Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При этом время управления становится бесконечно большим, но зато функционал приобретает наименьшее из всех возможных для разных Т значение. Частный случай такого рода системы был уже рассмотрен выше в Е 1-2. Рассмотрим примеры несколько более общего характера. Пусть дана замкнутая система регулирования (рис. 1-3), в которой заданы уравнения объекта О: — = 7 Ь|аце+тД, 1=1, 2, ., и, Й~ %1 ч а 1 (1-54) и ищутся уравнения регулятора В,(Р) $= Х ЛХи(Р) Ч; (1-55) (1-56) регулятор привел систему в устойчивое установившееся состояние: Ч~ (""~) = Чз (со) = ' ' ' =Ч» (оо) = = $ (со) = О, (1-57) так чтобы функционал ХЯ)=~ г'с(г (1-58) о Рис. 03. от положительно определенной квадратичной формы К = ~~ а,Ч; '+ с$'+ Йез (1-59) имел минимальное значение.
Положим сначала )с = О. Составим функцию Н: 77= У+ Х)., (Ч; — Х Ь,.Ч, — Д). а Имеем ьн с~ с ан е Уравнения Эйлера: Х,.= — Я ЬяХ;+2а,Ч„ О = 2с$ — ~ч"„т,3, (1-60) действующего таким образом, чтобы при ликвидации возникших скачкообразно воамущений начальных условий Ч (0)=Ч . Ч (0)=Ч Ь(0) =Во Определитель системы (1-54) и (1-60) имеет вид т', ттта ܄— р.... титтт!2 т т,"', 2с '''' 2с Ь„а--р 2а,....О (1-61) — Ьы — р.... — Ьт 0 .... 2аа — Ь„....
— Ь„„— р Если корни характеристического уравнения простые, то они располагаются симметричными парами -+.ртт ~-р„..., -+-р„(доказательство см. ниже в 2 1-4). Решение уравнения будет состоять иа линейной комбинации экспоненциальных функций вида Сге в', ..., С,е ~ т, С„,твг', ..., Своева. Чтобы система была устойчивой, выберем схему и параметры регулятора так, чтобы постоянные С„,„..., С,„тождественно обращались в нуль. Выписав 2я выражений для т)т н Л, через С„е — ввт исключаем из этих выражений функции С„е — вес, в реэультате чего находим выражения Л,= У,~,ат)а, у =1, 2, ..., пт (1-62) а где у — постоянные, т. е.
регулятор должен быть безынерционным. Такие регуляторы нереализуемы, поэтому в [104) предлагается минимиэировать другой функционал, в котором присутствует ев и й = 1. Решение задачи аналогично предыдущему. Проиллтострируем сказанное иа примере. П р и и е р. Система первого порядка: — = Ьт1+ тстав, Х = ат1т + сЬт+ $т. «ц тт'т Составляем функцию Н: Н = ~ + с2т+ Ьт+ Л(Ч вЂ” ЬЧ вЂ” тЬ); дН а' дН вЂ” — = 2ач — ЬЛ; дт1 ' ттт дй дН Ы дН вЂ” = 2сЬ вЂ” Лт; — —. = 2 $ ° д4 ' аг дЬ (1-64) где ()да — постоянные.
Подставляя полученные выражения в (1-61), находим искомое уравнение регулятора. При й = 0 окаэывается, что оно имеет вид ев = Ут Уат)ат и 1г 2т т (1-63 а Система уравноний объекта и уравнений Эйлсрв: ч=ьч+ "4' Л = — Ыс+ 2аЧ; 2з = 2сс — т).. (1-66) Характеристическое уравнение имеет ввк ра — (Ьс + са) ра+ атс Р сьа =-0 (1-66) Уравнение имеет решение Ч= Сто к'+ С с вл; (сг+ Ь С,— вк Р, + Ь С т т Р (Р +Ь) С,— ип+ Ра(ра+Ь) гс '+ е Прилив С е "", -)- С с " ' зв неизвестные, мы повучлм условие сова а местности выписанных трех уравнений с двуми неизвестными: 1 р,+ь т в, (р, ь) 1 — т) ~ па+ Ь ра(ра + Ь) т Раскрывал, получаем уравнение регулятора з+(Р1+р +ь)з= — — — —,„— ч (р, + ь)(ра + ь) (1-67) Аналогичным образом можно решить задачу и для объектов более высокого порядка, только выкладки становятся гораздо более громоздкими.
