Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Весьма важны два частных случая операторов: 1. Когда вначения оператора являются вещественными числами, операто называется функционалом. . Когда х и у являются вещественными числами, оператор называется ф у и к ц и е й у = 7 (х). Функция у = ( (х), определенная на некотором множестве М пространства Х с областью значений в множестве К называется непрерывной в точке х, ЕМ, если для любого вещественного числа е > О можно найти вещественное число 6 > О такое, что бг [( (х), ( (хо)[ < з для всякой точки х~М, удовлетворяющей неравенству рх (х, хе) < б (индекс у р означает пространство, в котором определяется расстояние). Отсюда, если х„— х„то и ( (х„) — [ (хо).
Если существует взаимно однозначное отображенйе некоторого метрического пространства Х на метрическое пространство У, эти пространства называют гомеоморфными. Мера множества. Измеримые функции. Для пояснения понятия меры множеств рассмотрим сначала одно из простейших множеств — точечное множество на прямой линии.
Пусть отрезок [а, (>,[ на прямой не содержит граничных точек и является поэтому открытым. Длина интервала 1 ь, которая может служить простешпим примером г е о м е т р и ч е с к о й м е р ы о т р е э к а, обладает следующими свойствами: 1) как бы ни располагались 85 г, ~ тьС (Хд) Ю! = ~ МьС (Хь), ь=! ь ! (д-)О) вв точки а, Ь ка прямой, длина ! ь или положительна, или равна кулю при а = Ь, т.
е. ),ь — к е о т р и ц а т е л ь я а я ф у к к ц и я и и т е р в а л а; 2) как бы мы ии делили отрезок [а, Ь] ка т частей, соблюдая при этом, чтобы ок был суммой кокечкого числа т полуоткрытых промежутков (полуоткрытых для того, чтобы в сумму вошли все граничные точки промежутков, причем каждая лишь по одному разу), )оь =~ )ь, т.
е. ф у к к ц и я )„ь а да.=! д и т и в я а; 3) функция )аь стремится к нулю иа исчезающей последователькости промежутков, т. е. ояа к о р м а л ь я а. При любом другом покрытии интервала [а, Ь] (частичкое каложекие отрезков, включение границ более чем по одному разу и т. п.), ),ь = Е )д„, поэтому из всех возможных вкачений сумм В)дь длина отрезка ! ь будет равна точной каииекьшей границе этих сумм. На плоскости полуоткрытый промежуток определяется керавекствами а > х ..- Ь, с > у > д, а в качестве простейшей меры выступает площадь, также обладающая тремя отмеченными свойствами — кеотрицательвостью, аддитивкостью и нормальностью. Если множество наделяется, помимо геометрических, другими свойствами, понятие меры будет усложняться. Так, если точка прямой (или плоскости) обладает массой, то в качестве меры может быть принята общая масса данного отрезка (фигуры).
Если масса равномерно распределена по линии или площади, то меры, определенные ка основе длины (или площади) и массы, будут связаны пропорциональной зависимостью, при неравномерном же распределении массы оки будут существенно отличаться. Понятие меры может быть обобщеко ка любую функцию, обладающую тремя отмечевкыми свойствами. Пусть на множестве А определена неотрицательная, аддин<изноя и нормальная функция 6 (Л) полуоткрытая промежутков множества. Внешней мерой [А~ множества А нагивается точная нижняя грань вначений сумм ь<е (Л ) при всех вовможних покритилх множества А промежутками йп. Если множество А моя<по покрыть открытым множеством В так, что разкость А ' В будет сколь угодно малой, то множество А казывается и з м е р им ы м.
Виешкяя мера измеримого множества казывается простой мерой. Так как в дальнейшем практически встречаются только измеримые миожества, будем говорить просто о мере, опуская слово простая. Пусть ва измеримом множестве Х вадака функция ! (х) точки множества, принимающая вещественные акачекия, Введем обозначения Х [Г' > а], Х [1 = а! Х [! = а], Х!! < а], Х [г ( а] для множеств точек, в которых 1 (х) принимает значения, определяемые сооткошевиями в квадратных скобках. Фуикция ! (х) измеримого множества называется и з м е р и м о й ф у и к ц и е й, если для любого веществеквого а все пять выписанных выше множеств измерииы. (Достаточко измеримости для любого а одного из ких, так как иэ этого будет следовать и измеримость остальных.) Непрерывные функции, функции с конечным числом разрывов непрерывности, кусочно-постоянные функции, принимающие ка Х конечное или счетное число постоянных значений измеримы.
Интеграл Лебега. Обобщение понятия меры приводит к обобщению понятия интеграла. Пусть на измеримом множестве Х конечной меры [Х) определенной ка основе функции П (а) определена измеримая ограниченная функция Г'(х) ( В ( — некоторое положительное число). Разобьем Х ка конечное число подмножеств Хт ке имеющих общих точек. Пусть ть и Мь— соответственно нижняя и верхняя границы экачекий [ (х) ка Хя. Составим суммы „де Ь вЂ” символ способа подразделения Х на подмножества Хд.
Суммы аз и у ограничены для любых Ь (т. е. для любых способов подразделения): [зь [ ! од [<ЕС (Х) (441) я поэтому имеют верхнюю (1) и нижнюю (!) точные границы. !' = 1пГ [ ад [, 1 = эпр [ оз [. (4-12) Если ! = 1, то функция 1 (х) нааывается интегрируемой по С (Х) в смысле Лебега на множестве Х. Интеграл Г = 1 = 1 [ (х) С (!ГХ) Х называется интегралом Лебега — Стильтьеса.
