Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Подставив и е в (3-16), получим дифференциальное уравнение в частных производных: Л(С)[Х(С) — х(С)]'+ [,[)' [+ — '( [*[)' [~ + +~ (С() а д.т*[х[С), С) ~ ()]ду [х[С), С) 2 дх Т ) дх Так как наивысшая степень х (С) в этом уравнении равна двум. то ограничимся при разложении функции У е [х (С), С) в ряд по х также второй степенью и положим ,С'*[х(С), С]=Ке(С)+Кд(С)х(С)+К,(С)[х(С)]', (3-18) где Км К,, К, — некоторые, пока неизвестные функции С. Так как [*[с),С) К.( ) К.( ) ( ) К,( ) (3-19) = К, (С) -+ 2К, (С) х (С), то подставив (3-18) и (3-19) в (3-17) и сгруппировав слагаемые по степеням х (С), получим [Л (с) [Х (с)]~ + Ко (с) — 4 ~КС (с)]~+ асс (с) К1 (с) [+ + ~ — 2Л(С)Х(С) + К1(С) — — К,(С)К,(С)+ 2СС(С)К,(С) — ~ К,(С)[х (С)+ +(Л(С)+К;(С) — аз[К,(С)]з —,. К (С)~[х(С)]э=О.
(3-20) Так как уравнение (3-20) должно быть справедливым для любых х (С), приравниваем порознь нулю каждую иа фигурных 69 скобок и получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения для определения функций Ка, К, и К, при граничных условиях, вытекающих из равенства: У' [х (С+ Т), С+ Т) = О, так как при этом верхний и нижний пределы интеграла, выражающего Х *, становятся одинаковыми. Отсюда нетрудно получить, что К,У+Т)=К,~~+Т)=К,(+Т)=0.
Так как эти граничные условия являются конечными, а 'не начальными, то уравнения удобно решать «ходом назад». Даже для столь элементарного примера аналитическое решение уравнений оказалось в конечной форме неосуществимым. Этим иллюстрируется праки(ц с л тическая нецелесообразность К а и1 хщ решения задач динамическо- -аК х го программирования прямым аналитическим методом. Решение практически всегда а мЗ выполняется численным ме- 2 а тодом, путем расчленения процесса на ряд этапов, и -хФ динамическое программирок,<ц «,в ванне дает для такого решения алгоритм, технический Рис.
3-2. смысл которого обычно весь- ма ясен и нагляден. Это обстоятельство и привлекло внимание к методу динамического программирования. Ниже рассмотрим пример численного поэтапного решения задачи методом динамического программирования. Здесь же отметим, что с помощью уравнения и*(~) = ~У (с) — — К, (г)~ — аК,(8) х*(с) (3-2$) можно получить структурную схему моделирующей установки, выполняющей решение задачи оптимиаации (рис. 3-2). На этой схеме  — объект регулирования; МЗ вЂ” множительное звено, функции К„К, и К, получаются извне, от вычислительных устройств, решающих уравнения, полученные путем приравнивания нулю фигурных скобок в выражении (3-20).
Извне подается и желаемая функция У (8). Если и (к) ограничено, (3-22) Ут (г) ( и (г) ~ У, (з), 10 то решение принимает вид И04): ~'1 (О, по(~) — Пт(~) И" (1) = И (1), У (1)(ио(1)(У (1) у (г), и (с) ( е7 В (3-23) где К; (ю) = — аУ (с) К (ю) — Ю Я вЂ” У (Ю) — Л (Ю) [Х (~)3', К; (~) = — Кт (1) — 2а0„, (1)Ко (1) + 2Л (~) Х Я; К, (Е) = — Ко (С) — Л (Е), (3-25) которые получены иэ уравнений (3-16) подстановкой в яих вместо и (г) зиачеиия и (г) = У, а У * — из (3-18).
У берется равным У, или Уо в соответствии с (3-23). Решение задачи для уравнения и-го порядка рассмотрено в (104, 236, 249, 250). 3-3. Пример решения одномерной задачи чнвненным метедем Проследим путь численного динамического программирования на следующем элемеитариом примере. Объект описывается ураввепием — *=~(х, и) =и — 0,6х. (3-26) Требуется найти оптимальное управление и * (1), при котором объект переходит иэ состояния х (0) = 0 в состояние х (Т) = 10 за время Т = 1, причем функционал т т У=')(хо+)ооио) Ыт =')[хо+(1,25и)о) й (3-27) о о принимает минимальное значение. Разбиваем Т и хл = х (Т) — х (0) иа интервалы.
