Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Эрмитовы функционалы. Среднее значениеи дисперсия эрмитова оператораКак и в любом линейном пространстве, в унитарном пространствеможно ввести билинейные и квадратичные функционалы. Например, вунитарном пространстве непрерывных комплекснозначных на [α, β]функций ψ ( τ) билинейным пося выражениеϕ(τ) и ψ(τ) функционалом являет-B(ϕ(τ), ψ (τ)) = ∫∫ ϕ(σ) K (σ, τ) ψ (τ) dσdτ .ΩОпределение11.4.1.Квадратичный функционал видаΦ( x) = x Aˆ x , гдеx ∈U , а линейный оператор A$ – эрмитов, называется эрмитовым функционалом (или эрмитовой формой) в унитарном пространстве U .Определение11.4.2.ЧислоAˆ a = a Aˆ a называется средним значением$ по a – нормированному элеэрмитова оператора Aменту из унитарного пространства.Замечания.
1°. Если a – нормированный (то есть сa =a a = 1)A$ с соответствующим собственным значением λ , то Â a = λ ,собственный вектор эрмитова операторапоскольку в этом случаеAˆ a = a Aˆ a = a λa = λ a a = λ .2°. Среднее значение эрмитова оператора, заданного вунитарном пространстве, вещественно. ПустьA$ + = A$ , тогда411Г л а в а 1 1 .
Унитарное пространствоAˆ a a = a Aˆ + a = a Aˆ a = Aˆ a a ,но если некоторое число равно своему комплексномусопряжению, то оно вещественно.3°. Если принять, что оператор умножения на константуκ есть κˆ = κ Ê , где E$ – единичный оператор, то$ − A$имеет место соотношение A= 0 . Действиaaтельно,Aˆ − Aˆ a a = a ( Aˆ − Aˆ a )a = a Aˆ a − a Aˆ a a == ( Aˆ a − Aˆ a ) a a = 0 .Определение11.4.3.ЧислоA$ = ( A$ − A$ a ) 2aaназывается дисперсиейэрмитова оператора Â по нормированному элементу унитарного пространства a.Отметим следующие свойства дисперсии.Теорема11.4.1.ДисперсияA$эрмитова оператораA$ , действующе-aго в унитарном пространстве, есть вещественное неотрицательное число, для которого справедливо равенствоAˆ = ( Aˆ ) 2 a − ( Aˆ a ) 2 .== aДоказательство.Покажем вначале, что числоA$ вещественное и неотрицаaˆ − Aˆ a , очевидно, эрмитов, посколькутельное.
Оператор A$ (по условию теоремы) иэрмитовыми являются операторы AÂ a (как оператор умножения на константу).412Аналитическая геометрия и линейная алгебраТогдаAˆ = a ( Aˆ − Aˆ a ) 2 a = a ( Aˆ − Aˆ a )( Aˆ − Aˆ a )a =a=( Aˆ − Aˆ a ) + a ( Aˆ − Aˆ a )a==( Aˆ − Aˆ a )a ( Aˆ − Aˆ a )a≥ 0.С другой стороны, исходя из определения 11.4.2, получимAˆ = ( Aˆ − Aˆ a ) 2 = a ( Aˆ − Aˆ a ) 2 a =aa= a(( Aˆ ) 2 − 2 Aˆ Aˆ a + ( Aˆ a ) 2 )a== a ( Aˆ ) 2 a − 2 Aˆ a a Aˆ a + ( Aˆ a ) 2 a a == ( Aˆ ) 2 − 2 Aˆ a Aˆ a + ( Aˆ a ) 2 = ( Aˆ ) 2 − ( Aˆ a ) 2 .aaТеорема доказана.$ , действующего в унитарТеорема Для эрмитова оператора A11.4.2.ном пространстве, дисперсия, взятая по его нормированному собственному вектору, равняется нулю.Доказательство.ПустьAˆ a = λa , тогда2== a λAˆ a − a λa2Aˆ = ( Aˆ ) 2 a − ( Aˆ a ) 2 = a ( Aˆ ) 2 a − a Aˆ a== a= a Aˆ ( Aˆ a) − a Aˆ a= a Aˆ (λa) − a λ a22==413Г л а в а 1 1 .
