Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Замечания об определении объектовв линейном пространствеВ предыдущих разделах курса линейной алгебры исследовалисьнаиболее часто встречающиеся в приложениях виды объектов в линейном пространстве, такие, как элемент линейного пространства,линейный функционал, линейный оператор, билинейный функционали т.д., хотя вполне очевидно, что в линейном пространстве могут бытьопределены и иные, быть может, более сложные объекты, представляющие практический интерес.Определение всех рассмотренных ранее объектов давалось вне зависимости от наличия или отсутствия базиса линейного пространства,причем в случае существования базиса для каждого из объектов приводился альтернативный, покомпонентный способ его описания. Ипоскольку замена базиса меняет, вообще говоря, данное описание, тоспециально исследовался вопрос о характере этого изменения.Однако естественно допустить, что в линейном пространстве Λсуществуют объекты, которые можно определить, используя лишьзначения их компонентов в некотором базисе.
Такой подход привлекателен тем, что, во-первых, в этом случае не требуется объяснять,что представляет собой данный объект безотносительно к базису, и,во-вторых, определения объектов разной природы могут быть выполнены единообразно.n489П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисленияС другой стороны, недостатком такой схемы является очевиднаязависимость описания объекта от выбора базиса, то есть необходимость указывать (в самом определении объекта!), что происходит сего компонентами при переходе от одного базиса к другому.Для оценки целесообразности использования определения объектов в Λ через их компоненты приведем в таблице Прил. 4.1.1 основные, рассмотренные нами ранее, типы объектов, формы их представления в базисе и правила изменения этого представления при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } .nТаблица Прил.
4.1.1ТипобъектавΛnКоординатное представлениев базисе {g1 , g 2 ,..., g n }Правило изменениякоординатного представления при переходек базису{g1′ , g ′2 ,..., g n′ }ЭлементxСтолбецxЛинейныйфункционалf (x )gξ1ξ= 2...ξnСтрокаfgгдеφ2... φ n ,φi = f ( g i )g′= S−1xилиnξ′j = ∑ τ ji ξ ii =1f== φ1xg′= fgилиnφ′j = ∑ φ i σ iji =1Sg490Аналитическая геометрия и линейная алгебраЛинейный операторÂAˆ=gAˆα11α= 21...α n1α12α 22...α n2... α 1n...
α 2 n,... ...... α nn=g′−1= SAˆgSилиα ′ki =nn= ∑∑ τ kj σ mi α jmгдеnAˆ g j = ∑ α ij g i ; j = [1, n]j =1 m =1i =1БилинейныйфункционалB( x, y )Bg=β11=Bβ12β 21 β 22... ...β n1 β n 2... β1n... β 2 n,... ...... β nn= STβ ij = B ( g i , g j ); i, j = [1, n]КвадратичныйфункционалΦ(x)Ф=gϕ11ϕ 21ϕ12ϕ 22...ϕ n1...ϕ n2...
ϕ1n... ϕ 2 n,... ...... ϕ nngSβ′ki =n= ∑∑ σ jk σ mi β jmj =1 m =1Φ=Bилиnгде=g′g′= S=TΦgS491П р и л . 4 . Элементы тензорного исчислениягдеилиϕ ij =β ij + β ji2ϕ′ki =; i, j = [1, n]nn= ∑∑ σ jk σ mi ϕ jmj =1 m =1Как и ранее, будем предполагать, что матрица переходаnет компонентыσ ij , где g ′j = ∑ σ ij g i ;S име-j = [1, n] , а матрица об-i =1ратного переходаng j = ∑ τ ij g i′ ;T = S−1имеет компонентыτ ij ,то естьj = [1, n] .i =1Сопоставление формул третьей колонки таблицы позволяет заметить, что для данных объектов:1°2°{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } линейныпо значениям компонентов в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } ;значения их компонентов в базисекоэффициентами в этих формулах служат либо компонентыматрицS или S−1, либо и той и другой одновременно.В курсе линейной алгебры нами были рассмотрены далеко не всевиды объектов, которые обладают подобными трансформационнымисвойствами.
Например, в Λ можно ввести произведение элементовx ⊗ y , поставив в каждом базисе упорядоченной паре элементовnx = ξ1ξ2... ξ nTиy = η1η2... η nT492Аналитическая геометрия и линейная алгебрав соответствие матрицу размераξ1 η1ξ 2 η1...ξ n η1n × n , имеющую видξ1 η 2ξ 2 η2...ξ n η2... ξ1 η n... ξ 2 η n......... ξ n η n.x ⊗ y при переходе от базиса{g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } меняется в соответствии сНетрудно убедиться, что объектправилами 1° и 2°.