Добавление кшкдой новой кооринаты добавляет одну переменную вида Сле "а~ н одно уравнение; порядок определителя, из которого находится уравнение регулятора растет,но уравнение регулятора продолжает оставаться уравнением первого порядка. Задача сильно усложняется, если координаты Ч„ не могут быть непосредственно измерены.
Тогда уравнение регулятора будет иметь производные в правой части и, чтобы можно было реализовать такой регулятор, нам придется добавлять в функционал члены, содержащие квадраты высших производных от $. Прн этом смысл самого критерия оптимальности становится неясным, и об оптимальном управлении мы уже можем говорить лишь условно Отметим также, что при возмущениях иного типа, чем возмущения начальных условий, система перестает быть оптимальной.
Такого рода вадачи обычно встречаются в задачах типа стрельбы или погони, где задано начальное рассогласование, а в процессе полета возмущения отсутствуют. Развитие аналитического конструирования с распространением его нз разные случаи ограничений дано в 150, 64, 82, 83, 1-4. Обобщенно на мнотомерныо и на днокротныо оиотемы. Саойотоа корней характернотнчооких уравнений линейных оптимальных онотем Пусть даны дифференциальные уравнения системы — х (с) = с [с, х (с), и (с), ч (сЦ, Ы с(с О с<Т (1-68) граничные условия 8[Т, «0Ц=О (1-69) и критерий эффективности У = ~ г [с, т, х (с), и (с), ч (сЦ ссс (1-70) или же разностные уравнения йх [т] = с (т, х [т], и [т], ч [т]) (1-71) и критерий эффективности т Х= ~~~ Лг" (т, Т, х[т], и[т], ч[т]).
(1-72) В этих выражениях х представляет собою л-мерный [л — порядок уравнений (1-68) или (1-71Ц вектор состояния системы х = (х„хз,..., *„); х„ х„..., х„ — координаты системы; и — вектор управления, ч — вектор неуйравляемых видов возмущения; Л означает символ упреждающей разности; ч (с) есть функция класса )7е (непрерывная, за исключением, может быть, конечного числа скачков первого рода); с и г" — функции класса С, (т. е. имеющие непрерывные первые производные) относительно х и и и класса 77е относительно с. Система уравнений объекта, граничных условий и уравнений Эйлера для данных систем имеет вид: — х (с) = 7 (с, х (с), и (с), ч (сЦ, 0 » с » Т; сс — Х(с) = с7 р (с, т, х(с), и(с), ч (с))— сс й — [х„ (с (с, х (с), и (с), ч (сц ]т х (с), 0 » с » т; Ту„,р (с, Т, х (с), и (с), ч (сЦ ] = = [у,„ (1 [с, х (с), и (с), ч (сЦ ] )с(с), О » с < Т; 0-78] Зй 105, 160], где эти методы были существенно расширены.
В этих работах широко используется функциональное уравнение Белмана, рассматриваемое ниже в гл. 3. Решение общих задач аналитического конструирования регуляторов линейных объектов доведено до уравнений для определения коэффициентов оптимальных управлений. В данной книге мы не имеем возможности более глубоко рассмотреть проблему аналитического конструирования, хотя ниже частично касаемся некоторых методов ($ 3-2). ,, „я разкостных уравнений: йх[т[=[]т, х[т], в[т], ч[т]][, т = О, Тр, 2Тр, ..., Т вЂ” Тр, А ) [т] = ттрн (т, Т, х [т], и [т], ч [т])— — [Хх(1 (т, х [т], и [т], ч [т)))]г ).
[т); ~7 Р(т, Т, х[т], «[т], ч[т)) = = [э т (1 (т, х [т), и [т[, ч [т)))]Г ), [т]. (1 74) В принятых обозыачевиях отметим следующие особеыыости. В малые квадратные скобки заключен дискретыый аргумент [т]. Большие квадратные скобки обозначают: [ ] — прямоугольную матрицу, [ ]г — транспонированную матрицу; д — символ градиеыта: (дд дР '7хд= ~ —, (1-75) ~дхт ' дхз' "'~ ' Х вЂ” символ Якобиака: д[т д/~ дх, д , Ух (1 [э)) = д)з д)э дхг дхз (1-76) В результате решения уравнений находим оптимальное управление пр (~), экстремизирующее функционал Х: па В) = э[В х(г), ч(с) Т). Заметим, что так как при Л вЂ” О требуется существование только правого предела для х (1) и только левого предела для Х (г), то х и ).
