Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Аппарат функционального апалива оказался в этом смысле наиболее подходящим. Хотя опыт использования нового подхода к решению оптимальных задач еще недостаточен для окончательного суждения об области рационального применения методов функционального анализа в технике управления, все же полученные результаты представляются интересными и перспективными. В данную главу для облегчеяня чтения введен справочный материал без доказательств и развернутых пояснений, не исключающий необходимости проработки его по одному нз специальных курсов [35, 109[. Необходимый минимум сведений изложен в [242[. Функциональный анализ изучает свойства операторов и функционалов в абстрактных многомерных или бесконечномерных пространствах, элементами (а»очками») которых являются функции, числовые последовательности илн же объекты более общей природы, а также онерацин над атими элементами.

Идеи и методы функционального анализа дают возможность широких обобщений и установления связей между различными разделами ыатематики, ранее кававшимися рааобщенными. М н о ж е с т в о состоит из э л е м е н т о в, обладающих некоторым заданным свойством. Может случиться, что множество не содержит ни одного элемента, обладающего заданным своиством, тогда оно называется и у от ы и по отношению к этому свойству. Понятие шустое множество» можно рассматривать как обобщение понятия »нуль» на совокупности элементов любой (пе обязательно числовой) природы.

Принадлежность элемента з к мно. жеству Х обозначается знаком включения С. Если каждый элемент множе. ства А входит также и в мноя<ество В, то множество А или является частью множества В (что обоаначается символом А ~ В или В э А) и называется его п о д м н о ж е с т в о м, или же совпадает с ним, что обоавачается анаком равенства А = В. Если А с: В и В сх С, то, очевидно, А с —.. С.

Элементами множества могут быть не только числа, но самые разнообразные объекты: функции, операторы, матрицы и просто предметы, поэтому математические действия над конкретнымн множествами требуют определения [5[. Суммой множеств А,, А», ..., А„навывается множество В, каждый алемент которого содержится хотя бы в одном нз множеств А; и кото- рос содержит все элементы этих множеств. Сумма обозначается символом и ОА.=В. (4-1) 1-1 Сумма подчиняется переместительному и сочетательному законам: А Ц В=В Ц А; А Ц (В Ц С) = (А Ц В) Ц С. ~ Аналогичными свойствами обладает и арифметическая сумма. Но если В есть подмножество множества А, то А Ц В = А, если В ~ А.

(4-3) Свойство суммы (4-3) не имеет аналогии в арифметической сумме. Пересечением (или произведением) множеств Аю 4,, А„называется множество В, элементами которого являются все элементы, общие для всех множеств А,. На рис. 4-1, а пересечение множеств Аю Аз, Аз заштриховано. На рис. л) 4-1, 6 пересечение множеств А, и Аз / )/~ ~) есть пустое множество. Произведение множеств обозначается символом з С=Э () А,=В. (4-4) (4-2 ) Рнс. 4-1. Рис. 4-2. Разностью множеств А и В называетснмножество С, составленное из всех тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В. Разность обозначается символом ': С=А В.

(4-5) Могут быть следующие четыре случая разности (рис. 4-2): 1) множества А и В не содержат общих элементов (рис. 4-2, а). В этом случае С есть пустое множество, обозначаемое б) С=А',В=(б; (4-6) 2) А и В содержат общую часть (рнс. 4-2, б). Разность на рисунке заштрихована. 3) А есть подномножество множества В (А с †.

В). А в этом случае не содержит элементов, которых нет в В, и разность А ', В есть также пустое множество (рис. 4-2, в). 4) В есть подмножество множества А (В <: А) (рис. 4-2, г). В этом случае разность А ' В называется д оно л не н ие м множества В и обозначается символом В т В з=А' В, если ВсА. (4-7) Чтобы сделать возможным сравнение элементов множества н распростра- У Уэ б У' Ув 6 У уэ = э" Р у уэ = пнп Ь„ (4-8) Так, подмножество вещественных чисел — оэ < у < 1 ограничена, но не имеет последнего элемента, так как 1 не принадлежит множеству.

Подмножество — со < у < 1 имеет точную верхнюю границу, равную 1. Аналогичноопределяютсянижняя си точная нижняя границау„, нли первый элемент множества: у.=жру, у, у. 6 У' (4-9) у„=гаахс, ув ~ У. П р о с т р а н с т в а. Множества, в которых каким-либо способом определены понятия последовательности и предела последовательности, называются абстрактньгми пространствами, или просто пространствами. Пространства, элементами которых являются функции, яазываются фуякцион а л ь н ы ми п р о от р а кот в а ми. Множество Х называется метрнчоским пространством, если для него установлена м е т р и к а, т. е. каждой паре его элементов х, хз поставлено в соответствие неотрицательное число р (хы хз), называемое расстоянием между элементами, которое удовлетворяет следующим соотношениям, называемым а к с и о м а и н и е т р и к и: 1) р (*„х,) = О тогда и только тогда, когда т, =- х, (а к с и о и а т о ждества); 2) р (хю хэ) =- р (хю хг) (а к с и о м а с и м м е т р п и); 3) р(хг,хз)+ р (хз,х) = р (хыхз) (аксиома треугольника), Эти аксиомы имеют ясный геометрический смысл, если Х есть множество всех точек плоскости или трехмерного евклидова пространства.

