Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Примером второй является гильбертов параллелепипед, т. е, множество Р точек х = (х, х, ..., х„, ...), для которых )хг( ( 1, Ц ( гг'„..., (хн, '( г/з", ... Для установления компактности множеств предложен ряд критериев. Достаточно общий, но мало удобный критерий дается теоремой Хаусдорфа, излагаемой в курсах функционального анализа. Из менее общих, но более удобных критериев отметим: Критерий компактности в пространстве (р Множество М~!р компактно тогда и только тогда, когда: а) оно ограничено; б) для любого е ) О можно выбрать Н (е) такие, что для всех т ) У и произвольного * = (хд, хг, ..., х „...) ~М выполняется неравенство (4-36) ~х ~Р(зР, ! гп+! Критерий компактности в пространстве Ьр (теорема Колмогорова) Множество М~:Ьр компактно тогда и только тогда, когда: а) существует число К такое, что для любой функции х ~ М имеем ! (4-37) !х(г) Р у!~ко; б) для любого е > О можно выбрать число Ь > 0 такое, что для любои х (!) ~М выполняется неравенство ври — — х(т) йт (е, 2и (4-38) с — л если Ь < 6.
Критерий компактности в пространстве С [01] (теорема А рчела) Множество М С компактно тогда и только тогда, когда: а) существует число К такое, что для любой х (!) ~~М справедливо ! х(!) ((К; (4-39) б) для любого е > 0 можно выбрать 6 > 0 такое, что для любой х (!) ~~М справедливо неравенство ]х (г!) — х (с,) / < е, если ~ г! — гэ ) ( 6, г„ г, Е [О, (]. 1 (4-40) Линейные операторы и функционалы.
Оператор А, определенный на линейном метрическом пространстве Е» г областью значений в линейном метрическом пространстве Е„, нааывается аддитивным, если для любых хг, т ~ Х нмеет место соотношение А (хг+ хе) = Ах!+ Ааэ. Оператор называется одиородиим, если выполняется условие А (сх) = аАх (4-42) для любого элемента »Г Х и для любого числа а. Если в множествал Х и г существуют нулевые элементы д, то для аддитивного оператора спрэведлчвы равенства: Ад=8; А( — х)= — Ах. ~ (4-43) Если оператор А адднтивел и однороден, то он также и дистрибутнвен: и и А ~ плхл = ~ ', ал (Ахл). л-! л=! (4-44) А ддитивиий и одиарвдиий оивратор иавывавтва аиивйимм.
Оператор в метрическом пространстве ивирвривви, если для любого а > О найдется 6 > 0 такое,что совокупность образов элемента шара 8 (х, Ь) лежит в шаре 8 (Ах, е). Линейный непрерывный оператор обладает тем свойством, что если х„— х, то и Ах„— Ах. Непрерывный и аддитивный оператор, определенный в вещественном линейном пространстве Е„, однороден. Оператор нааывается овраиичвииивв, если существует такая постоянная М, (/ Ах 5 ( М 5 х ]5 (4-45) Для того чтобы ардитивный оператор был линейным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограииченныы.
Для линейного оператора А наименьшая постоянная М, при которой для всех х ~ Х выполняется неравенство (4-45) называется нормой оператора А и обоаначается )! А )) Можно показать, что 5 А )] = авр 5 Ах ~' (4-46) ! ~ и ц аэ ! пли, что то же самое, ]]А П = впр П Ах П пхп~с (~хП ' (4-47) Можно также показать, что для всех хЕХ ]]Ах]](П А П П х 5. о с*= Х Ь~с с=с (4-48) где Сс — произвольные числа, а $с определяются из равенства х = ~ $сес ~ Е, (4-49) где (ес, ес, ..., е„) — базис в Я„. Общий вид линейных функционалов в С ]0,1] определяется теоремой Рисса: всякий линейный функционал, заданный в пространстве С ]0,1], выражается с помощью интеграла Стнльтьеса; 1 7х = ~ х (с) пп (с), а (4-50) где 8 (с) — функция с ограниченным изменением.
Общий вид линейного функционала в ср будет сх = ~~~ сака, (4-51) А =! где Ьа определяются на равенства (4-49), но для хЕ Ср. Общий вид линейного функционала в Ьр (0,1]: 1 сх = ~ х (с) а (с) ос, (4-52) где а (с) — любая фиксированная функция сс (с) ~5ч [0,1]. Числа р н д связаны соотношением 1 1 —. + — =1. р т (4-53) Множество всех линейных операторов, определенных на Х со значениями в У, обравует линейное пространство, которое относится к типу бапаховых пространств. бсуякционал есть частный вид оператора, и по отношению к линейным функционалам справедливы те же правила относительно аддитивности, ограниченности, однородности, непрерывности, которые были приведены для линейных операторов.
