Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Н. Красовским [80[, Р. Куликовским [242] и А*г для бесконечного числа и (для систем с эт Р Е распределенными параметрами] А. Г. Бух- l ковским [23, 24]. / Для решения подобных задач во многих случаях удобным оказывается метод, базирующийся на Ь проблеме моментов Лл Крейна [12[. Пусть задача оптимального управле- Р с. 4-5. ния сформулирована следующиы образом: ис. требуется найти такую функцию и (г) (т. е. оптимальное управление), которая принадлежит либо пространству Ьр [О, Т], либо пространству М ограниченных измеримых функций и которая ограничена по норме числом й 1 ) 0: ([в [[~1, (4-75) Заданы начальные условия уе = у (О) При этом ограничивается либо функционал Т г 'с дср [ иа (с) ~г ссс) (с, Ф а=! (4-79) г де=ор [дд[ дивы (тд1, (4-84) где Ф (с) есть матрица фундамевтальных решений однородной системы урав- нений У= "У (4-82) а Чд (с) есть матрица, обратная Ф (с), т.
е. Ч' (с) = Ф ' (с). (4-83) Рассмотрим момент прихода системы в точку равновесия у(с) = у(Т) (4-84) Подставив (4-84) в (4-8() и умножив слева па Ч' (Т) = Ф д (Т) (что можно сделать, так как в интервале [О, Т[ функция Ч' (с) ие обращается в нуль), получим г Ч'(Т) у(Т) = у,+$ Чс(с) В(с) п(с) Нс. о Обозначив Ч' ( Т) у (Т) — у, .= а Чд (с) В (с) = К (с), (4-85) а=~ К(с) п(с) Ыс, (4-86) т. е. в данном случае вадача свелась к проблеме моментов. В качестве иллюстрации приведем пример, рассмотренный в [24[.
Дана линейная система третьего порядка с двумя управляющими воздействиями, уравнения которой имеют вид: йуд = Ус сс суд — = уз+ ид, ис о уз — = ис. ~Й 102 либо выражение шах(|ид[, )ид', ...,,и,,')(С. (4-80) Ограничение (4-79) относится к случаю и (с) Е йю причем левая часть неравенства представляет собою норму функционала )[и[[ в пространстве Ью а выражение (4-80) — к случаю и (с) г М, причем и (с) считается кусочно-непрерывной функцией. Для первого случая при р = 2 неравенство (4-79) обычно выражает ограничение энергии, затрачиваемой на управление. Для второго случая (4-80) пример соответствует ограничению, налагаемому на модули управляющих воздействий. Решение дифференциального уравнения (4-78) при ааданных и; (с) имеет ввд Начальное состояние системы у (о) = о конечное ваданное состояние — начало координат, т.
е. у(т) =о. Решая однородную систему: Ут = Уз) Ус = Уз1 Уз =О найдем уз — — сопзс = с,; Уз = ~ сгс(С+ сз = сН+ сз; о получим С Ф() = 0 0 1 (4-88) Обратную матрицу в общем случае можно найти как матрицу, составленную из элементов ФВ ф'т в 0 (Ф(1 где Ф, — алгебраические дополнения элементов Ч~ц матрицы Ф, ~ Ф ~ — определйтель последней. Но из теории линейных дйфференциальных уравнений известно, что Ф ~ (с) = Ч' (с) = Ф ( — 1), поэтому обратную матрицу в даннои случае мы найдем сразу из фундамен- тальной ы 1 2 0 1 0 0 1 Ч" (с) = Ф( — 1) = (4-89) сз уг = (сгс + сз) й + сз = сг — + сс1 + сз. 2 Для получения фундаментальной матрицы составим следующ>ю систему частных решений: гз у' = (с), с,'1 + с!, с,' — + с!1 + с)), ' 2 сз у' = (сз, с',1-)- с1, сс —.(-с11-(- с1) сз у' = ~с,', с с+ с' с,' — + сы+с,'). ' 2 Выберем в матрице атих решений произвольные постоннные таким обра- зом, чтобы с? = (1 при )О при сну, Матрица В= — 1 О, (4-90) поэтому К (с) = оу (с) В = % 1 — с 0 1 0 0 со с 10 — с1+ — 0,10 — 10+ — 1 2 ' 2 00+11 — СО,00+10-с1 0.0+0.1+1 О, 0.0+О О+1 1 с (4-91) 2 ~ 1 Учитывая, что требуется привести систему в начало координат и что, следовательно, у (Т) = О, иэ (4-85) получаем Уравнения моментов получим, выписывая равенства соответственных отрок матрицы: т а= — у,= ~ Х(с)и(с) )с, Ь т.
