Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Прикладные задачи линейной алгебрыДоказательство.Поскольку при переходе к ортонормированному базису, образованному из собственных векторов самосопряженного оператораA$ (в силу теоремы 12.1.1), справедливы соотношенияn( x, Aˆ x)ρ( x ) ==( x, x )∑ α ij ξ i ξ ji =1n∑ξi =12in=∑ λ ξ′i =1ni2i,∑ ξ′2ii =1то, проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы9.5.1, получаем, что λ min ≤ ρ( x ) ≤ λ max .Следствие доказано.Проиллюстрируем применение теоремы 12.1.1 на примере решения следующей задачи.Задача12.1.1.При помощи ортогонального оператора привести к диа-E 3 квадратичный функционалΦ(x) = 2ξ1ξ 2 + 2ξ1ξ 3 − 2ξ 2 ξ 3 .гональному виду вРешение.1°.
Пусть исходный ортонормированный базис состоит из элементов1{e1 , e2 , e3 } с00e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0 . Восстано001вим по квадратичному функционалуΦ(x) = 2ξ1ξ 2 + 2ξ1ξ 3 − 2ξ 2 ξ 3порождающий его симметричный билинейный функционалB( x , y ) , использовав формулу420Аналитическая геометрия и линейная алгебраB ( x, y ) =В данном случае1( Φ ( x + y ) − Φ ( x) − Φ( y )) (см.
§ 9.2).2Φ( y ) = 2η1η 2 + 2η1η3 − 2η 2 η3 , аΦ( x + y ) = 2(ξ1 + η1 )(ξ 2 + η 2 ) ++ 2(ξ1 + η1 )(ξ 3 + η3 ) − 2(ξ 2 + η 2 )(ξ 3 + η3 ),и потомуB( x, y ) = ξ1η 2 + ξ1η3 − ξ 2 η3 + η1ξ 2 + η1ξ 3 − η 2 ξ 3 ,ξ1гдеxeη1= ξ2 и yξ3e= η2 .η3Следовательно, матрица функционалаΦe01= 110−1Φ(x) имеет вид1−1 .02°. Рассмотрим построенную симметрическую матрицу как задающую самосопряженный оператор Φ̂ в E и найдем для негособственные значения. Составляем характеристическое уравнение 8.5.2:3−λdet111 − λ − 1 = 0 или λ3 − 3λ + 2 = 0 .1 −1 − λОно имеет корни:λ 1 = −2, λ 2,3 = 1 , которые и являются соб-ственными значениями.
Заметим, что если нас интересует толькодиагональный вид квадратичного функционала, то его можно написать, основываясь на следствии 10.7.1:Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры421Φ( x) = −2ξ1′ 2 + ξ′22 + ξ′32и на этом закончить решение задачи.3°. В случае, когда требуется найти также и матрицуS – матрицуперехода от исходного ортонормированного базиса к искомому,необходимо определить собственные векторы оператора Φ̂ . Дляэтого будем последовательно подставлять найденные собственные значения в систему (8.4.1) и строить ее общие решения.
Дляλ = −2 имеем211 ξ101 2 −1 ξ2 = 0 .1 − 1 2 ξ30Заметим, что ранг основной матрицы этой системы равен 2, поскольку третье уравнение есть разность первых двух. Далее, действуя по схеме, описанной в § 6.8 (метод Гаусса), получаем длякомпонентов собственного вектора систему условий2ξ1 + ξ 2 = −ξ 3 , ξ1 + 2ξ 2 = ξ 3 .Принимаяξ 3 за свободное неизвестное, получим собственный−1векторf1 =1 .1Кратность собственного значения λ = 1 равна 2, и в силу следствия 10.7.2 ему должны отвечать два линейно независимых (ноне обязательно ортогональных) собственных вектора.
Конкретно,компоненты собственного вектора должны удовлетворять следующей системе уравнений:422Аналитическая геометрия и линейная алгебра−111 ξ101 −1 −1 ξ2 = 0 ,1 − 1 − 1 ξ30из которых независимое только одноξ1 = ξ 2 + ξ 3 . Общее ре-шение этой системы будет иметь видξ111ξ2 = α 1 + β 0ξ301∀α, β .Каждый столбец такого вида ортогонален f1 , но выбранныеконкретные фундаментальные решения не ортогональны другдругу. Поэтому пару ортогональных собственных векторов, отвечающих λ = 1 , сформируем из первого фундаментальногорешения и ортогональной ему линейной комбинации первого и1α+βα ,βочевидно, есть 2α + β = 0 . Откуда, например, выбрав α = 1 и1−1второго.
