Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Заметим, что данная система уравненийимеет единственное решение, поскольку ее основная матрица невырожденная, как матрица Грама базисных векторов.Отметим формальное совпадение полученной формулы с утверждением теоремы 10.3.2, которое позволяет заключить, что опти2мальные значения коэффициентовэлементаξ ∗k ; k = [0, n] суть координатыf в базисе {g k = g k (τ), k = [0, n] } в том случае, когдаf принадлежит линейной оболочке Λ∗ .Найдем минимальное значениеρ2 :nnnk =0k =0i=0ρ 2 = ( f , f ) − ∑ ξ ∗k ( f , g k ) + ∑ ξ ∗k (−( f , g k ) + ∑ ξ ∗i ( g k , g i )) =nnk =0k =0= ( f , f ) − ∑ ξ ∗k ( f , g k ) = ( f , f − ∑ ξ ∗k g k ).Иначе говоря, полученное выражение равно нулю дляnf = ∑ ξ ∗k g k ,k =0438Аналитическая геометрия и линейная алгебрачто означает равенство нулю погрешности аппроксимации лишь вслучае, когда элементf принадлежит подпространству Λ∗ .Более содержательная оценка величины погрешности аппроксимацииρ 2 получается при подстановке в правую часть равенстваnρ 2 = ( f , f − ∑ ξ ∗k g k ) оптимальных значений ξ ∗k , k = [0, n] , наk =0ходимых при решении системы линейных уравнений 12.3.1.

Заметим,что это сделать гораздо удобнее в случае ортонормированного базиса∗подпространства Λ .Можно показать, что применение к неортогональному базису{ g k = g k (τ) = τ k ,k = [0, n] }процедуры ортогонализации Грама–Шмидта, использованной придоказательстве теоремы 10.2.1, дает ненормированную систему ортогональных многочленов вида1e0′ (τ) = 1 ; e1′ (τ) = τ ; e′2 (τ) = τ 2 − ;3n3de3′ (τ) = τ 3 − τ ; ... ; e′n (τ) = n (τ 2 − 1) n ,5dτназываемых полиномами Лежандра.Поскольку все предыдущие вычисления делались для базиса{ g k = τ k , k = [0, n] } , но без учета его конкретного вида, то онибудут и справедливы для ортогонального (но, вообще говоря, ненормированного) базиса{ ek′ (τ) =dk 2(τ − 1) k , k = [0, n] }.kdτДля ортогонального базиса матрица Грама диагональная и, следовательно, система уравнений 12.3.1Г л а в а 1 2 .

Прикладные задачи линейной алгебры439n∑ ξ (e′ , e′ ) = ( f , e′ ) , k = [0, n]i =0ikikξ ∗k =будет иметь решения вида:на( f , ek′ ); k = [0, n] , а величи(ek′ , ek′ )ρ2 :( f , ek′ ) 2ρ = ( f , f − ∑ ξ e′ ) = ( f , f ) − ∑.k =0k = 0 (e′k , e′k )n2∗k kn{ek , k = [0, n] } ортонормированный, тоесть (ek , ei ) = δ ki ; ∀ k , i = [0, n] , тогдаЕсли же, кроме того, базисξ ∗k = ( f , ek ) ; k = [0, n] и ρ 2 = fОтметим, что значения2n− ∑ ξ ∗k2 .k =0ξ ∗k , k = [0, n] – оптимальных коэффици-ентов аппроксимирующего многочлена формально совпадают:1)с решением задачи о нахождении ортогональной проекцииэлемента2)f евклидова пространства на подпространство Λ∗ ;со значениями компонент разложения элемента, принадлежащегоΛ∗ , по ортонормированному базису{ek , k = [0, n] }(см.

следствие 10.3.2).Таким образом, ортогональность системы элементов, используемой для аппроксимации, существенно упрощает вычисления. Вместе стем ортогонализация по методу Грама–Шмидта в случае бесконечномерного евклидова пространства может оказаться достаточно сложной процедурой.440Аналитическая геометрия и линейная алгебраВозможной альтернативой в процессе построения ортонормированной системы аппроксимирующих элементов является лемма 10.7.3,утверждающая, что собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.Рассмотрим линейный оператор R̂ в евклидовом пространствебесконечно дифференцируемых на [−1,1] функций, ставящий каждойтакой функции в соответствие18 ее вторую производную, взятую с обратным знаком, и выясним, при каких условиях этот оператор будетсамосопряженным.

Интегрируя по частям, получим1d 2xdxˆ( Rx , y ) = − ∫ 2 y ( τ ) d τ = −y ( τ)dτ−1 d τ11+−1dx dy∫ dτ dτ dτ.−1Но, с другой стороны,1( x, Rˆ y ) = − ∫ x(τ)−1d2ydydτ = − x ( τ )2dτdτПоэтому для самосопряженности оператора1dxdyy (τ) = x(τ)dτdτ−11−11dx dydτ .dτdτ−1+∫R̂ достаточно, чтобы1.

