Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пространство 1("). Пусть Х вЂ” арифметическое и-меряое простраиство, р' т. е. множество всех упорядоченных систем иа и вещественных чисел. Введя метрику с помощью соотношения Полнота пространства. Последовательность (х„] элементов метрического пространства называется сходящейся в себе или фундаментальной последовательностью, если для любого з ) 0 существует номер по(е) такой, что р (хи х~и) ( Е Прн п, т = пь (Е). Метрическое пространство наеывоется полным, если в нем каждая сходящаяся е себе последовательность сходится к иределу хе, являющемуся влементом того же пространства.
Евклидова пространство Еп полно, что следует иэ критерия Коши существования предела последовательности точек этого пространства. В курсах теории функции вещественной переменной докавывается полнота пространств Ье [0„1] и )з, аналогичными методами доказывается полнота Ер [0,1] и 1р. На основе условия Коши равномерной сходимости доказана полнота С [0,1]. Примером неполного пространства может служить множество рациональных чисел г, в котором определено расстояние р (г„гз) = ',гт — гв], так как можно указать последовательность рациональных чисел в этом пространстве: 1)а которая сходится в себе, но имеет пределом иррациональное число е, не принадлежащее к данному пространству. Пространство Х, в котором существует счетное всюду плотное множество, называется сепарабельным.
Другими словами, в сепарабельном пространстве существует последовательность (х„), такая, что для любого хС Х найдется подпоследовательность (х ь) этой последовательности, сходящаяся к х. Для метрического пространства это означает, что в последовательности (х„) можно найти такой элемент х и что р (х, х„) ( е. Евклидова пространство, пространства Ев, Ер, (з, )г С сепарабельны. Линейные нормированные пространства. Линейным, или векторным, пространством называется множество А, для элементов которого определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие основной группе алгебраических законов, а ниенна: 1. Для х, у, згА, х+ у = у + х (коммутативность сложения).
2. х+ (у+ я) = (х+ у) + я (ассоциативность сложения). 3. Существование однозначно определенного нулевого элемента 8 такого, что в+8 =х. 4. Существование для каждого элемента к~А противоположного элемента ( — х) ~А такого, что х+( — х) = 8. 5. й (рх) = ()ь)ь) х (ассоциативность умножения). 6. й (х+ у) = )х+ )у [(дистрибутивность умножения Р + )ь) * = йх + рх ] относительно сложения). 7. 1 х = х (свойство неизменности при умножении на единицу). Кроме того, отметим свойство, вытекающее из приведенных выше аксиом: х 8 = 8 (свойство умножения на нулевой элемент). Первые четыре свойства характерны для абелевых групп. В зависимости от того, вещественны илн комплексны числа я, )ь,...,пространство называется соответственно вещественным, нлн комплексным.
Совокупность элементов вещественных векторов Е , вещественных (комплексных) пРостРанств 1ю Ео, С обРааУют вещественные 1'ком лексные) линейные пространства. Непустое множество Ь элементов линейного пространства А называется линейным мноеообраеием, если вместе с элементами хт х„..., х„множество Ь содержит любую линейную комбинацию и,х, + аехе + ... + о их„этих элементов. Линейное метрическое пространство называется нормированным, если каждому его элементу * поставлено в соответствие вещественное число, называемое нормой влемента х, обозначаемое ))х)), которое удовлетворяет следующим аксиомам нормы: !) х !) ) О, причем )! х )! = О, только если х = д. 2. )) + у )) ~ )! х )! + )) у )! . 3.
)) )сх !) = ))ь) )! х)) . Линейное нормированное пространство метризусмо, так как в нем можно ввести метрику, определив расстояние как: р(, у) =)! — у)! (4-22) Если для последовательности элементов (х„) нормированного пространства определена сходимость из условия, что х = 1)ш х„, если )! х„— х )! — 0 при и со, то сходимость в етом смысле называется сходимостью по норме. Линейное пространство, полное в смысле сходимости по норме (т. е. такое, что сходимость по норме в себе имеет место для всех его последовательэостей), называется пространством Бенаха (пространсксвом типа В). и-мерное векторное пространство с злементамн * = Яс $, ..., $п) может быть сделано банаховым пространством путем введения нормы (4-23) с метрикой, определяемой равенством (4-22).
Ь„)0,1] может быть сделано банаховым пространством при выполнении условен; /1 1 Мо р (х, у) = ~~ ) х(с) — у(с) )од!~ с с'1 )1СЭ ) х !) = ) 1 ) х (с) !" дс ~ Ср есть банахово пространство, так как можно положить С со ', с бр р (*, у) = ~ Х ! ~; — Чс) ) ' 1=1 / (ссэ !) х )) = ~ ~ ~ ) $1 )р) 1=1 (4-24) (4-25) (4-26) (4-27) С )0,1] — банахово пространство, для которого р(х, у) = шах) х(с) — у(с) ); )) х)! = шах ) х (с) ).