Множество всех линейных функционалов на некотором нормированном пространстве Х образует линейное нормированное пространство, наеываемое пространством, сопряженных с Х, и обозначаемое Х. Сопряженное пространство всегда полное, независимо от полноты исходного пространства. Для многих функциональных пространств можно указать общий вид всех линейных функционалов, определенных на этих пространствах. Так, общий шщ линейного функционала Сх в о-мерном эвклндовом пространстве будет: Пармы линейных функционалов общего вида равны: 1] У 1] = ~д ~11! й ! ! ]]У]1 = Ч (б).
0 ! со '!1/д [У11=[ Х 16 ] )ь=! 1 /! !!ш 11 / 11 = ] ~ 1 и (С) ]Ч с!1 ~ (5 и пространстве Е„ «6[0, 1] (4-54) е Ер ! где Ч вЂ” символ, означающий полное изменение функции в интервале ]0,1]. е При исследовании линейных функционалов часто оказывается практически целесообразным следующий прием: функционал сначала определяется не на всем пространстве Х, а на некотором его подпространстве, представляющем собою линейное многообразие. Далее делается попытке расширить область, в которой первоначально был определен функционал так, чтобы сохранить его наиболее существенные свойства, в частности норму.
Пусть линейный функционал Фх определен только для элементов х г 6, причем 11Ф!16 = зпр 1Фх16 ° Е 6 !~х!! 1 Расширением функционала Ф с сохранением нормы иаэываетсн такой линейный функционал Рх, который определен в пространстве Х и имеет норму ]1 г" ]1 = зпр ,,'1рх!5 х 1= Х, Зх!,'«1 причем для каждого элемента хЕ6 справедливы равенства: х ч 6' 11 Р 1]х = 11 Ф 110. Расширение функционалов базируется на теореме Банаха — Хана: каждый линейный функционал, определенный на многообразии 6, можно расширить на все линейное нормированное пространство Х, с сохранением нормы. Сеиряженнне пространства и вператерн.
Совокупность всех линейных функционалов !х, определенных на линейном нормированном пространстве Е, обрааует банахове пространство Ее, сопряженное с пространством Е. Рассмотрим пространства Ьр [0,1] и Ьз [0,1], где — 1' (4-55) Каждому функционалу !х 6Ьре [0,1] однозначно соответствует функция а (1) 1- ь [0,1] и обратно, поэтому между пространствами ь* и е устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Пространства Ье и Ьз;таким образом, можно считать сопряженными. При р = 2 получаем о = 2 и А' [0,1] = = бя [0,1]. Поэтому пространство Ь [0,1] называется са носоиряженнми пространством. Линейный функционал в гильбертовом пространстве порождается элементом этого же пространства и гильбертово пространство также является самосопряженным. По этой причине будет самосопряженным и эвклидово пространство. Пусть линейный ограниченвый оператор у = Ал отображает линейное «оРмиРованное пРостРанство Еа в линейное ноРмиРованное пРостРанство Е„. Пусть на Ез определен линейный функционал Еу.
Тогда 4!у определен для у = Ал, где х — любой элемент из Е„, н мы имеем Еу = ср (Ал) = [л, где )л — линейный функционал, определейный ва Е .. Каждому функционалу сс,сЕ„*ставится в соответствие функционал 1!-Е„".. Таким образом построен некоторый оператор, определяемый на Е*„, с областшо значений в Е„'« Втот оператор обозначают Аь и называют оператором, сопряженным с А. !'авенство сру = сл записывают в виде ! = Аьср. Рассмотрим линейный оператор в пространстве Ьс [0,1[: ! Ах=у(с)= ~К(с, с)х(з)уз, (4-50) з где К (с, с) — непрерывное ядро.
Произвольный линейный функционал «Лз [0,1] имеет вид ! Уу = (у,!) = ~ у (с) У (с) ьсс, У (с) Е Еэ [О, 1]. (4-57) с Поэтому ! (1 1(~ ~=]!«[]~в, ) ° ма~ ! = ~ х (э) ['! К (с, с) С (с) Ыс ) асс = ~ я (г) у (з) с(з, д 6 4 где у (з) = ~ К (С, з) С (С) ЛС. (4-55) Таким обрааом, переход к сопряженному оператору в пространстве 5з [0,1] означает перестановну переменных в ядре. Оператор А', сопряженный с линейным ограниченным оператором А и отображающий линейное нормированное пространство Е„в линейное нормированное пространство Ег есть также линейный огракйченный оператор с той же нормой: [~ А" 9 = [] А [[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
