Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(4-59) Понятие сопряженного оператора можно ввести и в случае неограниченного оператора А, определенного на линейном многообразии, всюду плотном в линейном нормированном пространстве Е со значениями в Еэ. 4-2. Прап!яры решелпя задач ептнмальнеге упраелення В терминах функционального анализа решение вадач оптимального управлении формулируется следующим образом.
Прежде всего предполагается, что управляющий сигнал и (С) принадлежит к определенному функциональному пространству. Чаще всего в качестве пространства выбирают либо пространство функций с интегрируемым квадратом Ьз в случае непрерывных систем (длйбольшей общности часто рассматривается пространство Ьр), либо пространство сэ (или Сг) в случае дискретных систем.
Это связано с тем, что показатели качества, которые выражаются в виде фуннционалов, действующих в том же пространстве, часта записываются в виде интегралов (или сумм) от квадратов функций. Как мы видели выше, в функциональных «ространствах Ьр (или Ср) нормы элементов пространства выражались с помощью такого рода интегралов (или сумм). Тогда задача оптимального управления формулируется нак задача определения функций (или комбинаций функции, входящих в показатель качества), обладающих наименьшей нормой в рассматриваемом пространстве. Приведем несколько примеров подобной формулировки задач. Для следящей системы, предназначенной для воспроизведения заданного сигнала х, (1), в качестве показателя качества удобно выбрать динамическую ошибку е, выраонаемую кан расстояние между х и хо в метрическом пространстве: в= Цх — хоЦ (4-60) Норма (4-60) в пространствах Вз и )о характеривует энергию, затрачиваемую на управление.
В пространстве С зта норма равна шах [х — х, Ц т е, максимальному отклонению или перерегулированию. Рассмотрим задачу о минимизации в пространстве С,„ функционала т Х (х) ~ (хз ] тзхз ( ( [тзохш>]з] (4-61) где под х понимается отклонение координаты от ааданного значения. Функционал (4-61) характеризует обобщенную интегральную ошибку в следящей системе. Необходимым условием минимума функционала является равенство нулю его градиента: дгаб Х (х) =- )пп Х(х+ уь) — Хх = ! (х, Ь), (4-62) т-о У Ь' (0) =Ьо(т) =О, (4-63) Чтобы найти выражение градиента, найдем тан называемый слабый дифференциал выражения (4-61), В функциональном анализе вводится два понятия дифференциала и, соответственно, производной — слабый и сильный дифференциалы.
Выражение (4-62) называют слабым дифференциалом (дифференциалом Тато), предполагая, что предел, стоящий в правой части и понимаемый в смысле сходимости по норме, существует. Сильный дифференциал определяется следующим образом. Пусть существует линейный оператор 1 такой, что ! ( + Ь) — ! (х) = )ь + Ю (х, Ь), (4-64) где Цю(, Ь) ][ — 0 при ЦЬЦ вЂ” О. Тогда 1Ь называют сильным дифференциалом функции (дифференциалом Фреше). Для отыскания градиента функционала используется понятие слабого дифференциала. Обозначая в (4-61) подынтегральную функцию через ух и юр и, — — — ф [ц х, ..., х'"'], получим для слабого дифференциала 1 ИХ(х, Л) = — ф [Ц х+ уЬ, х'+ уЬ', ..., х'"'+ ТЬ'"'] оо = ау т = ([р ь+ р ь+ ...
+ р ...л ]и. о (4-65) где Ь вЂ” произвольная функция; у — вещественное число; ТЬ вЂ” вариация функции х, для которой выполняются условия Применим формулу интегрирования по частям т т р,й' 7д =(р„,й1, — д — „дрмйд(д, о о г г1 чт др (п)йеи Лд = ['Р (п)й'" "1ю ~п 'Р ~п~й" ~ +". ~ю о Ап .. + (- 1) †„ р,„,йа. Учитывая (4-65), получаем т ~до,д)-~ [д —.. д д ...-/-( — и —,д,„,]д~.
(д.663 д( йи Приравнивая градиент нулю, получаем, учитывая, что Ь вЂ” произвольная функция сд Ап (4-67) Таким образом, мы получили уравнение Эйлера [см. (1-10)]. Перейдем к другому примеру. Пусть оператор объекта А — линейный и ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н; уравнение объекта х = Аи, и — управление. Показатель оптимальности выражается функционалом Х (и) = Лд Ц и Ца + Ла Цхо — Ах Ца, хю, и Е Н.
