юз = 1, Ь = О, (и) = 1.
Система уравнений принимает вид (2-36) где х, = — х-~-1. Фазовыми траекториями в плоскости х, х, являются окружности с центром в начале координат, в плоскости х„хз — окружности с центрами на ве- Рнс. 2-4. щественной оси смещенными на +1 или — 1, в зависимости от знака и. Движение фазовой точки по окружности совершается по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью и за промежуток времени, равный и, точка описывает половину окружности. Начнем построение оптимальной фазовой траектории с ее конца, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