е. =) [-,ОН вЂ” .и>)оо 1 2 т [ [ис(С) — Сио (С)[ гй; о т и (с) ас, ) ас = — уос = — 1 (4-92) 1 а = — роз=о= уоо = 0 = т~ и ч шсв ~ ~ 8.)с (С) а)= ~ ~ ~~ Цй (С) асов) Ч (4-93) $1" $ 0)1=1 Ь при условии и ~ е,ас = 1; 2) найти шах ~, 1аа),~С 11, " $иа=с (4-94) 104 В теории моментов важную роль играет теорема: Для того чтобы в пространстве Вр (1 ( р ( со) или М существовала функция и (С), 0 = С ( Т с нормой,не превосходящей числа С, и последовательность и моментов котоРой относительно фУнкЦий )сс (С), )с, (С),..., йи (С) была а„аю..., а„, необходимо и достаточно, чтобы существовало и чисел Ц, $з',..., Ьй, дающих решение одной из следующих задач: 1) найти сои условии т( п Я ь>й> (!) Л! = 1. 0 >=! Функция и (с), дающая решение проблемы, имеет вид Я ! п о (!) = — Уя й,*й,(!) 1 ч! з(яп ~~ $,*.я! (!), (4-95) В приведенных выше соотношениях 8!.
! = 1, 2, ..., и, представляет собой произвольный набор чисел, зе — те значения этих чисел, при котоРых достигаются экстремуыы функционалов в (4-93) и (4-94), а й — мно>китоль Лангранжа, определяемый как Т~ з )э ) = ~ ~ ~ Ргй! (!) ~ И!. >=! (4-96) з т!!ч (4-97) где '/р + >/д = 1, а для случая и (!) ~ М вЂ” то же неравенство при д = 1: в т о ~ аД! =.-1~ ~ Е>л>(!) >(!. >=! з >=1 (4-98) Пусть и (!) Е Ьр является решением бесконечномерной Ь вЂ” проблемы поментое.
Умножая обо части и первых равенств т а; = ~ lс! (!) и (!) >1>, (4-99) на З>, „., $„, складывая ях почленно, используя неравенство Гельдера— Рисса и учйтыеая ~! и ~! ~ 1, получим неравенство (4-97). Аналогичным образом доказывается и (4-98). Теперь покажем достаточность неравенств (4-97) и (4-98). Предположим, что (4-97) выполнено длЯ всех конечных набоРов чисел З>, ..., Зз. Зафиксируем и и потребуем, воспользовавшись тем, что з! произвольны, чтобы выполнялось дополнительное условие ~к~ ад>=1. (4-100) г-! Т) в !/д Тогда интегРал у„=- ~ ~ ~ ь>й>(!) 8! имеет кояечный минимум по 1=1 всем эь Удовлетворяюп!им Условиям (4-100), так кан в силу (4-97) и уел (4-100) он не меньше ! э.
Найдем этот минимум с помощью правила множителей (Ов Так как в доказательстве этой важной теоремы содержится по существу основной процесс решения проблемы моментов, то приведем это доказательство. Сначала покажем, что для выполнения условия теоремы необходимо, чтобы для всех конечных наборов чисел з>, ..., зо для случая и (!) б Ьр выполнялось неравенство: Лангранжа, для чего положим равнымн нулю все частные производные от функции Т) и Ч У и )Ч зи Я1, ..., 4и) = ~ ~~~ 41)с1(!) сУ! — л ~" нД;) о 1=1 Дифференцируя, получаем 'Г и Я-1 и и ч-! —',) $!Ус!(!) Усз(!)э19п ~~ В!4!(!) с!! — Ла; !) аДУ =О. (4-101) 4 1=-! 1=! 1=1 Умножив каждое из этих равенств па $1 и суммируя по у' от 1 до и, получим, учитывая (4-100), что в точке вкстремума и ч у,=~ ~2!У11(!) УУ=Л! О 1=1 (4-1 02) Т и д — 1 и н1,= ~ Усз(с) — ) цауг!(1) з)яп т ц;Ус1(с) су!.
