Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Задача состоит в выборе управления и(1) таким образом, чтобы обеспечить экстремальное значение функционала за все время процесса управления и, следовательно, движение системы по оптимальной траектории, называемой экстремалью. Решение этой задачи наиболее адекватным математическим аппаратом осуществляется с помощью методов вариационного исчисления.
Вариационные задачи, рассматриваемые в данной главе, детерминированные. Для их решения требуется полная информация об объекте, среде, цели управления, ограничениях, показателе оптимальности и состоянии системы. В терминах вариационного исчисления должны быть заданы: 1) информация об объекте и его связи со средой в виде дифференциальных, разностных или разностно-дифференциальных уравнений, связывающих между собою координаты объекта, управления и возмущения, на него действующие; 2) информация о среде в виде задания управлений и возмущений, действующих на объект как 11 функций времени, и, если надо, координат системы; 3) информация о цели управления в виде граничных условий, например, начальных значений координат, характеризующих состояние, с которого начинается управление, и конечных значений, характеризующих конечное состояние, в которое управление должно привести систему; 4) информация о показателе оптимальности, выраженная обычно функционалом потерь или выгоды, который в процессе управления надлежит соответственно минимизировать или максимизировать; 5) информация об ограничениях, выраженная в зависимости от природы ограничений уравнениями, неравенствами и т.
п. (например, изопериметрическая задача). На основе всей этой информации строится детерминированная модель системы. Задача состоит или в анализе, т. е. нахождении оптимального управления при заданных структуре системы, граничных условиях, возмущающих воздействиях, ограничениях и показателе оптимальности, или в синтезе управляющего устройства, т. е. в нахал<денни его структуры и параметров при заданных прочих данных. Предполагается, что читатель знаком с основами вариационного исчисления, поэтому ниже приводятся в порядке напоминания лишь краткие справочные сведения из вариационного исчисления. При необходимости более детального и глубокого изучения читателю рекомендуется овнакомиться с ~97, 204].
В технике управления вначале делались попытки решения частных задач оптимизации, не прибегая к вариационному исчислению, т. е. эвристическим путем. Эти попытки иногда приводили к решениям, которые при последугощей проверке оказывались весьма близкими к оптимальным. К числу таких решений можно, например, отнести введение в 1935 г. Д. И. Марьяновским и Д.
В. Свечарником квадратичной обратной связи для форсирования переходных процессов в электроприводе нажимного устройства блюминга. В конце 40-х годов при проектировании систем управления самолетами начала использоваться в качестве критерия оптимальности квадратичная интегральная ошибка, однако при этом подход к оптимизации был ограничен тем, что структуры объекта и регулятора считались эаданнымн и отыскивались лишь параметры настройки регулятора, обеспечивающие при этих ограничениях минимум среднеквадратичной ошибки. Задачи такого рода не принято относить к теории оптимального управления, они были рассмотрены в ч. 1, в разделе качества [32, стр.
342] Несколько иной была постановка задачи о получении минимума среднеквадратической ошибки при воспроизведении в радиолокационных системах управляющего воздействия при наличии случайных помех. Эта статистическая задача об оптимальном управлении была решена с помощью специального математического аппарата, разработанного А. Н. Колмогоровым 167) и Н. Ви- 12 Проиллюстрируем постановку вариационной задачи управления на простом примере. Рассмотрим в качестве объекта управления двигатель постоянного тока, уравнения которого имеют вид: хг + Йгхг -= Азв — Д хз — — хп (1 1) где х, — скорость вращения вала двигателя; х — угловое перемещение вала; и — управление (напряжение, подводимое к якорю двигателя); /— возмущение (нагрузка); йю Ьз — постоянные коэффициенты.
Допустим, что (1-2) 1 = сопзн Таким образом, мы сформулировали первые две группы заданий: уравнение объекта (1-1) и уравнение возмущений (1-2). Требуется перевести бывший ранее неподвижным двигатель нз состояния, определяемого углом поворота ротора хз (О) = хм, в состояние х, (Т) = = хзз (т. е. повернуть ротор па заданный угол ох = х, — хм) за наименьшее время Т. Таким образом, третья группа заданий, описывающая цель управления, формулируется в виде граничных условий: хг(0)=0, хз(0)=хзг при 1=0; х,(Т)=0, хз(Т)=хм при г=Т. т х„ х3 ° г (г Т = ог = ~ — ох, = ~ — = ппп. 0 ехз 0 хг х„ (1 3) (1-4] Часто удобнее вместо граничных условий х, (О) = хм и хз (Т) = х„и функционала (1-4) использовать функционал т Лхз = ~ х, лц Ь (1-5) 13 пером [269].
