Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Решение ряда задач оптимального управления, базирующееся на (-лроблеме моментов, приведено в [36 — 40[ н [80, 81]. ГЛАВА ПЯТАЯ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ 5-1. Развитие етатнетнчееннх метадон в теернн евтнманьных енетем Статистические методы в теории оптимального управления применяются в тех случаях, когда информация о системе и среде оказывается неполной: либо не известны воздействия на систему, либо часть ее параметров изменяется не известным заранее, случайным образом и т.
д. В этих случаях возникает естественная мысль — восполнить недостающие сведения путем задания на основе эксперимента или же некоторой гипотезы каких-либо характеристик случайных факторов (кривой распределения, плотности распределения, моментов случайных функций и т. п.). Статистическое направление в теории оптимальных систем первоначально возникло на основе теории оптимальной фильтрации А.
Н. Колмогорова — Н. Винера. Первой по времени была математическая работа А. Н. Колмогорова (67), в которой излагались вопросы интерполяции и экстраполяции случайных последовательностей и по существу был дан математический аппарат для исследования нахождения уравнений стационарных дискретных систем, оптимальных в смысле средней квадратичной ошибки. Непосредственное использование результатов А.
Н. Колмогорова в автоматике началось после появления работы Н. Винера (269), который распространил теорию на непрерывные системы. С этого момента началось интенсивное развитие теории статистически оптимальных систем. Простейшая линейная задача нахождения оптимального фильтра в системе, на которую действуют стационарные случайные полезный сигнал и помеха, была рассмотрена в части 11 (гл. 3).
В (162) было показано, что при воздействии на вход системы суммы математического ожидания полезного сигнала, выраженного полиномом и центрированной стационарной случайной функции, методы определения, раавитые Л. Заде и Дж. Рагаццини 1ОО [270 — 272[ полностью применимы и к более общему случаю, когда входной сигнал содержит, кроме того, полипом со случайными коэффициентами. В работах В. С. Пугачева [137, 139, 145[ дается важное обобщение проблемы оптимизации по минимуму среднеквадратичной ошибки. Для нахождения линейного оператора А, преобразующего входной сигнал г, содержащий некоторый полезный сигнал и помехи, и * = Аз так, что выходной сигнал системы ш * в любой момент времени приближается к требуемому сигналу и с наименьшей среднеквадратической ошибкой, получено интегральное уравнение для матрицы весовых функций д (1, т), которая и определяет оператор А: $ я(е, т)Г,(т, о)дт=Г,(ю, о), г — Т(а="ю, (5-1) где Г, (й, й') и Г„,, (й, й') — соответственно матрица моментов второго порядка составляющих вектора входных сигналов з и матрица смешанных моментов второго порядка составляющих вектора требуемых выходных сигналов м и вектора входных сигналов з, а И вЂ” Т, 1[ — интервал времени, в течение которого входной сигнал действует на систему.
Т равно полному времени работы системы или ее памяти. В И45) дано решение уравнения (5-1) методом канонических разложений. В [8 — 10[ показано, что нри любом критерии, представляющем заданную функцию моментов ошибки системы первого и второго порядков (критерий экстремума заданной функции математического ожидания и дисперсии ошибки) ~ (М [Е), й [Е)) = ех1гетит, (5-2) задача также сводится к уравнению (5-1). В [47) исследован вопрос о реализации оптимальных систем с помощью аналоговых вычислительных устройств. К сожалению, общие методы дают лишь общую характеристику оптимальной системы в целом.
Для получения оптимальных характеристик корректирующих цепей в замкнутой системе приходится делать пересчеты, оказывающиеся сравнительно несложными лишь в простейших линейных стационарных системах. Несмотря на большое число работ в этом направлении, задача непосредственного определения характеристик реализуемых цепей еще далека от завершения в основном из-за отсутствия достаточного числа исходных статистических характеристик. Параллельно с исследованием линейных велись работы и по нелинейным системам. Основополагающей работой в атом направлении является работа В.
А. Котельникова [72), в которой впервые решалась задача об обнаружении сигнала на фоне белого шума по критерию минимума вероятности ошибки. 110 Разработка теории нелинейных оптимальных систем шла по двум основным направлениям.
Одно из них основывается на канонических разложениях случайных функций И45). Разработанные методы позволяют, решая систему линейных интегральных уравнений, определять весовые функции для нелинейных оптимальных систем, приводимых к линейным по тем же критериям, для которых развиты методы оптимизации линейных систем.
Второе направление основывается на теории статистических решений. Интересен результат, полученный с помощью общей теории статистических решений: в случае нормально распределенных сигналов и помех при любой функции потерь, представляющей собою неубывающую функцию модуля ошибки, получается одна и та же оптимальная система, причем эта система линейна [141, 145, 4 143!. Эта система может быть получена, следовательно, и по критерию минимума средней квадратической ошибки, для которого разработано наибольшее количество практических примеров решения [141 — 144). Для решения нелинейных задач, относящихся к замкнутым системам со случайными помехами, необходимо учитывать и неполноту информации об объекте и его характеристиках и случайные шумы. Это потребовало привлечения новых математических средств (динамическое программирование, теория статистических решений). Одним из направлений в этой области была теория дуального управления [185, 188, 189[, рассматривающая замкнутые системы, в которых управляющее устройство имеет неполную информацию об объекте, а случайные помехи и изменения характеристик объекта не дают возмогкности мгновенно получить требуемую информацию.
