Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2-14, б). Вторую параболу располагаем так, чтобы она касалась первой параболы и кривой х„(~), а вершина ее была направлена в сторону, противоположную той, куда направлена вершина первой параболы и ось ее также была параллельной оси х. На рис. 2-14, а показан оптимальный процесс при нулевых начальных условиях, а на рис. 2-14, б и в — прп положительной и отрицательной х' (О). На рис. 2-14, г показан случай, когда при расположении первой параболы вершиной вниз не удается рерошить задачу (точка касания парабол получается в левой полу- плоскости) и шаблоны приходится повернуть на 180'.
Различные виды задач с ограничениями рассмотрены в (189). 2-е. Пример ептнмвяьней системы е двумя упрввяениямн Р ассмотрим показанную на рис. 2-15 схему двойного управления двигателем постоянного тока Д (20), питаемого от электро- машинного усилителя (ЭМУ). Требуется за кратчайшее время перевести вал и„ из одного углового состояния в другое. Одним из управлений является напряжение и, подводимое к обмотке управления ЭЙУ; другим — напряжение и, обмотки возбуждения двигателя. Ограничения наложены на верхние значения напряжений обеих обмоток н на нижнее значение напряжения ит обмотки возбуждения двигателя, чтобй предотвратить опасность его разноса при чрезмерном ослаблении поля возбуждения Нри учете инерционности обмоток возбуждения и поперечной обмотки ЭМУ получается система уравнений четвертого порядка, Рис.
2-15 ~у и1ит ~в )бузив' (2-62) Пренеорежем моментом нагрузки двигателя М„и выберем в ка- честве бааовых значений Хь,„„, Х, „,„, и заданное перемеще- ние вала х, „„,.„.. Обычным способом приведем уравнения к виду (2-63) где х, — относительное перемещение вала; х, — относительное изменение угловой скорости; и, и из — относительные значения напряжений управления ЭМУ и возбуждения двигателя; а — по- стоянная величина. Функция Гамильтона Н для этой системы имеет вид: Н = ф,х, -~- ф, (аи,и, — х,щ). (2-64) Сопряженные вспомогательные уравнения: |й~1 дн ~й дх, (2-65) — -= — =-фаи + ~Ь. Для определения максимума функции Н найдем ее частные производные по управлениям.
Так как Н линейная функция и„то максимальное значение она может принимать на границах интервала — 1, 1. Учитывая, что и, всегда положительно, имеем и,=з)дпф,. Частная производная Н по и, в точке экстремума дН вЂ” =ф,(аи, — 2х и )=О, ди, (2-66) (2-67) откуда и = ля (2-68) Чтобы определить, какой из экстремумов определяется выражением (2-68), найдем вторую производную Х по и, дН вЂ”, = — 2ф,хз (2-69) 68 для которой точное аналитическое решение невозможно.
Приближенное решение и построение оптимизатора, реализующего приближенное решение, приведены в [20). Рассмотрим упрощенную задачу, допускающую аналитическое решение: пренебрежем постоянными времени обмоток управления и поперечной ЭМУ н возбуждения двигателя. Уравнения системы: Рассмотрим область, в которой дрд ) 0 и в соответствии с (2-66) ид — — 1. Из (2-69) следует, что при этом в верхней фазовой полуплоскости, где х, ) О, вторая производная Н по и, отрицательна и, следовательно, (2-68) определяет точку максимума, если ид находится в допустимых пределах, т. е. или 2 (Хз( а а (2-70) За этими пределами и, равно своим крайним значениям: ад=), если хд) (2-71) и,=1, если х,( —, 2 ' (2-72) В нижней полуплоскости хд ( 0 (2-68) определяет точку минимума, поэтому и, будет равно тому своему предельному значению, при котором величина ф, (а и, из — х, из) имеет наибольшее значение.
Очевидно, что это будет и, = 1, если х, ( О. Лерейдем к области, где д)д, (О, и, = — 1. В верхней полу- плоскости вторая производная теперь, как это следует из (2-69), положительна и максимум достигается при и, =- 1, в нижней же полуплоскости и,=)о если )х,~)-2 —, (2-73) и,=1, 1 а ! и =~ — ', 2 ~, 2х и,=1, Решение вспомогательных уравнений (2-65) выразим через ид, считая ид заданной функцией времени: др! = сопз(, (2-77) Так как величины интегралов в (2-77) изменяются при возрастании г монотонно, то д)д, имеет не более одного перехода через нуль.
При граничных условиях х, (Т) = хд (Т) = 0 конечной точкой будет начало координат. В окрестности начала координат, если х, положительно, то, чтобы система пришла в начало 69 еслд! )х,) ( а а если -2 1х ~( 2Л если х,) О. (2-74) (2-75) (2-76) координат, — „— ' доля1на быть отрицательной. Это означает, что ЫХ1 в окрестности начала координат на фазовой траектории, лежащей в верхней полуплоскости, проходящей через начало координат, члена и1и, должен быть отрицательным, т. е.
и1 = — 1. Величина 2в1 "-" — '- при этом отрицательна, и в соответствии с неравенством (2-76) и, = — 1. Уравнение фазовой траектории, лежащей в верхней полуплоскости и проходящей через начало координат, таким образом, определяется из уравнений (2-78) Рис. 2М6. Получим / !и — х,+1) — х,=х,. 3 ( 2= 1. (2-79) Траектория показана на рис. 2-16, а (линия 71). Симметрично с ней относительно начала координат в четвертом квадранте расположена траектория Хз. Чтобы любая траектория, лежащая выше 1ч, ни при каких х, не ушла в бесконечность, дх,/й должна быть отрицательной, и из (2-63) следует, что при этом и1 = — 1.