Действительно, изnnξ′k = ∑ τ k i ξ i и η′j = ∑ τ jm η mi =1nnследует, чтоm =1ξ′k η′j = ∑∑ τ ki τ jm ξ i η m , или же, в матричном виде,i =1 m =1x⊗yg′=( S−1 T)x⊗ ygS−1.Последнее равенство означает, что введенное нами произведение элементов обладает свойствами 1° и 2°.Рассмотрим другой пример, демонстрирующий существование более сложных объектов, обладающих данными свойствами.
Достаточночасто в физических приложениях используется метод, в котором линейный оператор описывает зависимость одного вектора, характеризующего некоторое свойство точки пространства, от другого вектора,являющегося другой физической характеристикой этой же точки.→Например, закон Гука связывает вектор силыF , возникающей в→результате упругой деформации, с вектором деформациишениемκ xxκ xyκ xz∆xFy = κ yxFzκ zxκ yyκ zyκ yzκ zz∆y ,∆zFx∆r соотно-493П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления→или же индукция электрического поля→женность электрического поляD выражается через напря-E формулойθ xxθ xyθ xzExD y = θ yxDzθ zxθ yyθ zyθ yzθ zzEy .EzDxЕсли среда однородная, то коэффициенты матриц этих операторовконстанты.
Однако если исследуемые свойства среды меняются отточки к точке, то соответствующие операторы уже не будут линейными, и может возникнуть вопрос о характере их зависимости от координат.В этом случае можно ввести в рассмотрение объект, компонентыкоторого являются частными производными компонентов матрицыоператора по переменным x, y и z . Для рассматриваемых примеровтаких частных производных будет 27, и их удобно представить в видетрехмерной таблицы (или, как иногда говорят, “куб-матрицы”).Например, для закона Гука этот объект состоит из трех матрицвида∂κ xx∂x∂κ yx∂ κ xy∂x∂κ zx∂x∂x∂κ zy∂x∂κ yy∂x∂κ xz ∂κ xx∂x∂y∂κ yz ∂κ yx∂ κ xy∂x∂κ zz∂x∂y∂κ zy∂y∂κ zx∂y∂y∂κ yy∂y∂κ xz ∂κ xx∂y∂z∂κ yz ∂κ yx∂ κ xy∂y∂κ zz∂y∂z∂κ zy∂z∂κ zx∂z∂κ xz∂z∂κ yz∂z∂κ yy∂z∂κ zz∂z∂zВ общем случае n-мерного линейного пространства можно ввестиобъект, называемый производной оператора, обозначаемый∂ A$→∂rg.494Аналитическая геометрия и линейная алгебраnи задаваемый в конкретном базисе упорядоченным набором из nчисел.Найдем закон преобразования компонентов этого объекта при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } .
Поскольку правило изменения компонентов матрицы операторает видA$g′= S−1A$ngSA$ в Λn име-nα′ki = ∑∑ τ kj σ mi α jm ) ,(илиj =1 m =1то из правила дифференцирования сложной функции следует, что∂α ′k i∂ξ′lnn= ∑∑ τ kj σ mij =1 m =1nnn∂α jm∂ξ′lT= ∑∑∑ τ k j σ imnnj =1 m =1∂α jmj =1 m =1 p =1n= ∑∑ τ kj σ mi ∑∂ξ pp =1∂α jm ∂ξ p∂ξ p ∂ξ′l=σpl ,или, в матричной форме,∂ A$= S→∂rg′−1ST∂ A$S .→∂rgОткуда делаем заключение, что введенный нами новый объект такжеобладает свойствами 1° и 2°.С другой стороны, отметим, что не всякий однозначно определяемый своими компонентами объект будет обладать подобными трансформационными свойствами.495П р и л .
4 . Элементы тензорного исчисленияНапример, рассмотрим однокомпонентный объектξ1ξ2которого для каждого элемента x =...ξnсумма компонентовω , значениепространстваΛn естьx . Для него в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } имеемnω = ∑ ξi ,i =1ω′ и определяется однозначно в базисе{g1′ , g ′2 ,..., g ′n } , оно не выражается линейно через ω , так каки,хотязначениеnnnω′ = ∑ ξ′i = ∑∑ τ ij ξ j .i =1i =1 j =1Таким образом, мы приходим к заключению, что в конечномерномлинейном пространстве существует достаточно широкий класс объектов:-задаваемых совокупностью значений своих компонентов в некотором базисе;-обладающих свойствами вида 1° и 2°, характеризующими изменения этих компонентов при переходе от одного базиса кдругому.Объекты, обладающие перечисленными свойствами, называюттензорами, уточняя это название, в случае присутствия матрицилиSTSв формулах пересчета компонентов тензора при заменебазиса, термином ковариантный (то есть преобразующийся так же,как и базисные элементы) или же в случае присутствия матрицS−1или( S−1 T) – термином контравариантный.496Аналитическая геометрия и линейная алгебраПриложение 4.2.