(4-68) Так как норма элемента в гильбертовом пространстве Цх Ц = У (х, х), где (х,х) — скалярное произведение, то Х (и) = Л,(и, и) + Ла(хю — Ах, хо — Ах). Для определения оптимального управления и, минимизирующего функционал, иацдем сначала слабый дифференциал функционала. Введем произвольную функцию Ь (д) и вариацию уЬ, удовлетворяющую условиям (4-63). Получим, используя свойства скалярного произведения: Х (и + уй) = Лд (и + уЬ, и + уй) + Ла (хю — Аи — уАЬ, хю — Аи — уАЬ) = = Лд (и, и) + 2Лд (и, уИ) + Лд (уй, уЬ) + Ла(хо — Аи, хю — Аи)— — 2Ла(хо Аи, уАЬ)+Ла(уАЬ уАИ) = = Х (и) + 2уйд (и, Ь) — 2уйа (АЬ хо Аи) + уайд (Ь Ь) + уайа (АЬ АИ)~ Х(и + уЬ) — Х (и) = 2у [Лд (и, Ь) — Ла (АЬ, хю — Аи)] + +уа[Л,(Ь, Ь)+Л,(АЬ, АИ)].
Отсюда д(Х(и, Ь) = 2 [Лд (и, Ь) — Ла (АИ, хю — Аи)]; вРХ (и, И) = 2 [Лд (Ь, Ь) + Ла (АЬ, Ай)]. Представим, используя свойства скалярного произведения, выражение для слабого дифференциала в виде: НХ (и, Ь) = (2Лди, Ь) — [И, 2ЛаА* (хю — Аи)], (4-69) где А * — сопряженный оператор.
При по.чученпи (4-69) испольаовано основное свойство сопряженного оператора (Аа, Ь) = (а, АгЬ). Оптимальное управление получаем, положив градиент функционала, раиным нулевому элементу, т. е. Ятей у (и) = 2)чи — 2) г'1* (гз — А и) = Ь. Отсюда получаем и = — г Аа (хэ — Аи). (4-70) В общем случае уравнения вида (4-70) дают возможность составить программу для ЦВМ, входящей в состав регулятора, которая вычисляла бы и для каждой ааданиой функции *.
Принципиально возможно получить и схему с аналоговой машиной (рис. 4-4). Однако практически наиболее важно получить приближенную реализацию сопряженного оператора А*. Пусть импульсная переходная функция объекта Ьн (с) и для оператора х = Аи имеем х (с) = Аи = ~ Уся (с — т) и (т) с(т. Рис. 4-4.
Для сопряженного оператора А* в линейном функционале нускно поменять местами переменные в ядре: з У(с) = А"г = $йи (т — с) г(т) асс = с(с+т) Усе(т) сст, с где г (С) — функция, действующая на вход звена с сопряженным оператором. Разлагая подынтегральную функцию в ряд, получаем А*г = Я гсс' (с) срс (с), с з где срс(с) = тс —.с(т, с = О, 1, 2, йи (т) с! (4-71) ус П) = ~ Ьс (с, т) и (т) Ат, 1=0, 1,..., а, (4-72) Ь, (с) — импульсные переходные функции для различных выходов системы. Приближенная реализация оператора Л г с помощью генераторов функций срь дифференциаторов и сумматора показаны ва рис.
4-5. Шумы не дают возможности получать достоверные аначевия производных сигнала, поэтому обычно ограничиваются 1 — 2 проиаводнымп. Теперь рассмотрим пример условно-оптимального процесса, когда минимум функционала должен быть обеспечен при некоторых дополнительных ограничениях. Пусть имеетси линейная динамическая система, характериауемая я координатами, связанными с управляющим воздействием и (С) зависимостями: Требуется найти такую функцию и (с) ~ Ьз [О, Т[, которая доставила бы минимум функционалу т Х (и) = ~ ~ и (~) ~' сИ (4-73) при дополнительных условиях т г";(и) = ~ ]И(т, т) и(т) 4т=аь с (4-74) чтобы выполнялась система равенств т со=~ Ус;(8)и(С)юй, э 1=1,2,...,л, (4-76) где ой — заданные числа, а й; (1) — заданные линейно-независимые функции, принадлежащие пространству Хр (если к этому же пространству принадлежит и (г) или М (если и (г) Е М], и чтобы при этом Т было минимально.
Числа ей называются моментами функции и (с] относительно последовательности функций й; (1). Ь вЂ” проблема моментов может быть конечномерной (если 1 ограничено) или бесконечномерной (при неограниченном 1]. Проиллюстрируем, что многие задачи об оптимальном по быстродействию управлении системами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями, могут быть сформулированы именно так. Пусть, например, дана система обыкновенных линейных уравнениц в г лу; %1 — аб(с)у]+ 5 Ь,а(с)ию 1 1, 2, ..., и (4-77) ) =! а=э или в матричной форме у = Ау+ Ви. (4-78) [е[ т. е. управление должно привести систему в строго фиксированную точку с координатами у, (Т) = аь Эту задачу можно трактовать как задачу нахождения в пространстве Хз [О, Т] лияейного функционала г" (й), который имеет минимальную норму ]]Р ]] = )] и [ и принимает на заданных элементах й; ~ Тт [О, Т] заданные значения аь В более общей постановке (определение г" (л) в пространстве Ед], имеющего минимальную норму [ г" (] ч — — ]~ и ]] р и принимающего заданные значения а; на элементах 7[ 4; Е Ьч, задача рассматривалась Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