Ее результатом был синтез оптимального фильтра, обеспечивающего воспРоизведение сигнала на фоне шУма с наименьшей ошибкой. Теория оптимальной фильтрации вогпла в теорию оптимального управления как один иэ важных ее разделов, но из чисто методических соображений в данной работе она была также рассмотрена ранее, в ч. И [32, стр. 81 †12.
К первым серьезным попыткам решить оптимальные задачи автоматического управления на базе вариационного исчисления относятся частные задачи управления ракетами. В период 1946— (952 гг. был опубликован ряд работ по решению экстремальных задач в теории движения объектов с переменной массой [69, 262[. К 50-м годам относится также ряд работ по постановке вариационных задач в технике управления электроприводами шахтных подъемников и прокатных станов [65, 66, 156, 157[.
В первых из этих работ обнаружились трудности решения задач, связанные с получением нереализуемых решений. ееличива Ьла которого, равная нолному неремещеиию вала, задана, и функ- ционал ((-4) выразить а тривиальном виде: Т = ~ й = шип. (1-6) Задание приведенных выше четырех групп условий часто оказывается недостаточным для решения задачи. Это выражается или в том, что обнаруживается, что искомый экстремум не существует, или в том, что наименьшее значение функционала достигается при физически нереализуемых управлениях или координатах (бесконечно больших по величине или же изменяющихся с бесконечно большими скоростями н т. п.).
Поэтому решение задачи ищется в классе допустимых функций (обычно непрерывных, имеющих непрерывные проиаводные), н, если решение в этом классе функций не существует, на систему накладывают дополнительные ограничения, которые, с одной стороны, позволяют достаточно просто решить задачу, с другой стороны, имеют ясный физический смысл и техническое обоснование. Так, часто используются ограничения, выражаемые интегралами от квадратичных форм: т У = ~ (2; а,;х,х, + Ьи) Ю.
о (1-7) Ограничение состоит в том, что задается максимально допустимая величина У =. А. Введение функционала (1-7) часто позволяет просто и изящно свести задачу оптимального управления линейным объектом к кусочно-линейной и даже просто к линейной задаче. Но прежде чем поддаться соблазну испольвовать эту методику, необходимо проанализировать, какой смысл имеет этот функционал для данной конкретной технической аадачи. В ряде случаев функционалы рассматриваемого типа имеют более или менее ясный смысл и могут рассматриваться как прямые или косвенные оценки качества управления. Так, в ч.
1 данной книги (32) мы имели дело с интегральной квадратичной ошибкой Х, = ~ з' Ж, введенной взамен трудно вычислимой, но о несколько более ясной оценки ~ ~ е ~ г((, которая косвенным о образом характеризовала время переходного процесса Тр, хотя прямую связь между У, и Тр установить не удается. Довольно сильная колебательность переходного процесса в системе, в которой выполнены условия минимизации Х„вынудила перейти к другой косвенной так называемой «улучшенной» оценка ( (хз -( т хо) й и к обобщенным оценкам вида~', ~ т((хю)зд).
Блияо о ние этих оценок на качество несомненно, но, так как все это пока очень приблизительно и основывается на интуитивных представлениях, системы, базирующиеся на их минимизации, практик может считать оптимальнымн лишь условно. Более ясный физический смысл функционал вида (1-7) имеет тогда, когда он выражает величину энергии, затрачиваемой на регулирование.
Так, если за управляющее воздействие принят т ток якоря 1 двигателя, то ~ (зЛ ой выражает электрические потери о в двигателе, идущие в основном на нагрев обмотки. Ряд задач на управление, минимизирующее этот функционал, рассмотрен в Ц27, 156, 157).
Прн управлении от ограниченных по мощности источников питания часто бывает важно минимизировать не потери на нагрев, но полную затрату энергии на управление, опрет деляемую в электрических установках интегралом вида ~ поги. о Другой тип ограничений, рассматриваемых в вариационных задачах, это голономные и неголономные связи. Для упрощения исследования обычно «вырывают» объект из системы регулирования и ищут, какнмдолжно быть воздействие на регулирующий орган, не думая о том, что это воздействие вырабатывается управляющим устройством, обладающим инерцией. Если решение получается нереализуемым, то можно ввести управляющее устройство в рассматриваемую схему н искать уже воздействие на его вход. Уравнение этого устройства даст дополнительное уравнение связи — голономной, если оно не содержит производных, и неголономной, если оно их содержит.
Обычно неголономные связи выражаются дифференциальными уравнениями. Кроме упомянутых ограничений, могут быть ограничения на абсолютные величины координат, например ~хо~ ~ А,, н управлений, например)и,~( Во Такие ограничения переводят задачу из открытой области в закрытую и для их решения классические методы часто оказываются затруднительными или недостаточными. Классические вариационные задачи в закрытой области и неклассические вариационные задачи будут рассмотрены в следующих главах. Напомним некоторые положения вариациоииого исчислеиия, которые будут использованы в следующих примерах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