Для метрического пространства понятие п р е д е л а и о с л е д о в ат е л ь п о с т и установлено так; последовательность элементов (х, х, ..., х„, ) из Х имеет предел, равный х, если р (хэ, х) — О при а — сс. Так же 84 пение на них других математических действий, в множествах может быть в ряде случаев установлено п р а в и л о с л е д о в а н и я для всех, или для некоторых пар его элементов.

Если в соответствии с таким правилом, например, установлено, что элемент а предшествует элементу Ь, то этот порядок следования обозначается неравенством а -. Ь. Если, кроме того, для некоторой группы элементов множества установлено, что для каждой этой группы а, Ь, с соблюдаются условия: 1) из а < Ь и Ь < с следует а < с; 2) а с1 а (элемент не предшествует сам себе); 3) ива < Ьи Ь < а следует а= Ь, то множество называется ч а с т и ч н о у п о р я д о ч е и н ы м, а элементы, для которых могут быть установлены соотношения следования, называются с р а в н и мы м и.

Если для любых двух элементов множества хи Ь либо а< Ь,либоЬ< а,то множество называется упорядоченным. Пусть, например, рассматривая числовые множества, устанавливаем такой порядок следования: меньшее по величине число предшествует большему. Тогда множество всех вещественных чисел будет упорядоченным. Множество же комплексных чисел, если считать, что а + гй < с + 1а тогда, когда а < с и Ь < 8, будет частично упорядоченным, так как порядок следования, например, для 1+ 21 и 2+ 1 не установлен. Подмножество У частично упорядоченного множества о г р а н и ч е н о с в е р х у, если существует элемент Ь такой, что у < Ь для всех у с У.

Элемент Ь называется верхней границей множества У. Наименьшая из всех верхних границ у„принадлежащая подмножеству, называется его т о ч н о й в е р х н е й г р а н и ц е й и л и п о с л е д н и и (м а к с и м а л ь н ы м) элементом множества: как и в анализе, предел последовательности обозначается символами х„— л яли Пш х„= х. В функциональном анализе доказывается, что в метрическом и > пространстве: 1) любая подгюследовательность сходящейся последовательности сходится к одному и тому же пределу; 2) последовательность может сходиться не более чем к одному пределу; 3) для всех элементов сходящейся последовательности [х„) расстояния р (х„, а) до любой фиксированной точки а пространства Х ограничены. Ш а р ам Я (а, г) в метрическом пространстве Х с центром в точке а ( Х н радиусом г называют совокупность точек х (- Х, для которых удовлетворяется неравенство р (х, а) < г. Если удовлетворяется соотиоп>ение у(х, а)<г, шар навывается замкнутым.

О к р е с т н о с т ь ю точки а ( Х называют любой шар с центром в этой точке. Точка х будет пределом последовательности лишь тогда, когда любая окрестность этой точки содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого х„. Если дано множество М~Х, то точка а называется п р едельной точкой множества М, если ее л>абая окрестность содержат хотя бы одну точку множества М ' а, т.

о. если для любого г справедливо соотношение Я (а, г) () (М ' а) = (Э. Множество, ие содержащее своих предельных точек, называется о т к р ы т ы м, содержащее все свои предельные точки — э а и к н у т ы м. Так, отрезки — 1 < х < 1 я — 1 < х < 1 на нрямой Х имеют иредельные точки — 1 и +1; первый из этих отрезков открыт, второй замкнут. Множество, полученное путем присоединения к М всех его предельных точек, называется з а м ы к а н и е м м н о ж е с т в а М и обозначается М. Множество замкнуто, если М = М, и открыто, если его дополнение Х ~~ М замкнуто.

Говорят, что множество М плотно в множестве С, если С >: М и М всюду плотно в пространстве Х, если Х = М. Множество нигде не плотно в пространстве Х, если каждий шар етого пространства содержит в себе некоторый шар, свободный от точек множества М. Функциональная зависимость. Оператор.

Если дано правило (закон), устанавливающее однозначное соотношение мел>ду каждым элементом * ( Х множества Х и вполне определенным элементом у ~ У другого множества У, то говорят, что з а д а н о п е р а т о р [, у = (х, определенный на множестве (т.е. длявсехвлементовмножества) Х с областью еначений, расположенной в множестве (т. е. для неко>карих элементов множества) л. Элемент у при этом называют образом элемента х, а заеме>гг х — прообразом элемента у.

Характеристики

Список файлов книги