Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть даи функционал о, зависящий от независимой перемеииой о (иапример, зта зависимость может войти через возмущающее воздействие) и иескольиих координат системы зь являющихся функциями иезазисимой перемеииой: у=5Р(цз, *,, ...,')"~, ..., .,*„', ...,*'„"')'. ('~) ы Функция г" — заданная функция всех своих аргументов, которая в некоторой области В (хю..., хо) считается непрерывной вместе с ее производными. Пусть также ааданы значения функций х, (ге), х; (гг) и их производных до ю — 1 включительно на концах интервала = ° *$") (г) = *$") (ь.); с = ьв (ь) (г) = х(Ю (Н); й = О, 1, ... т — 1; (1-9) 1 = 1, 2, .

л. д 1=1, 2, ..., л, где г" дх(~) Каждое нз уравнений (1-10) есть дифференциальное уравнение порядка 2т. Решение системы этих уравнений содержит 2шл произвольных постоянных, так как всего таких уравнений л, и, следовательно, необходимо задать 2тл начальных условий вида (1-9). Решения уравнений Эйлера называются звстремалэхи. В практических задачах мы часто имеем дело с функциями Р, зависящими только от координат и их первых производных. Тогда уравнения Эйлера принимают вид д дг" г'„— — —.

= О. (1-11) 1 дгдх; Левая часть уравнений (1-10) и (1-11) представляет собой величину, пропорциональную вариации 6Х(х,), обусловленной вариацией хь Поясним зто следующим образом. Пусть функционал имеет вид О у = 1 д (ц х, х) й. Пусть х* (г) — функция, доставляющая экстремум функционалу. Заменим ее в интервале [ге, гг] другой функцией х (г) = х* (О + 6 [х (О], где 6 [х (гЦ вЂ” малая вариация функции х* (1). Полагаем, что 6 (х) функция, принадлежащая классу С, (т. е. имеющая непрерывную первую производную в промежутке [сз, й], и обращающаяся з нуль на концах промежутка: 6 [х (Гс)] = 6 [х (Гг) ] = О.

Представим 6 [х (гЦ в виде 6 [х (г) ] = ац (г), 18 Выделим класс допустимых функций, удовлетворяющих дополнительному ограничению: они должны иметь 2т непрерывных проиаводных. Класс допустимых в этом смысле функций называют классом Сзю. Задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти такие функции *; (г) в классе допустимых функций, чтобы функционал (1-8) имел при этом экстремальное значение. Необходимые условия для решения поставленной задачи даются уравнениями Эйлера — Пуассона: Ы Ыз Зю Р— — Р + — Р- —...+( — 1)з~ Р =О х д1 х.,Дэ х. дгш (ю) где а — малая величина.

Функционал У можно представить как некоторую функцию а, стремящуюся к У* при а — О: О у (а) = 5 Р (с, аз (г) + ат) (с), х* (1) )- ат) (г)] й. ы разлагаем Х (а) в ряд по степеням ок Если функцией ** (1) обеспечивается экстремум функционала, то первая вариация этого функционала обращается в нуль: 6Х (и)., = с (Д— ) = и ~ / Д вЂ” Ц (1) + 6 —. т) (Г)] с1 = О. Интегрируем па частям второе слагаемое: Первое слагаемое здесь равно нулю, так нак т) (ге) = т) (й) = О. Тогда 6У(а) = ~ т)(1) ~ — — — — ( —.) ~Ы1=0. Равенство должно быть справедливо при любой форме вариации, т.

е, при любой функции т) (г). Отсюда и вытекает уравнение Эйлера: Так же как при отыскании экстремума функции 1 (г), уравнения У„= О было недостаточно для нахождения экстремума и требовалось еще исследование высших производных в точке, обращающей („в нуль, так и в нашем случае для нахождения экстремума функционала Р необходимо, чтобы помимо уравнений Эйлера выполнялся ряд дополнительных условий. Однако так как нахождение необходимых и достаточных условий представляет собою обычно весьма трудоемкую задачу, в практике ограничиваются исследованием уравнений Эйлера и численной проверкой значений функционала в окрестности найденной экстремали или же проверкой некоторых дополнительных условий, например, условий Лежандра, которые заключаются в следующем. Чтобы на экстремали я* (г) имел место минимум функционала (1-8), необходимо, чтобы вдоль зкстремали выполнялось условие Р..

)О. (1-12) Аналогично, для того чтобы зкстремаль давала функционалу максимум, необходимо выполнение условия Р.. (О. (1-12') Если кроме аадания функционала (1-8) на систему накладываются дополнительные ограничения, то решение задачи несколько видоиаменяется. Рассмотрим основные виды ограничений, нри которых вариационная задача остается в рамках классических задач. А.

Изопериметрнческие ограничения, заключающиеся в том, что задается ряд других функционалов: с, .К; = $ С1 (1, з, ') Си = еь (1-13) Са 1=12, ..., я, которые должны иметь заданные постоянные значения аь Наавание «изопериметрический» произошло от задач, в которых находилась максимальная площадь, ограниченная кривой заданного периметра. При наличии изопериметрических ограничений уравнения Эйлера составляются для функции Н =Р+ ~ ЛСь (1-14) где Л1 — постоянные произвольные множители Лаграннса.