Если функция С (Ь) есть простейшая геометрическая мера, то интеграл (4-13) называется просто интегралом Лебега. Пусть т и М вЂ” точные нижняя и верхняя границы функции у = 1 (х). Разобьем промежуток т, М на части точками уд: т = у, < у, < у, «... у, < уи = М. Подмножества Хд, на которые раабивается Х, определяются при этом так: Х,=Х[у,<[(х)<у], ..., Хд= — Х[уд,<Г(х)<уд], ... (414) Д=2,3, ..., п. ~уд тС(хд)<г,<Я,< У; удС(хд); д ! д=! и о ~ уд дС(Хд)< !<1< ~ удС(Хд).
д ! д=! (4-15) Величина интеграла Лебега равна пределу сумм Лебега при бесконечном измельчении подразделения промежутка [и, М] на части. Интересно соноставить обычный интеграл Римана с интегралом Лебега. ЕГа рис. (4-3, в и г) показано подразделение площади функции Г (х) на элементарные площадки по Риману. Основой для деления служит деление оси независимой переменной. Очевидно, что численные значении интегралов Римана н Лебега получаются в этом примере одинаковыми.
Если функция интегрируема в смысле Римана, то она интегрируема н по Лебегу, причем интегралы Римана и Лебега совпадают. Различие появляется тогда, когда мы имеем дело с множествами и функциями более общего вида. Есть функции, интегрируемые по Лебегу, но не интегрируемые по Рнману. Так, функция, равная единице во всех рациональных точках отреака [0,1]и равная нулю в остальных его точках, не интегрируема в смысле Римана, и интеграл Римана для вее не существует.
Но интеграл Лебега для этой функции существует. Так как множество рациональных чисел счетно и его мера равна нулю, то интеграл Лебега этой функции также равен нулю. Интеграл Стильтьеса. Интеграл Лебега можно рассматривать как обобщение интеграла Римана. Другое важное обобщение интеграла Римана— интеграл Стильтьеса. Пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывная интегрируемая функция !Г (!) и некоторая функция ограниченной вариации Г (!). Разобьем интервал ]а, Ь] на интервалы Гд так, чтобы а = Г, < Г, « ..
Г„= Ь, Подразделение вида (4-14) называется подразделением Лебега, а суммы и ~ удС(х) — суммами Лебега. Очевидны неравенства (см. рис. 4-3, а и б): д=! и построим последовательность сумм вида п — 1 ~ 1У (Ьа) [/ (11, ,) — ( (Ьд)). ь = е Будем увеличивать число делений так, чтобы наибольший отреаок гаы — га стремился к нулго. Если Ьь непрерывна, а 1 — фуикция огракичевкой вариации, то каждая яоследовательпость Я имеет предел, яе вависящий от способа раабиеиия интер- а) иву, уг У, охе х, хг хэ хэ Ь е х, хг хэ х, Рис. 4-3.
вала [а, Ь[, называемый интегралом Стильтьеса: Ь $ ~р(1) а1)(1); а при ( (1) = 1 этот интеграл совпадает с интегралом Римана. наиболыпее иэменекие фуикции 1(1) на отрезке называется ее п а иб о л ь ш е й в а р и а ц и е й и обоэначается Ь '/ = п1ах г(1) — пег(1); а а-1 Ь; а 1 Ь. Примеры метрических пространств. Сепарабельиость. Компактность. Коиечкомерное евклидова пространство Е„. 8В Элементами и-мериого евклидова пространства являются упорядоченные системы из групп яо и вещественных чисел (коордииат).
Расстояние между двумя элементами х = (ет $г, ..., еп) и у = (тй, 1)з, ..., пт) равно р(х, у) = [ ~ яв — в)1)г, 1 1 (4-16) (4-17) получаем обобщение евклидова простраиства, называемое пространством 11"1. При р = 2 получаем и-мерное евклидова простраиство. р' Пространство числовых последовательиостей 1р. Когда чясло вещественных чисел в группе, образующей элемеят бесконечно велико, х = = (Е„$г, ... Еп, ...), У = (т)г, 1)„..., т(„, ...), та, ВВЕДЯ МЕТРИКУ С ПОМОЩЬЮ соотношения ог 11 Р(*. У) =~ Х (4 — 9(Р(Р (1=! 7 (4-18) получаем пространство числовых последовательвостей 1р.
Выполнение аксиом метрики проверяется с помощью неравенства Минковского для сумм. При р = 2 получаем координатное гильбертово пространство )г. Пространство функций е интегрируемой по Лебегу р- степенью Е [0,1). пусть х множество всех функций х (1), прияадлежащих 7,р (0,1], т. е. заданных иа отрецке 0,1. Если отрезок изменения переменной аЬ, то подста- 1 — о ковкой т = — — мы всегда можем преобразовать отрезок аЬ в отрезок Ь вЂ” а [0,1[. Полагая (1 ' 1Ф р (х, у) = ~ ( х (1) — У (1) (Р бг) (4-19) с помощью неравенства Минковского для иитегралов проверяем выполнение аксиом метрики. При р = 2 получаем гильбертово 16уннциональнос пространство Хч.
Пространство непрерывных фуивций С (0,1] с петриной Чебышева. Метрика вводится с помощью соотвошеиия р(х, у) = шах(х(С) — у(1) (. (4-20) Простраиство ограиичеииых вещеетвеииых фуикций М [0,1]. Метрика вводится следующим образом: р(х, у) = зпр(х(1) — у(1) (. Очевидио, С [0,1] с: М [01[. (4.21) Простейшими видами евклидовых пространств являются геометрическое (трехмериое) пространство, представляющее собою множество троек веществеяиых чисел, плоскость — совокупиость пар чисел, и лилия. Аксиомы метрики в геометрическом пространстве и плоскости выражают известные соотношения для сторои треугольников и отрезков, давших имя аксиомам метрики и для простраиств более общего вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