Так как надо лишь проиллюстрировать методику, то мы используем весьма грубую разбивку, расчленив Т па пять интервалов. Проведем изолрояы через точки: го = 0; г, = 0,2; го = 0,4; го = 0,6; Го=0,8; го= Т=1,0. На каждом из 1о величина х' может принимать также множество значений, среди которых следует искать оптимальные.
При численном решении считаем, что х' принимает также только дискРетные значениЯ. ДлЯ УпРощениЯ Разбиваем хк лишь иа и (1)=У вЂ” 0,5аК (Ю) — аК (й)х(й). (3-24) При этом, если Ут ( ио ( У„фуикции К„К„, Ко по-прежнему определяются из (3-20), если же ио выходит за допускаемые неравенством (3-22) пределы, то К находятся иэ уравкений четыре равных интервала, тем самым считаем, что х' может принимать одно из следующих значений: х,*' = 0; х,'' = 2,5; х,' = 5,0; х,'=75; х,''=хк=(0. Дифференциальные уравнения заменяем разностными: Лхд=хдм — хд —— 7'(хд, и ) Л~д; ЛХд= р(хд, ид) Л~д. В рассматриваемом случае (3-28) Лг =0,2; Лхд = (™д О,бхд) Ь|д ЬХд - — — (хд+ д,5625ид) Лдд = [хд'+ д,5625 (х + 0,6хд)д1 ЛС ~хД+1,5625 ~ — д + 0,6хд) ~ Ыд. (3-30) Нанесем точки, соответствующие разным х' и д,, на график (это будут узлы прямоугольной сетки) и построим в этих точках окружности (рис.
3-3), в которых будем вписывать значения приращения функционала ЛУ при перемещении из атой точки к следующей по приближенной условно-оптимальной траектории, которую будем считать прямолинейной. В выражении (3-30) производная х заменена отношением приращений Лх/М. Эта замена дает существенный источник погрешности, уменьшить которую можно, увеличив число интервалов. В нашей задаче все М приняты одинаковыми. Это существенно упрощает расчет, так как на каждом этапе, независимо от его номера, для одинаковых значений х и Лх будем иметь те же значения ЛХ.
Рассчитаем ряд приращений ЛУ для различных значений х и Лх. При этом заметим, что область, в которой следует производить вычисления, может быть значительно сужена. Прежде всего на всех перемещениях по вертикали Ы = О, Лх ~ О, и это обстоятельство сразу исключает вертикальные перемещения, которые, очевидно, не могут принадлежать оптимальным траекториям, так как ЛУ обращается на них в бесконечность. В данном случае, основываясь на априорном опыте решения сходных оптимальных задач, можно сделать и другое сужение области, исключив из рассмотрения отрезки, идущие сверху вниз, так как есть все основания считать, что в данном случае процесс будет монотонно возрастающим. Однако это предположение является эвристическим и в более сложных задачах может оказаться неправильным.
В тех случаях, когда такого предположения сделать нельзя, весьма полезными для сужения области вычислений окааываются ограничения, налагаемые на величину координаты х. Это выгодно отличает метод динамического программирования от других методов, где подобные ограничения обычно усложняют решение. Решение задачи в методе динамического программирования „ожно начинать от одной из заданных точек — начальной или ,;онечной.
Начнем, как это чаще всего делается, с последнего тапа: найдем приближенные условно-оптимальные траектории, ведущие в конечную точку х1. Так как вертикальные перемещения исключаются, то нам достаточно рассмотреть лишь те траектории, которые выходят из узловых точек предыдущего этапа х;', лежащих не выше точки х1. При этом траектории, состоящие из двух отрезков — горизонтального и вертикального (например, траектория хз — х3 — х,'), — исключаются по той же самой причине, /О ДО О аг ае ОО ав 10 сее Рве.