Аналогично можно убедиться, что для траектории ниже Ц должно быть — *-11-)0 и и1 = 1. Линия 7.1/.„таким образом, есть линия Й переключения, выше которой и1 = — 1, ниже и1 =- 1. Линии Г1 —— = а/2 и Г, = а/2Х разграиичивают части траекторий АВ, на которых движение совершается по законам, определяемым условиями (2-73) (выше Г,), (2-75) (между Г, и Г,) и (2-74) (ниже Г,). В четвертом квадранте аналогичную роль играют прямые Г1 = = — а/2 и Г1 = — а/2Х. На рис.
2-16, б показан оптимальный процесс, соответствующий траектории АВО на рис. 2-16, а. Так же как и при управле- яии двигателем при постоянном независимом возбуждении, и, на первом интервале и, = 1 раагоняет двигатель, на втором и, = — 1 тормозит его; из создает дополнительное ускорение процесса. ПРи положительном и, и малой (или отРицательной скоРости хз), л, способствует разгону и потому на первой стадии процесса имеет наибольшее значение. По мере возрастания х, из начинает оказывать тормозящее действие, поэтому в средней стадии, когда еще процесс разгона не закончился, но скорость х, достаточно велика, л, начинает снижатьсн. На последней стадии, когда и, = — 1, и, начинает оказывать только тормозящее действие, и так как на этой стадии торможение должно быть наиболее интенсивным, мы прикладываем максимальное значение и, = 1.
Другой пример системы оптимального управления с двумя воздействиями рассмотрен в [155~. ГЛЯВЯ ТРЕТЬЯ ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 34. Поотанонна задачи. Принцип оптнмальноотн Почти одновременно с опубликованием принципа максимума американским математиком Р. Беллманом был разработан метод динамического программирования. Работы в этом направлении начались с 1949 г., и сначала их реаультаты помещались в не- публикуемых широко отчетах фирмы Рэнд Корпорейшн в Санта Моника. Широкая публикация метода началась с 1953 г. Наиболее полное изложение метода дано в [2051. В этих работах предлагался общий метод сведения вариационных задач к решению функциональных уравнений. Метод был рааработан для исследования систем оптимального управления значительно более широкого класса, чем системы, описываемые дифференциальными уравнениями, и он применим поэтому не только к оптимальным задачам динамики, но и к весьма широкому кругу технических и экономических задач, в которых связи между координатами, управлениями и критерии оптимальности могут задаваться как в виде уравнений весьма проиавольного вида, так и в виде экспериментально определенных графиков или таблиц численных данных.
Первоначально увлечение динамическим программированием было столь же сильным, как и увлечение принципом максимума. При обосновании метода динамического программирования предполагается, что функционал, выражающий критерий оптимальности, является дифференцируемой функцией фазовых координат. Так как в ряде случаев, решаемых методом динамического программирования, упомянутое условие не выполнялось, это дало основание Л.
С. Понтрягину утверждать, что метод динамического программирования скорее представляет собою хороший эвристический прием, чем математическое решение задачи. После того как предположение о днфференцируемости функционала сделано, метод приводит к уравнению в частных проиаводных (уравнение Беллыана). Это вообще усложняет аналитическое решение, но основная сила метода заключается в том 62 хх; =у;(х„..., х„, и„..., и,), ~=1, 2, ..., п (3-1) пли в векторной записи — =1(х, и). ах ~й (3-2) Число управлений т принято равным числу координат и, но это не сужает задачи, так как, если т ( и, то и — т управлений в уравнении полагаются равными нулю.
На координаты и управления могут быть налон~ены различные ограничения. Пусть, например х и и должны принадлежать 63 что он позволяет избежать аналитического решения и дает весьма прозрачные, хорошо осмысливаемые физически алгоритмы приолиженного решения задачи путем расчленения ее на этапы, вычислений на каждом этапе локальных участков оптимальных фазовых траекторий без «оглядки» на граничные условия и целенаправленного перебора локальных вариантов для получения окончательного решения. Здесь как бы сочетается кусочно-линейная аппроксимация с методом динамического программирования, на основе чего вырабатывается весьма общая процедура численного „кределения оптимального управления.
Однако в сложных случаях объем вычислительной работы ори реализации атой процедуры также оказывается зачастую непосильным даже для самых крупных современных вычислительных машин. Поэтому продолжаются попытки усовершенствовать вычислительную процедуру динамического программирования. Интересная попытка была сделана Мерриэмом (249; 2 50], предложившим аналитическую формулировку закона управления, основывающуюся на беллмановском принципе оптимальности. Закон также формулируется в виде уравнения в частных производных.
В случае, когда критерий оптимальности представляет собою квадратичный функционал относительно управления, а уравнения системы линейны, задача сводится к обыкновенным нелинейным уравнениям типа Риккатти. В других случаях уравнения решаются численно, причем удается обойтись меньшим количеством вычислительных операций, чем в процедуре Беллмана. Другое усовершенствование в виде метода последовательных вариантов было предложено в (114).
В работе (158) были рассмотрены методы Понтрягина и Белл- иана и выяснена связь между ниии. Перейдем к формальному кзлон<ению исходных этапов метода динамического программирования. Пусть математическое описание системы дается системой дифференциальных уравнений к некоторым, определенным образом заданным множествам или областям Х и У. х~еХ, и~У. (3-3) Пусть критерий оптимальности выражен функционалом У, который может зависеть от координат х, управлений п и, в общем случае, времени г т у= )гг' (хм ..., .г„, и„..., и„, Е) й. (3-4) Функционал l выражает обычно или выгоду от управления (полученное количество продукции, прибыль, к. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