Определениеи обозначение тензоровОпределение тензора, исходя из вышеизложенных соображений,можно было бы дать, например, в такой форме:Будем говорить, что в вещественном линейном простран-Λn определен тензор типа (q, p ) q раз контравариантный и p раз ковариантный (или ( p + q ) -ствеΛn задан объект, который в каждомp+ qбазисе характеризуется упорядоченным набором nчисел ξ j1 j2 ... jq i1i2 ...i p (где jm = [1, n] ; m = [1, q] – конвален-тный), если втравариантные индексы иik = [1, n] ; k = [1, p] – ко-вариантные), преобразующихся при переходе от базиса{g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } по законуξ′ j′ j′ ... j′ i′i′ ...i′ = ∑∑ ...∑∑ ∑ ...∑ σ i i′ σ i i′ ...σ i i′n1 2q12pni1 =1 i2 =1nnni p =1 j1 =1 j 2 =1n11j q =12 2p p×× τ j1′ j1 τ j2′ j2 ...τ jq′ jq ξ j1 j2 ...
jqi1i2 ...i p ,гдеik′ = [1, n] ; k = [1, p] и jk′ = [1, p] ; k = [1, m] , аσ ij и τ ij суть соответственно компоненты матрицы переходаS и ей обратной T = S−1.Громоздкость записи и неудобочитаемость тензоров при использовании стандартной схемы обозначений очевидны уже на примере этого определения. Поэтому в тензорном исчислении используется специальная, более компактная форма описания тензорных объектов иопераций с ними, основу которой составляют следующие правила.497П р и л .
4 . Элементы тензорного исчисленияЗапись тензоров1°.Упорядоченный набор вещественных чисел, являющихсякомпонентами тензора, образует ( q + p ) -мерную таблицу(называемуютакже(q + p ) -мернойматрицей,или(q + p ) -мерным массивом), каждый элемент которой однозначно определен набором значений контравариантных индексов j1, j2 ,..., jq и ковариантных индексов i1, i2 ,..., i p .Если какой-либо из индексов принимает значения от 1 до n ,то в записи тензора перечень значений индекса не указывается и предполагается, что выписаны компоненты тензора длявсех этих значений.ПримерПрил. 4.2.1.2°.ξ i = ηi означает, чтоξ i = ηi ∀i = [1, n] .Порядок следования индексов в записи тензоров существен.Для того чтобы избежать возможной неоднозначности, применяется следующее правило: если необходимо выписать последовательно все компоненты тензора (например, в виде одной строки), то в первую очередь увеличиваются индексы,расположенные ближе к правому концу индексного списка.ПримерПрил. 4.2.2.3°.ЗаписьТензорξ ijk в Λ2 имеет следующий порядок компо-нентов:ξ111 , ξ112 , ξ121 , ξ122 , ξ 211 , ξ 212 , ξ 221 , ξ 222 .В тензорных записях для отличия контравариантных индексов от ковариантных принято первые обозначать верхнимииндексами, а вторые – нижними.
При этом, чтобы сохранитьобщий порядок следования индексов в списке, в запись каждого индекса добавляется символ “точка” под каждым верхним индексом и над каждым нижним.498Аналитическая геометрия и линейная алгебраПримерПрил. 4.2.3.4°.ξ i..j.kl m.. .Если точки не использованы в записи тензора, то предполагается, что нижние индексы следуют в списке после верхних.ПримерПрил. 4.2.4.Линейный операторS$ , переводящий базис{g1 , g 2 ,..., g n } в {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } ,является двухвалентным тензором типа(1,1) σij(один раз контравариантным и один раз ковариантным), причем его компоненты совпадают с компонентами матрицы перехода σ ji как следствие совпаденияопределения 7.3.2 и определения матрицы линейногооператора 8.3.1.Соглашение о суммированииПусть имеется выражение, являющееся произведением сомножителей, имеющих как верхние, так и нижние индексы, причем некоторый индекс встречается в записи выражения дважды: один раз какверхний, а второй раз как нижний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