Это условие выполняется, например, для−1функций, которые (так же, как и их производные) имеют равные значения на концах отрезка [−1,1].18В примере 10.7.1 было показано, что оператор видаAˆ + Aˆесть самосо-пряженный и имеет неотрицательные собственные значения. Если Â =Â + = −d иdτd (при выполнении соответствующих граничных условий), тоdτd2Rˆ = Aˆ + Aˆ = − 2 .dτГ л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебрыНайдем теперь собственные векторы линейного оператораловие Rˆ x =уравнению441R̂ . Ус-λx в данном случае сводится к дифференциальномуd 2x= − λ x, λ ≥ 0 ,d τ2решение которого дается формулойгдеты.x(τ) = α e τ −λ + β e −τ −λ ,α и β – произвольные, не равные нулю одновременно констан-Из условийx(−1) = x(1) иdxdτ=−1dxdτполучаем по формуле1Эйлера (см.

приложение 3):e−λ− e − −λ = 0⇒sin λ = 0 .Следовательно собственные значения будутλ k = π 2 k 2 ∀ k = 0,1, 2, ... ,а отвечающие им собственные векторы −x k (τ) = ξ k cos πkτ + η k sin πkτ .ξ k и η k здесь произвольные, но не равные нулю одновременно для каждого k .ЧислаТаким образом, мы получили систему попарно ортогональныхэлементов, линейная оболочка которых является подпространствомевклидова пространства непрерывных на [−1,1] функций.

Эта система (так же, как система полиномов Лежандра) может быть использована для построения аппроксимирующих многочленов, однако в данном случае эти многочлены будут тригонометрическими.442Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗамечание: полученные результаты приводят к естественному во-просу: можно ли уменьшить погрешность аппроксимации за счет увеличения n ? Или, иначе говоря, справедливо ли равенствоlim ( fn →∞2n− ∑ ξ ∗k2 ) = 0 ?k =0Ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный. Рассмотрим,например, некоторое подпространство E∗евклидова пространства∗E , не имеющее базиса (то есть E бесконечномерное), и пусть су∈ E , но f ∉ E ∗ , такой, что( f , g k ) = 0 ∀kществует ненулевой элемент f(где все g k∈ E ∗ , а их любое конечное подмножество линейно неза-висимо). В этом случае все аппроксимирующие коэффициенты равнынулю и данное предельное равенство, очевидно, не выполняется19.19Условия возможности построения линейной комбинации из элементовмножества{g k , k = 0,1, 2, ...} ,аппроксимирующей∀f ∈ Eс любойнаперед заданной точностью, выходят за рамки предмета линейной алгебры иизучаются в курсе математического анализа.П р и л .

1 . Свойства линий второго порядка на плоскости443Приложение 1СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКАНА ПЛОСКОСТИВ § 4.4 были перечислены конкретные типы линий второго порядка, различие между которыми сохраняется при переходе из одной декартовой системы координат в другую. В данном приложении будутрассмотрены характерные свойства этих линий.Приложение 1.1. Вырожденные линиивторого порядкаК вырожденным линиям второго порядка будем относить все типы, перечисленные в первых четырех столбцах таблицы теоремы4.4.1.

Кратко опишем их свойства.1°. Тип линии “Несовпадающие прямые”x2 y2Уравнение 2 − 2 = 0 определяет пару пересекающихся пряab→ →мых в системе координат{O, e1 , e2 } . В свою очередь уравнениеy 2 = a 2 при a ≠ 0 определяет пару параллельных прямых.→ПримерПрил. 1.1.1.→{O, e1 , e2 } задана линия второго22порядка 3 x + 4 xy + y = 0. Преобразовав ее урав-Пусть на плоскостинение к виду444Аналитическая геометрия и линейная алгебра(2 x + y ) 2 − x 2 = 0(методЛагранжа),получим две прямыеy = − x и y = −3x .(Рис. Прил. 1.1.1.)В данном случае∆ = −1 < 0 , а уголповорота осей системы координатα=1arctg 2 .2Рис. Прил.

1.1.12°. Тип линии “Совпадающие прямые”Уравнениеy 2 = 0 определяет прямую y = 0 в системе коорди-→ →{O, e1 , e2 } . Получается из типа линии 1° предельным переходомпри b → +0 .нат3°. Тип линии “Точки”Уравнениеx2 y2+= 0 определяет единственную точку – начаa2 b2→ →ло координат системы{O, e1 , e2 } .4°. Тип линии “Пустые множества”→ →На плоскости {O, e1 , e2 } не существует точек, координаты которых удовлетворяют уравнениямП р и л .

1 . Свойства линий второго порядка на плоскости445x2 y2+ 2 = −1 или y 2 = − a 2 .2abОднако эти случаи иногда именуют “мнимыми линиями”.Приложение 1.2. Эллипс и его свойстваОпределениеПрил. 1.2.1.Линия, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет видx2 y2+=1; a ≥ b > 0,a2 b2называется эллипсом.ОпределениеПрил. 1.2.2.Числоε=a2 − b2aназывается эксцентрисите-том эллипса.± εaназываются фокусами эллипса.0aПрямые x = ± называются директрисами эллипса.ε2bЧисло p =называется фокальным параметромaТочкиэллипса.Свойства эллипса1. Эллипс – ограниченная линия: | x | ≤ a изаписи канонического уравнения в форме| y | ≤ b, что следует из446Аналитическая геометрия и линейная алгебраy=±ba2 − x2 .a2.

Характеристики

Список файлов книги