Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 5
Текст из файла (страница 5)
если регулятор безынерционный. В общем же случае регулятор может осуществлять лишь приближенное к оптимальному управление, как это было рассмотрено в ч. 1. Рассмотрим в качестве другого примера схему управления двигателем постоянного тока Д со стороны якоря с помощью электромашинного усилителя ЭМУ (рис. 1-1). Пренебрегая постоянной времени обмотки управления ЭМУ, электромагнитной постоянной времени двигателя и считая все характеристики машины линейными, получим следующие уравнения: (Т р+ 1) и„=й.гвт; ,1рю = Ы вЂ” ЛХ,; (1-29) и„= ЛТ+ сю, где Тт — постоянная времени ЭМУ; л — коэффициент усиления ЭМУ по напряжению; ит — напрягкение, подведенное к обмотке возбуждения ЭМУ; и„— напряжение, подведенное к якорю двигателя; à — момент инерции двигателя; ю — угловая скорость вращения вала двигателя; 1 — ток якоря, М, — моРяс.
1-1. мент сопротивления; Л— сопротивление цепи якорей; Й, с — электромашинные постоянные. Требуется повернуть ротор двигателя на эаданный угол сс. Это задание выражается с помощью следующего функционала (иаопериметрического ограничения): т ~ оэЖ=а, о гу га (1-30) где Т вЂ” интервал управления. До начала управления ротор двигателя предполагается неподвижным, в конце управления он также должен остановиться. Это обстоятельство выражается граничными условиями: в(0) =0; ( а(Т)=0.
Г (1-31) Рассмотрим процесс при постоянном моменте нагрувки Лт, = сопа1. Управление требуется осуществить таким образом, чтобы электрическая энергия, затрачиваемая на управление двигателем, была наименьшей, т. е. требуется минимиэировать функционал т У,=~ и„1ЫП о (1-32) Подставляя и„= Ю + сы, получаем т т ~,=~ ~Ха+( иг. (1-33) о о т лтс Рассмотрим второе слагаемое. Подставляя в нем 1= — а+ —, /г получим т т т и (тз т с оп'г)г= — опод!+ —" вой= — т вйо+ — оэй. с.тг м„р м р м г =в~ — ъ,') Учитывая, что верхний и нижний пределы в первом слагаемом одинаковы в силу (1-31), а интеграл во втором слагаемом иа основании (1-30) равен а, получаем с оя Зг = — сс.
в (1-34) ув=~ гчЛ. о ( 1-35) При постоянном моменте М,, минимизируя Хв,мы минимизируем и полные электрические потери на управление. Если же М, является функцией времени, то данное утверждение уже не будет справедливым. Учитывая (1-29), (1-30) и (1-35), составляем функцию Х: Х=г'+)ч (7' и„+и„— й и )+аз(Уоэ— — Ы + М,) + Х, (~„— И вЂ” ~~) + Х~~. (1-36) Найдем уравнение Эйлера, составленное для переменной ит: дН Ы дН = — Х,й, — —.=О, дат ю Ыс дат откуда ь =О.
(1-37) Таким образом, уравнения усилителя мы можем не рассматривать. Это обстоятельство облегчает аадачу, но оно должно и настораживать, так как отбрасывание ограничения может привести к нереальным законам изменения ит, так как на зту величину 22 Второе слагаемое в выражении У, постоянно. Очевидно, чтобы минимизировать )ю нам достаточно минимизировать первое слагаемое, выражающее тепловые потери в обмотке якоря, или же, опуская постоянный множитель Х, минимизировать функционал мы не накладывали пока никаких ограничений. Проделаем все же эту задачу до конца.
Учитывая Л, = О, получаем: дн г дН ди„с й, Лс> д д 0 Лэ 0 -д-.- — — 21 — Л,й; ~ д.,— — 0; 21 — Лсй=О; 2с Лс а (1-39) дН д дН асс Лс' г д' ХЛз' Л, — ХЛ, = Л,с — — ю' = О, 2Х., = — 1. а (1-40) Составляем систему уравнений объекта, усилителя и уравне- ний Эйлера. При атом учитываем, что Л, как проиавольный мно- житель при функции, выражающей изопериметрическое ограни- чение, равен постоянной. Перенесем эту, пока неизвестную, по стоянную в правую часть. йи„— (Т Р + 1) и„= О, и„— Вс — сс» = О, ХРсс = 'Ис~ 2ХР( = йЛ,.
(1-41) (1-42) Так как граничные условия выражены для се, то нам удобнее сначала на основании третьего уравнения системы (1-41) найти вк йс йА сс Мс 0) 1 $ + Х с Х 2 Х или, обозначив ЛХ, = йХ„где Х, — установившееся значение тока, соответствующее моменту М„имеем Х (~с ~с)'+2Х ' ' (1-43) Первое граничное условие се (0) = 0 в этом уравнении мы уже испольаовали, положив равной нулю произвольную постоянную при интегрировании. Используем второе граничное условие: се(Т) = — (1 — 1с) Т+ — =О, 23 Переменную и содержит только первое уравнение, которое поэтому может быть рассмотрено независимо от остальных. Четвертое уравнение, поскольку Лс постоянная, также может быть сразу решено независимо от остальных.