В таких системах оптимальное управление имеет двойственный (дуальный) характер — изучение обстановки и направление системы к желаемому состоянию. Ниже будут рассмотрены основные положения этой теории, которую можно рассматривать как мост, связывающий оптимальные и самонастраивающиеся системы автоматического управления. 5-2. Сиетеиы бее накопления информации Реализации процессов в системах с неполной информацией не могут быть строго оптимальными, и можно говорить лишь относительно оптимизации тех или иных вероятностных характеристик процессов в таких системах. Рассматриваемые в настоящем параграфе системы могут быть сведены к общей структурной схеме, показанной на рис. 5-1. Замкнутая линейная система состоит нз управляемого объекта О к корректирующего звена КЗ.
На систему действуют задающее воздействие г„(1) и помеха г (~). Обе эти величины рассматриваются в случае многомерных систем как векторы. Задача состоит 111 в том, чтобы выработать управляющее воздействие и (Г) (т. е. в конечном счете синтезировать корректирующее устройство КЗ) так, чтобы обеспечить минимизацию некоторого критерия оптимальностп.
В этом смысле задача аналогична задачам, рассматривавшимся в предыдущих главах. Однако в ней имеется и ряд существенных отличий, обусловленных тем, что переменная г (г) является случайной функцией времени. Даже если бы мы знали текущее аначение з и все его предшествовавшие значения, то такое полное знание текущего состояния и предыстории помехи не дает возможности точно и определенно предсказать будущее поведение системы в любой момент времени.
Текущее состояние и вся предыстория не содержат полной информации, необходимой для строгого решения задачи об оптимизации, если только хотя бы одно из воздействий на систему оказызвается случайной функцией времени. Поэтому системы со случайными переменными относятся к классу систем с неполной инз формацией. Среди систем с неполной инта л 0 х формацией наиболее близки к системам с полной информацией такие системы, в которых нет надобности накапливать информаРис.
5-1. цию о предыстории системы. Ра- зумеется, такое отсутствие научения предыстории должно оправдываться тем, что мы заранее знаем ряд свойств и характеристик случайной функции з (1), т. е. располагаем априорной информацией о случайной функции. Один из основных подходов к решению подобного рода задач и состоит в том, что мы заменяем точную и полную информацию о состоянии и поведении системы информацией о вероятностных характеристиках, которая считается полной. При этом решение становится возможным, но, конечно, в статистическом смысле; определяются вероятностные характеристики оптимального процесса, минимизируется вероятностная характеристика (обычно математическое ожидание) показателя оптимальности и т.
д. Наиболее развитой в этом смысле является теория оптимальных чисто случайных и марковских процессов. Накопление информации в таких системах бесполеано. В том случае, когда знаем, что г (~) представляет собою чисто случайный процесс (или марковский процесс), знаем его распределение вероятности, измеряем текущие значения з (ц и всех остальных необходимых переменных, полностью знаем воздействие х (Г) и оператор объекта, то мы имеем дело (в соответствии с терминологией А.
А. Фельдбаума) с системой с максимальной (но неполной) информацией (188). С подходом и методикой решения задач об оптимальном управлении в системах с максимальной информацией познакомимся на 112 несложном примере непрерывной системы. Полее сложные виды систем и помех рассматриваются в работах !119, 187, 206, 220, 222, 227„228) и др. Начнем с рассмотрения довольно общей постановки задачи оптимального управления для случая, когда помеха представляет собою чисто случайный процесс, представляющий собою дискретную последовательность независимых случайных величин с нормальным распределением. Интервал между дискретами равен Л~.
Помеха $ является аддитивной (т. е. арифметически суммируемой с неслучайными воздействиями). Пусть уравнение системы — обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка: —,=у(х, и, г)+$(г), (5-3) где х — координата; и — управление; $ — характериауется матеад», 0 матическим ожиданием и (х, Г) и дисперсией -- ' . Наличие в аргументах вероятностных характеристик указывает на то, что процесс в общем случае нестационарный.
Процесс х(Г) представляет собой реальный марковский процесс. Малое приращеяие Лх, как вытекает из (5-3), может быть записано в виде (5-4) Лх=7'М+$ М, где $ Лт также распределена нормально, имеет среднее значение р~ и Лг и дисперсию ' — (Л1)'=о'ЛГ. у Плотность распределения вероятности Условная плотность вероятности для приращения Лх при фиксированных х и г получится, если мы в (5-5) ваменим з ЛГ его выражением, определенным из (5-4): Пусть критерий оптимальности, сформулированный по технико-зкономическим соображениям для системы в предположении отсутствия помех, т. е. первичный критерий, выражается функционалом у, = ~ Р(х, и, г) с(г. (5-7) При наличии помех 7, становится случайной величиной и, следовательно, задача о минимизации его становится бессмысленной.
Чтобы можно было решить задачу об оптимальном управлении, необходимо вместо случайной величины У, выбрать в качестве критерия детерминированную величину — статистический критерий оптимальности. Наиболее естественно для формирования статистического критерия оптимальности использовать первичный критерий, например, принять в качестве статистического критерия оптимальности математическое ожидание величины У,; У = М (Уд) = М ~~ Р(х, и, 1) ~й .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