Для определения произвольных постоянных и этих произвольных множителей к граничным условиям (1-9) добавляются условия (1-13). Для ивопернметрических задач весьма важное вначение имеет прннцнп взаимности. Если мы аапишем функцию Н в виде Н=) К+ ~ ЛСь (1-15) где ˄— новый произвольный множитель, то экстремаль для Н не изменится. Так как Р, и С; входят в выражение Н симметрично, то, отыскивая экстремум интеграла (1-8) при условии, что интегралы (1-13) сохраняют заданные постоянные значения, мы получим ту же самую зкстремаль, как и в результате нахождения экстремума любого нз интегралов (1-13) при условии, что все остальные интегралы и интеграл (1-8) сохраняют постоянные значения.

Б. Ограничения типа голономных связей: С,(д зм ..., х„) =-О, 1=1, 2,, й. (1-16) В этом случае функция Н имеет вид Н=у+ ~ Л,(1)Со ( 1-17) Произвольные множители Л; в (1-17) являются в общем случае функциями времени. В. Ограничения типа неголояомных связей, выражаемых дифференциальными уравненияии С1(д з, и, й '''' зе йе ...)=О. (1-18) Функция Н имеет также вид (1-17). В уравнения Эйлера войдут производные функций Л, (1) по времени. Кроме приведенных ограничений, часто накладываются ограничения вида (за(~Аь, накладываемые на управления и координаты.

Задачи при таких ограничениях относятся к типу неклассических вариационных задач. Если ограничиваются управления, то задача вообще не решается методами классического вариационного исчисления. 1В 1-2. Некоторыо задачи микнмкзацнн функционален от квадратичных ферм прн уиравлении линейными обьектамн Рассмотрим сначала задачу, об оптимизации управления линейным объектом, описываемым уравнением (1-19) Р (р) х = (аср" +... + а„) х = и — р, где возмущающее воздействие р считается постоянным, р =- сопзь.

![ри управлении требуется минимизировать функционал у = ~ (хе + т'х') дт. (1-20) (1-21) Н= ха+ тзхз+ Л(Р (р) х — и). Находим уравнения Эйлера ) дН вЂ” = 2х + Ла, — „. —. = 2тзх + Ла„з. 1 К дН Обратим внимание на то, что Л оказалась постоянной величвной, тождественно равной нулю независимо от степени поли- нома Р (р).

Это объясняется тем, что управление и входит в уравнения только линейно, а его проиаводные не входят явным образом ни в исходное уравнение (1-19), ни в функционал (1-20). Учитывая равенство Л и его производных нулю, уравнение Эйлера приводим н виду т'х — х=0. (1-23) (1-22) 19 Если бы мы ограничились только такими условиями, то постановка задачи была бы нестрогой, так как управление и не входит в функционал У и никак не ограничено.

К таким ничем не ограченным функциям методы варнацнонного исчисления, упомянутые выше, вообще применять нельзя. Чтобы можно было решить данную задачу классическим методом вариационного исчисления, мы долн<ны потребовать, чтобы функции хЮ, 1 = 1, 2,..., п принадлежали к классу С„„т. е. имели бы 2п непрерывных производных.

Так нак в (1-20) и = 1, функции х и и должны принадлежать к классу С„т. е. иметь две непрерывных производных— нулевую и первую. Это дополнительное ограничение, исключающее скачки функций и их первых производных, даст возможность решить аадачу с помощью уравнений Эйлера. Допустим, что х и и принадлежат к классу С,. Составляем функцию Н: Решение этого уравнения имеет вид: ! ! — — е — ! х* = Ссе '" + С.е'" (1-24) Поставив найденное значение х * в (1-19), находим 1е ! 1е и*=Р(1 — — ) С с +Р ~ — ~Сое +р. (1-25) Пусть требуется перевести объект из состояния х (0) = х, в состояние х (т,) = 0 за заданное время т, так, чтобы величина функционала У была минимальной.

Граничные условия т=О, х(0)=х,=С,+С„ ! 1 т=то, х(то) =О=С,е '+С,е" ', откуда находятся постоянные интегрирования х еп/о' С,= —,: (1-26) х е —.се/ос С,=— ее,/ео е — ее/ео ' Подставив найденные значения С, и Со в (1-24) и (1-20) и осуществив интегрирование, найдем У = тхо с$)с ' — ', т. е. У убывает с ростом т, и при т, = сж принимает минимальное значение, равное тхео. При т, = со получаем х" =х о — еО" — о и* = Р ( — 17т) хоо — '/'". ( Экстремаль в данном случае является решением уравнения (тр+ 1) х* = 0 (1-28) при начальном условии х (0) = х,. Закон управления также может реализоваться с помощью линейного управляющего устройства, описываемого уравнением первого порядка.

Этот результат был получен иным способом в ч. 1 (стр. 348). Представляет интерес найти передаточную функцию управляющего устройства, включенного как обычный регулятор по схеме обратной связи. Так как порядок уравнения подобной системы с одной стороны доллсен, как это вытекает из (1-27), равняться единице, а с другой стороны он равен сумме порядков уравнений объекта и регулятора, то реализация физически возможна лишь в том случе, если Р (р) имеет первый, а уравнение регулятора— 20 нулевой порядок, т. е.

Характеристики

Список файлов книги