'=Тс+Аг откуда 0 ~с 2 со=-- (Р— Т1). (1-44) и (1-45) Использование граничного условия позволило нам уменьшить число произвольных постоянных до одной. Чтобы найти эту произвольную постоянную, воспользуемся условием (1-30): (1-46) Откуда А = — 12Л ать (1-47) Теперь все переменные выражаются через интервал управления Т: (1-48) Графики зтих функций показаны на рис. 1-2. Решение может идти следующими тремя путями: 1.
Интервал управления Т задан. Тогда задача нахождения оптимальных ю, 1 и и„решена. 2. Заданы допустиыые потери в якоре )т'. Тогда минимально возможное Т определяется из соотношения т М'и 12В.Ра' В ~ 1зЮ= — '— , Т+ — —,—,=-И', (1-49) о после чего задача также будет решенной. 3. Т выбирается из условия минимума потерь в якоре. Находим условие, при котором У становится минимальным: дИ' М'-'и 36ВУ~о~ — с —. 0 ддч за Ьи Т~ (1-50) откуда оптимальное значение Т будет 24 .у' суй (1-51) Мы видим, что оптимальное время управления к вообще оптимальные управление и координаты зависят от л1,. В частности, из (1-51) видно, что чем сильнее загружен двигатель, тем меньше (1-52) 25 величина Т,„,.
На холостом же ходу минимиаация расхода энергии становится практически нереализуемой: Т увеличивается до бесконечности, а величины и„, и Хз стремятся к нулю. Все это сильно затрудняет реалиаацию автоматического управляющего устройства, осуществляющего оптимальное управление. Мы видим, что уравнение для оптимального 1 получалось независимо от остальных.
Поэтому решение задачи совпало с тем, которое было дано в (127], где ток рассматривался как управление. Мы уже отмечали, что это было связано с тем, что на и„никаких ограничений наложено не было. Определив теперь и из первого из уравнений (1-29), мы видим, что так как в начальйый момент г = О, ток 1 и напряжение и„ изменяются скачком, то и должно в момент времени г = 0 равняться щби„ дельта-функции, т. е. представлять собою импульс бесконечно большой за амплитуды.
Управление в рассматриваемой схеме, таким образом, оказывается нереализуемым. Реаультаты примера можно использовать лишь в том случае, когда мы имеем 'т с возможность скачком изменять на- 0 пряжение и„ и когда можем пренебречь электромагнитной инерцией якоря. Чтобы найти реализуемое решение, следует наложить ограничение на и„. Один из способов косвенного его Рис. 1-2. ограничения состоит в том, что мы вводим и~ в функционал, выражающий критерий оптимальности, например, положив его равным суммарным потерям в силовой цепи двигателя и в обмотке возбуждения ЭМУ: т У„= ~ (" — '+ М) 1. о Ход решения остается таким же, но задача сильно усложняется. Оптимальные управления теперь находятся, как решения дифференциального уравнения четвертого порядка.
Такой несколько искусственный метод, позволяя решить задачу методами классического вариационного исчисления, не гарантирует, однако, от чрезмерно больших мгновенных значений и при оптимальном управлении. Болев ясным физически будет ограничение управляющего напряжения по модулю ~ пг | ~ пванс (1-53) Введение этого ограничения переводит, однако, задачу в разряд неклассических вариационных задач, рассмотрению которых посвящается следующая глава. 1-3.
айналитнчеокое конотруироваине» оптимальных регуляторов «Аналитическим конструированием» в И041 названа методика нахождения дифференциальных уравнений устройства, осуществляющего автоматическую оптимизацию заданного объекта при заданных ограничениях и критерии оптимальности. При этом учитываются некоторые элементарные условия физической реализуемости получаемых уравнений. Вообще уравнениями, описывающими поведение управляющего устройства, могут быть уравнения Эйлера, но они не всегда оказываются реализуемыми и, кроме того, обладают на первый взгляд неприятным свойством: если время процесса управления в непрерывной системе конечно, то уравнения Эйлера, рассматриваемые совместно с уравнениями объекта, соответствуют неустойчивой системе регулирования.
Так, в случае линейного объекта и квадратичного функционала уравнения Эйлера получаются линейными, причем, как зто будет показано в следующем параграфе, среди корней характеристического уравнения обязательно будут как левые, так и правые корни. Очевидно, что если присоединение регулятора делает систему неустойчивой, то это присоединение не может быть длительным. Если известно, что процесс оптимального управления носит спорадический характер, то можно пойти на использование неустойчивой системы, включая ее лишь на тот момент, когда возникла необходимость осуществить оптимальное управление, и обязательно отключая ее после совершения управления.
В тех же случаях, когда регулятор должен быть все время подключен к объекту, необходимо принять меры к обеспечению устойчивости системы. Эта задача может быть решена с помощью приема, аналогичного тому, который мы рассматривали в ч. П, в параграфе об оптимальной фильтрации помехи. Неустойчивую структуру мы считаем недопустимой, осуществляем расщепление и факторизацию полученной при синтезе передаточной функции, выделив в ней множители, обладающие только левыми и только правыми полюсами, и реализуем лишь первую ее часть. В П041 эта задача решается путем отбрасывания в решении уравнения составляющих, соответствующих положительным корням.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