Унитарное пространство= λ a λ a − λ2 a a2= λ2 a a − λ2 a a2== λ2 − λ2 = 0 ,посколькуa a = 1.Теорема доказана.§ 11.5. Соотношение неопределенностейДля эрмитовых операторов, действующих в унитарном пространстве, справедливаТеорема11.5.1(cоотношениенеопределенностей).$ и B$ , заданДля двух эрмитовых операторов Aных в унитарном пространстве, имеет место соотношениеAˆ Bˆ ≥aa142Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ a .Доказательство.1°. Рассмотрим операторQˆ = ( Aˆ − Aˆ a ) + τ( Bˆ − Bˆ a ) i (где τ –некоторый вещественный параметр), для которого эрмитовосопряженным будет оператор видаQˆ + = ( Aˆ − Aˆ a ) − τ( Bˆ − Bˆ a ) i ,ибо эрмитовыми являются следующие четыре оператора:A$ , A$ , B$ , B$ .
Заметим также, что оператор Qˆ + Qˆ – эрмиaтов и чтоaa Qˆ + Qˆ a = Qˆ a Qˆ a ≥ 0 ∀Qˆ . (См. доказатель-ство теоремы 10.8.2, пункт 1°.)414Аналитическая геометрия и линейная алгебра2°. Выразим операторQ$ + Q$ через операторы A$ , A$ , B$ , B$ ,aaполучимQˆ + Qˆ = (( Aˆ − Aˆ a ) − τ( Bˆ − Bˆ a )i)(( Aˆ − Aˆ a ) ++ τ( Bˆ − Bˆ a )i) == ( Aˆ − Aˆ a ) 2 + τ 2 ( Bˆ − Bˆ a ) 2 ++ τ(( Aˆ − Aˆ a )( Bˆ − Bˆ a ) − ( Bˆ − Bˆ a )( Aˆ − Aˆ a ))i == ( Aˆ − Aˆ a ) 2 + τ 2 ( Bˆ − Bˆ a ) 2 + τ( Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ )i.3°.
ОбозначимCˆ = −( Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ ) i , причем отметим, что из пре-дыдущего равенства следует эрмитовость оператора Ĉ каклинейной комбинации эрмитовых операторов. Подсчитаемтеперь среднее значение эрмитова оператораQˆ + Qˆ :Qˆ + Qˆ a = Aˆ + τ 2 Bˆ + a τ( Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ )ia =aa= τ Bˆ − τ Cˆ a + Aˆ .2aПолученное значениеaQ$ + Q$ есть вещественный квадратныйaтрехчлен относительно τ , который должен быть неотрицательным при любом τ . Отсюда следует, что его дискриминант не положителен, то есть( C$ a ) 2 −4 A$ B$ ≤ 0 ,aaили окончательноA$ B$aТеорема доказана.a≥14$ $ − BA$$AB2a.Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры415Глава 12ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫВ данной главе рассматриваются некоторые классы задач, имеющие важное значение в прикладных разделах математики, таких, какматематическая физика, теория оптимального управления, математическая экономика, вычислительная математика и т.д., причем общимдля этих задач является использование в процессе их решения понятий и методов различных разделов линейной алгебры.§ 12.1.
Приведение квадратичных функционаловк диагональному видуЗадача отыскания базиса, в котором квадратичный функционалимеет диагональный или канонический вид, достаточно часто встречается в различных приложениях механики, физики, теории оптимального управления.Приведение к диагональному виду квадратичного функционала, заданного в ортонормированном базисеПусть в ортонормированном базисестранстваEn{e1 , e2 ,..., en } евклидова про-задан некоторый квадратичный функционалnΦ(x).Рассмотрим задачу отыскания в E ортонормированного базиса{e1′ , e2′ ,..., e′n } , в котором функционал Φ(x) имеет диагональныйвид.416Аналитическая геометрия и линейная алгебраПринципиальная разрешимость подобной задачи для неортонормированного базиса следует из теоремы 9.2.1.