Условие ортогональности столбцовβ = −2 , получим f 2 = 1 и f 3 =04°. Набор элементов1 и01 .−2{ f1 , f 2 , f 3 } является в E 3 ортогональным,но ненормированным базисом. Чтобы построить ортонормированный базис, выполним нормировку каждого из элементов базиса { f1 , f 2 , f 3 } . В результате получим423Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры−e1′ =131, e′2 =31312120161и e3′ =.62−6−Матрица−S =131313(перехода от “старого” базиса1212161620 −6−{e1 , e2 , e3 } к “новому” базису{e1′ , e′2 , e3′ } ), столбцами которой являются координатные представления элементов базиса {e1′ , e2′ , e3′ } по базису {e1 , e2 , e3 } ,ортогональная, то есть удовлетворяет соотношениюS−1= ST,что позволяет легко получить формулы, выражающие “новые”координаты через “старые”.ξ1Действительно (§ 7.4), из соотношенияξ1′ξ′2 = Sξ′3−1ξ1ξ 2 , или окончательноξ3ξ2 = Sξ3ξ1′ξ′2 следуетξ′3424Аналитическая геометрия и линейная алгебра13ξ1′1ξ′2 =2ξ′31−6−131216130−26ξ1ξ2 .ξ3Приведение одним линейным операторомпары квадратичных функционалов,первый из которых знакоопределенный,соответственно к каноническому и диагональному видуПусть в некотором базисе{g1 , g 2 ,..., g n } линейного пространст-ва Λ задана пара квадратичных функционалов Φ ( x ) и Ψ ( x ) , первый из которых знаковоопределенный (например, положительно).Рассмотрим задачу отыскания базиса {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } , в которомnфункционал Φ ( x ) имеет канонический, а функционалгональный вид.Ψ ( x) – диа-Отметим, что условие знаковой определенности одного из приводимых квадратичных функционалов существенно, поскольку в общемслучае два различных квадратичных функционала одним линейнымпреобразованием к диагональному виду не приводятся.17 Например,квадратичный функционалΦ( x) = Aξ12 + 2 Bξ1ξ 2 + Cξ 22в Λ можно привести к диагональному виду при помощи линейногооператора, сводящегося к повороту плоскости радиусов-векторов наугол α .217Как и ранее, под “приведением квадратичного функционала к диагональному виду” понимается задача отыскания базиса (или построения матрицыперехода к базису), в котором матрица квадратичного функционала диагональная.Г л а в а 1 2 .
Прикладные задачи линейной алгебры425При этом необходимо (см. доказательство теоремы 4.4.1), чтобыудовлетворяло уравнению ( A − C ) sin 2α = 2 B cos 2α .αОднако для пары квадратичных функционаловΦ 1 ( x) = ξ12 − ξ 22 и Φ 2 ( x) = ξ1ξ 2углаα , удовлетворяющего системе условий2 sin 2α = 0, 0 = cos 2α,очевидно, не существует.Опишем теперь алгоритм приведения в Λ пары квадратичныхфункционалов Φ ( x ) и Ψ ( x ) , заданных в некотором исходном базиnсе{g1 , g 2 ,..., g n } , первый из которых положительно определенный,соответственно к каноническому и диагональному виду.1°.
Поскольку квадратичный функционалΦ( x) положительно оп-ределенный, то для него в Λ найдется другой базис{g1′ , g ′2 ,..., g ′n } , в котором он имеет канонический вид, причемnвсе его коэффициенты равны единице (см. теорему 9.2.1). Приведем этот функционал к данному виду каким-либо методом, например, выделив полные квадраты с последующей нормировкойэлементов его матрицы. Одновременно тем же самым методомпреобразуем также и квадратичный функционал Ψ ( x ) .2°.
Введем вΛn скалярное произведение по формулеn( x, y ) = ∑ ξ′k η′k ,k =1превратив тем самым данное линейное пространство в евклидовоΕ n . Отметим, что в этом случае базис426Аналитическая геометрия и линейная алгебра{g1′ , g 2′ ,..., g n′ } = {e1′ , e′2 ,..., e′n } ,в котором Φ ( x ) имеет канонический вид, ортонормированный.3°. Построим теперь третий, также ортонормированный базис{e1′′, e′2′ ,..., e′n′} , переход к которому выполняется при помощиS , приведя квадратичный функционал Ψ ( x) кматрицыдиагональному виду по схеме, описанной в § 12.1.1. При этомпереходе квадратичный функционал Φ ( x ) не потеряет канонического вида, поскольку из условиянальностиΦΦe= E и ортого-S следует, чтоe′T= S= STΦeS = SS = S−1TES =S = E .Таким образом, построен базис, в котором квадратичныйфункционал Φ (x ) имеет канонический вид, а функционалΨ (x) – диагональный.В заключение отметим, что матрица перехода к искомому ортонормированному базису есть произведение матрицы перехода, прикотором знакоопределенный квадратичный функционал приводится кканоническому виду, и ортогональной матрицыЗадача12.1.2.S .Найти замену переменных, приводящую квадратичныефункционалыΦ(x) = ξ12 + 2ξ1ξ 2 + 3ξ 22 иΨ (x) = 4ξ12 + 16ξ1ξ 2 + 6ξ 22соответственно к каноническому и диагональному виду.Г л а в а 1 2 .
Прикладные задачи линейной алгебры427Решение.1°.Исследуем квадратичные функционалы Φ (x ) и Ψ (x ) на знаковую определенность. Из критерия Сильвестра (теорема 9.3.2)и неравенств1 14 8= 2 > 0 ; det= −40 < 01 38 6заключаем, что Φ (x ) – положительно определенный квадратичный функционал, в то время как функционал Ψ (x ) не явdetляется знакоопределенным.2°.Приведем положительно определенный квадратичный функционал Φ (x ) к каноническому виду методом Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