с (4-28) (4-29) (4-30) Е1 Абстрактным гильбертовым пространством Н наеиваетса линейное пространство, в котором определено скалнрное проивввдение влементов (х, у); *, у б Н, удовлетворяющее условиям: 1. (х, у) = (у, х) (черта сверху означает сопряженное комплексное число. В частности, (х, х) — вещественное число). 2. (хс + хс, у) = (хс, у) + (хс, у). 3. ()сх, у) = С,(х, у). 4. (х, х) гз О, причем (х, х) = 0 только если * = 6. Нормой элемента хгН в абстрактном гибертовом пространстве называется число )).!) =)'(х х) Оно удовлетворяет всем требованиям нормы линейного нормированного пространства.
Пространство Н полно в смысле метрики р (х, у) = ]] х — у 3. (4-31) Скалярные произведения, определенные выше, обладают следующими свойствами: 1. (ах, ах) = ( а'](х, х) (а — комплексное число). 3. ](х, у) ~ -: ~! х] 3 у]] (обобщенне неравенства Шварца).
Пространство Ьз (0,1], в котором скалярное проиаведение определено как 1 (х, у) = ) (1) у (1) йз, (4-32) й является гвльбертовым пространством. Два элемента гильбертова пространства х, у ~ Н называются ортозонал ными, если (х, у) = О. Элемент х называется ортегоналън м подпространству Ь~Н, если он ортогонален любому элементу у ~ й этого надпространства.
Обозначение ортогональности: х М з.. Докавано, что если хЕН и Ьс:Н, то существует единственное разложение влемента х вида: (4-33) где у С Ь, г) Ь, т. е. разложение на ортогональную надпространству з. составляющую г и другую составляющую у, принадлежащую к б, которая называется проекцией злемента х на надпространство б. Совокупность М всех элементов, ортогональных надпространству б, есть также надпространство, называемое ертогоназъным дополнением к надпространству Ь.
Элемент г при этом есть проекция х на М. Хаким образом, (4-33) представляет собой разложение злсмента х на проекции на два взаимно ортсгеналъных пространства. Пространство Н является ортогональной суммой надпространств Ь и М, что обовначается Н = Ь + М. Ортогональная сумма есть частный случай суммы Н = ЬЦМ. Система элементов еъ, в„..., в„, ... ~ Н гильбертова пространства называется ортонормазънвй, есле для нее справедливо следующее соотношение для скалярного произведения любой пары элементов втой системы: (4-34) (еп сз) = бб, где б, — символ Кронекера (бм = 1 при 1 = у; бй = 0 при 1 = 1).
Если в гильбертовом пространстве дана любая система линейно независимых элементов Ь,, Ь„ ..., Ь„, ... Е Н, то всегда можно построить ортонормальную систему е„ в,, ..., в„, ... с Н, выражаемую через элементы Ь соотношениями: йг, йп еъ = — „—, ее=; ...; е„=; ..., (4-35) где уз = Ьг — сгъеь, сгъ = (Ьз, ег); Ь вЂ” 1 йа = Ьд — ~ сывп сд; = (Ьа, еъ); г — 1 Приведенный процесс определения еь называется процессом ортовоналивации Шмидта.
Пусть в пространстве Н задана ортонормальная система (е,). Система называется полной, если не существует элемента х~Н, отличного от нулевого, который был бы ортогонален всем элементам (е!). Ортонормальная система (е!) называется замкнутой, если порождаемое ею надпространство А совпадает с Н. Замкнутая ортонормальная система называется также ортонормальным базисом гильбертова пространства. Компактность. Множество М метрического пространства ХбМ нааывается компактным, если любое бесконечное подмножество этого множества содержит сходящуюся последовательность.
Если при этом пределы всех снодищихся последовательностей принадлежат М, то М компактно в себе; если они принадлежат Х, но пе принадлежат М, то М компактно е пространстве Х. Каждое ограниченное множество числовой оси компактно. В самом деле, в силу ограниченности существует интервал ло, в котором лежат все элементы данной последовательности (х„).
Выделим половину интервала, содержал!его конечное число точек последовательности; оставшуюся половину, содержащую бесконечное число точек последовательности, обозначим л . В части в г вьщеляем половину с конечным числом точек и оставшуюся половину обоаначаем лг и т. д. Интервалы Уд, во, ... образуют убывающую последовательность интервалов (Уи), содержащих каждый бесконечное множество точек, в то время как вне каждого интервала может лежать лшпь конечное число точек. Следовательно, для любого е ) О можно найти интервал л"р длнною меньше е, в котором содержится бесчисленное множество элементов (х„), лежащих з окрестности е предельной точки. Любую предельную точку последовательности (х„) можно считать пределом частичной подпоследовательности этой последовательности.
Множество компактно в себе. Конечномерное эвклидово пространство, пространства !р, г.о не компантны, н в них существуют как некомпактные ограниченные множества, так и компактные. Примером первого служит последовательность х, = = (1, О, О, ...), х, = (О, 1, О, ...), хг — — (О, О, 1, ...), для которой в пространстве 1 справедливо равенство 1! х„— хт !| = )г 2, и любая подпоследовательность последовательности (х) расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