Очевидно, что такойбазис не единственный, и потому представляется интересным исслеnдование возможности построения в E ортонормированного базиса,в котором данный квадратичный функционал Φ (x ) имеет диагональный вид.Напомним предварительно (см. § 9.2), что квадратичный функционал вΛn может быть задан формулойnnΦ( x) = ∑∑ ϕ ki ξ k ξ i = xk =1 i =1Φв которой симметрическая матрицаде от базисаTgΦgxg,преобразуется при перехо-g{g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } по правилуΦg′= STΦgS .При доказательстве теоремы 9.2.1 использовалась математическаяиндукция в сочетании с методом выделения полных квадратов (называемым иногда методом Лагранжа), применение которого на практике может потребовать значительных затрат вычислительных ресурсов.Существенно более эффективным оказывается алгоритм, основой которого являетсяТеорема12.1.1.16Для всякого квадратичного функционала, заданного вортонормированном базисе, существует ортонормированный базис, в котором этот функционал имеет диагональный вид16.Иногда задачу отыскания ортонормированного базиса, в котором квадратичный функционал имеет диагональный вид, называют “приведением квадратичного функционала к диагональному виду при помощи ортогональнойматрицы перехода”.417Г л а в а 1 2 .
Прикладные задачи линейной алгебрыДоказательство.1°. Как было показано в § 9.2, матрица квадратичного функционала Φ ( x ) изменяется по правилуΦгде= Se′TΦeS ,S = σ ij – матрица перехода от базиса {e1 , e2 ,..., en }к базису{e1′ , e′2 ,..., en′ } , то естьnek′ = ∑ σ sk e s , k = [1, n] ,s =1аΦe– симметрическая матрица билинейного функциона-ла, порождающего квадратичный функционалS2°. Поскольку матрица переходаΦ( x) .от одного ортонормиро-ванного базиса к другому ортогональная (§ 10.4), то для неесправедливо равенствоS−1= ST. Откуда вытекает, чтов рассматриваемом нами случаеΦe′= S−1ΦeΦ3°. Формально симметрическая матрицаванном базисеS .eв ортонормиро-{e1 , e2 ,..., en } определяет самосопряженныйоператор (лемма 10.7.1) Ф̂ , матрица которого в базисе{e1′ , e2′ ,..., e′n } находится по формуле (теорема 8.3.2)Φ4°.e′= S−1ΦeS .Совпадение формул изменения матриц квадратичного функционала и самосопряженного оператора при переходе от одного ортонормированного базиса к другому позволяет использовать в качестве базиса {e1′ , e2′ ,..., e′n } – ортонормированный базис из собственных векторов оператораΦ̂ .418Аналитическая геометрия и линейная алгебраЭтот базис существует (см.
теорему 10.7.1) и в нем матрицаоператора Φ̂ (а значит, и матрица квадратичного функционала Φ (x ) ) имеет диагональный вид, причем на главнойдиагонали расположены собственные значения самосопряженного оператораΦ̂ .Теорема доказана.Заметим, что утверждение теоремы 12.1.1 согласуется с утверждением следствия 10.7.4.Определение12.1.1.Линейный самосопряженный оператор Φ̂ называетсяприсоединенным к квадратичному функционалуΦ( x) в E n .При этом очевидно выполнение равенстваˆ x) ; ∀x ∈ E n .Φ ( x ) = ( x, ΦОпределение12.1.2.( x, Aˆ x)n, заданный в E для( x, x )$ , называнекоторого самосопряженного оператора AФункционалρ( x ) =ется отношением Релея.Используя теорему 12.1.1, можно упростить процедуру оценки экстремальных значений квадратичного функционала. В качестве примера рассмотрим задачу нахождения максимума и минимума ρ(x ) .Следствие12.1.1.В ортонормированном базисе максимальное (минимальное) значение ρ(x ) равно максимальному(минимальному) собственному значению операто-$ , и это значение достигается на соответстра Aвующем собственном векторе этого оператора.419Г л а в а 1 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