(4-103) с 1=1 1=1 Сравнивая (4-103) и (4-99), получаем и )Ч вЂ” 1 и и (!] = — ~~ $ К!(1) з1лп ги $!Ус!(с), 1=-! (4-104) [~и1(!)! +! 2(!)[[и!)У ирУ' (4-105) Так как при этом о = р = 2, то из (4-104) и (4-102) имеем и (с) = У ч ~ ЦК (!) ч ' е! лп 4К (!), (4-106) так как в нашем случае -2 $~1' — ч 1+ $~ ' эК (!) [з! ьз ьз[ Отсюда: и (!) =У'( — 4!1+Ы1 (!) = У' [ 2 В !' — ЬУ+ Ы У1 (4-107) Числа з„ 2з и ьз определяются из уравнения т где Л определяется из (4-96) или (4-102), таким образом, доказано существование функции и (!) и определен ее вид. Теперь воспользуемся полученным результатом для окончательного решения начатого выше примера для случая, когда ограничивается функцио- нал причем условие ~ Эса! = 1 принимает вид а=! э!= 1. Тогда необходимо минимизировать интеграл т У = ~ > ( — С + [а)а + ~- Са — [аС -(- 28) ~,88.
о ДлЯ этого нУжно найти йа, УдовлетвоРЯющее системе УРавнений т ду (1 022 — = 2 1 [ ( — С+ $~) — ( —, П вЂ” Ц,С + 5а~ 81 888 = 0; [2 с т — = 2 ~ ( — са — 48+ Ц ~!88 = О, ь=,)( э Интегрируя, получаем 7'а 1, 1 1 — — '+Эат — — Т + — йат — — $8Та = 0- 8 3 2 —,т — с т'+~ т=о. 1, 1 6 Решая эти алгебраические уравнения, найдем Т Т' Ы=-2, ~а=-1 —. 12' Подстановка найденных значений в (4-107) и интегрирование дает — То -[- — Т' = —. 1 1 1 720 ' 2 [а' Наименьший положительный корень то этого менем оптимального переходного процесса. Вычислив Т, и подставив в (4-106), получаем, уравнения и будет вре- /Та То Са~ и (8) Са о о 8 ( (12 2 2~' ст, иа(8) = Н( — — сц (4-108) / и, (8) ~ ~ 1„( и, (8) ~ ( С,. Введем новые переменные для выражения управляющих воадегсгвий! э, (8) = — и, (8), а, (8) = — иа (8).
! С ! а С а Онн, очевидно, ограничены по модулю одной и той же величиной С: гг(8)~~С, /эа(8),~С. Положим р = ~!э и нримем за норму величину (( и () = псах ( ( и, (8) 0 ~ эа (8) ( ) ( С. 8 е [о, тч 1ет теперь рассмотрим случай ограничения по модулю управляющих воз- действий При р = со иэ (4-106) получаем и, (!) =- ! а!Яв ( — ЦК + 4с); (! .с=~по(-ь — ы,-ь). ) [,2 где $д —— 1, а э и чэ определяются иэ уравнения т ~1 Фл*$а 6! ! ш!и ~ ([ — $П-[-$э [+ ~ — гэ — $аг+$а~1! л! = --.
! 2 (4-109) Минимум этого интеграла достигается при Т 3 ьэ= н аз= — Т~ 2 32 Т найдется иа уравнения з 3 2т'+ 4 т= ! Подставляя наименьший положительный корень Те этого уравнения в (4-109), получаем: (та иг(г) = (э!8п ~ — — гР [2 (4-110) Конечно, аналогичное решение можно было бы найти и с помощью принципа максимума, но получаемое при этом уравнение и; (!) = ! а!8в (Ч'(!) В)ь где Ч' определяется иэ уравнений ЫЧ' — = — Ч'А, сг дает семейство экстремалей, иэ которых надо выделить одну, удовлетворяющую заданным краевым условиям. Это достаточно трудоемкая задача, и в данном случае применение Ь-проблемы моментов приводит к цела более быстро.
В более сложных задачах для отыскания коэффициентов 3, испольэуется метод аппроксимации в пространстве Л, которая давала бы наилучшим образом (в смысло метрики пространства Л, ) приближение функций линейными комбинациями. Поскольку в теории аппроксимации получен ряд готовых полезных результатоэ, которые непосредственно могут быть использованы при решении эадач оптимации, этот метод обладает определенными достоинствами [242, !3, 152). В частности, многие важные в пракпщеских применениях вереходные функции обраэуют системы Чебышева и позволяют поэтому использовать аппроксимацию функционалов многочленами Чебышева, для которых в теории аппроксимации составлены детальные таблицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