3-3. и остается лишь рассмотреть прямолинейные траектории, исходящие из точен ха, х1, х1, хз, х( (рис. 3-3). Величины приращений ЛУ (х,') для этих траекторий, вычисленные по формуле (3-30), сведены в табл. 3-1. В атой таблице к вычислению приращений на последнем этапе относятся строки 1, 3, 6, 10 и 15. Величины ЛХ надписаны над отрезками (рис. 3-3), онн же вписаны в кружках, из которых эти траектории исходят. Мы видим, что в нижележащих кружках эти цифры больше, чем з вышележащих. Однако нельзя делать вывод, что отреаком окончательной оптимальной траектории будет обязательно верхний горизонтальный отрезок, хотя на нем ЛХ и имеет минимальное значение, так как оптимальная траектория, включающая этот отрезок, может и не пройти через начальную точку.
Поэтому пока оставляем все найденные отрезки как возможные отрезки действительной оптимальной траектории. 73 Переходим к следующему шагу — предпоследнему (четвертому) этапу, на котором траектории исходят из х) и входят в точки х1 (рис. 3-3). При этом исключаем вертикальные отрезки и отрезки, имеющие отрицательный наклон. Расчет ведем так: ЛХ*(х;') =пил ((х)э+1,5625~ — *-(- 0,6х)) + ЛХэ (х,'+ Лх)~. (3-31) Уравнение (3-31) соответствует уравнению (3-9); только в соответствии с требованиями задачи вместо максимума ищется минимум и вместо абсолютного значения Х э — его приращение. В цифрах расчет ведем по такой схеме: ЛХ (х,') = ЛХ (х() = 31,2 + 31, 2 = 62,4; )'17,6+ 101,5) ш(п) 101 5 31 2~ 119,1; + 7,8+ 250 ЛХ(х,') =шш 80,2+101,5 =181,7; 250+ 31,2 2,0+ 476,9 62,4+ 250 220,7+ 101,5 476,9+ 31,2 = 312,4: О + 782 48,8+ 476,9 ЛХ(х,') =ш1п 195+ 250 440+ 101,5 782+ 31,2 = 445.
Поясним эту схему. ЛХ (х() — эта цифра, которая должна быть вписана в кружок, соответствующий точке х( (верхний в столбце 3). Она равна сумме приращения ЛХ на горизонтальном отрезке верхней (четвертой) строки и цифры того кружка столбца 3, в который этот отрезок входит. На всех этих отрезках ЛХ, как это видно иэ первой строки табл. 3-1, равно 31,2, поэтому ЛХ (х() = 31,2 + 31,2 ЛХ (х1) — цифра, которая должна быть вннсана в кружок, соответствующий точке х1. Из этой точки могут исходить, в соответствии с ограничениями данной задачи, две траектории: одна — в точку х1 с приращением ЛХ, равным 17,6, входящим в кружок с цифрой 101,5, и вторая — в точку х1 (на рис. 3-3 покааана штриховой линией) с приращением ЛХ = 101,5, входящая в кружок с цифрой 31,2.
Суммы 17,6 + + 101,5 и 101,5 + 31,2, дающие результирующее приращение ЛХ при переходе из точки х1 в конечную точку х1, показаны в фигур- Таблица а-7 Ь= = 6,6х к е= =х +а с- =а+Ь а= - Ьбзеео Ы= = Ь,ае Ьх„ ьхк ье ных скобках. Из них выбрана меньшая И9,1, и соответствующая ей траектория на рис. 3-3 показана тонкой сплошной линией. Так же подсчитаны и остальные приращения, но для остальных точек не условно-оптимальные траектории уже не нанесены на рисунке. Цифры, соответсвующие оптимальным траекториям, в фигурных скобках выделены. Приведем вычисления для последующих шагов. Третий зтап: ЛУ (х-',) = 31,2+ 62,4 = 93, 6; (17,6+ И9,11 ЛУ(хае)=ппп~ 2 ) — — 136,7, + е 7,8+ 181,7 ЛУ(х,')=ш1п 80,2+ И9,1 =189,5; 250+ 62,4 4 2 0 312 э + 62,4+ 181,7 220,7+ И9,1 476,9+ 62,4 = 244,1; ЛУ (х' ) = ппп О+ 445 48,8+ 312,4 ЛУ (х,') = ш1п 195+ 181,7 = 361,2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