могут быть пе непрерывными. Таким образом, ыет необходимости требовать непрерывности фуыкций 1, Р, [У„(1)], [Ут (1)], [ЄРи у~ Р] в отношении ц но Л должно существовать и быть ограиичеыным так, чтобы й была диффереыцируемой функцией. Приведенные решения справедливы для случая, когда Т фиксировано. Нахождение аоптимума оптиморумаэ путем приравииваыия нулю вариации Т возможыо, если д [Т, х (Т)] является диффереыцируемой функцией по х (Т). Для случаев, когда эта функция определена лишь для дискретных значений Т еще ыет общих методов решения, позволяющих точно найти оптимум оптиморум.
Симметричные свойства матриц линейных уравнений Эйлера приводят к неустойчивости решеыий этих уравнений. Рассмотрим уравыеыия х = [Р] х+ [Л] ).; й= [Ях — [Р] )., (1-77) где [Р] = [1х] — [(и) [Риа] ' [Ррх]' [Я = [Рхх! — !ухи] [Риа] '[Ри.]: [В] [(и] [Рыы] [1х] (1-78) [ ) т — обозначение обратной матрицы. 31 В последних выражениях приняты обозначения: [1.]=[у„(1(с ', *, ))]; [Риз] = [Хх (~7«Р (ц 1', х*, в*, «))]; [Р „] = [Х (~7„Р (ц Т, х«, и*', «))]; [1„] = [Х„(1 [ц х", пе «) )]' [Рви] = [Хи (~7зР (ю, У, х, и*, «))]; [гоо] = [Хе(~7„Р [ц Т, хь, пь, «))]. (1-79) Звездочками отмечены оптимальные решения уравнений.
Если существует точка равновесия, то в ее окрестности [Р], [Я и [Я) — постоянны, поэтому для исследования устойчивости в окрестности точки равновесия можно использовать преобразование Лапласа уравнений (1-77): ([Р] — [Ц з) *(з) + [В] Л (а) = солей [Д] х(з) — ([Р)" + [Ц а) ). (з) = сопзЬ. Рассмотрим расположение корней полинома ![ [(~] — [Р]т -] [Цг~ ! (1-81) в комплекснои плоскости г [[Р] - [Ц [В[ ] ~ Г[Р] - [Ц [Е] Я] — [Р) — [Ц н] !] [В] — [Р] — [Ц з ] ) Перестанавливая местами столбцы и затем строки во втором определителе, меняя анаки одной из строк и одного из столбцов и заменяя г на — а, получим равенство ! [Р] — [Ц з [В] ] [Р] — [Ц ( — з) [В] (1-83) [7] - [Р] — [Ц ]! <~ [Е] -[Р[ — [Ц( — )1! Таким образом, полипом зодер>кит лишь четные степени з, и поэтому корни располагаются симметричными парами относительно не только веществен- ной, но и мнимой оси.
Аналогично, для разностных Эйлеровых уравнений можно получить !![Р] [Ц* . [Л] !! !![Р! [Цз з „[Л] !! (181) Поэтому каждому корню в з-плоскости, расположенному внутри единичного круга, соответствует взаимно-обратный корень вне круга. В фазовой плоскости такие точки равновесия представлены неустойчивыми особыми точками типа седла. В [236) показало, что при Т вЂ” оз система становится устойчивой. Рраничные условия становятся такими, что решение в фазовой плоскости по мере стремления Т к бесконечности приближается к седловой точке. Так как определитель матрицы равен определителю ее транспонированной матрицы, то Глхол ВТОРАЯ РЕШЕНИЕ «НЕКЛАССИЧЕСКИХ» ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 2-1. Воаникиоввнив «нвклаоончвокихэ палач оптимальногв управлвния «Неклассические» задачи оптимального управления были первыми по времени,и именно они послужили темой для ряда работ, заложивших фундамент теории оптимального управления.
В этих работах в качестве показателя оптимальности принималось время перехода системы из одного состояния в другое. Такие оптимальные по быстродействию системы представляют значительный интерес во многих устройствах — прокатных станах, подъемниках, системах управления курсом подвижных объектов, системах погони и т д. В 1949 г выходит в свет работа А А Фельдбаума [179[ в которой рассматривается релейная система с линейной частью второго порядка. Исследование ведется, не прибегая к вариационным методам, с помощью фазовой плоскости. Показывается, что модуль ограничиваемой по техническим условиям величины в процессе оптимального управления должен поддерживаться на максимуме, а ее знак один раз изменится в процессе движения. В 1950 г. сходная задача о системе второго порядка с кусочно-линейной характеристикой типа насыщения была решена Хопкиным [226[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
