Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Покажем вначале, что ядро оператора+$ yчто Aскольку$ , x ∈ E n , по= o , ортогонален элементу b = Ax$ , y ) = ( x , A$ + y ) = 0 .(b, y ) = ( Ax+$ и Π . С одной стороны,2°. Теперь сравним размерности ker Aв силу невырожденности базисной матрицы Грама и теоремы8.4.3dim( ker Aˆ + ) = n − rg Aˆ + == n − rg ( Γ−1AˆTΓ ) = n − rg AˆT= n − rg Aˆ .Но, с другой стороны, по теореме 8.4.1 размерность областизначенийA$ равна rg A$ , поэтому dim(Π ) = n − rg Aˆпо теореме 10.5.1.Наконец,из+соотношенийdim(ker Aˆ + ) = dim(Π )+ker  ⊂ Π следует совпадение множеств ker  и Π .Теорема доказана.и383Г л а в а 1 0 .
Евклидово пространствоЗамечания: 1) в использованных обозначениях теорема 10.6.4 до-пускает формулировку, совпадающую с формулировкой теоремы 6.7.3 (Фредгольма), поскольку равенст-$ = b означает, что элемент b принадлежит обAx$.ласти значений линейного оператора A2) в предположении, что столбцыy и b сутьвоmкоординатные представления элементов E в ортонормированном базисе, также и нижеследующуюформулировку:Теорема10.6.5(Фредгольма).Система линейных уравненийAx = bсо-вместна тогда и только тогда, когда каждое решениеоднородной сопряженной системыортогонально столбцу свободных членовATy = ob .§ 10.7.
Самосопряженные операторыОпределение10.7.1.Линейный оператор R$ , действующий в евклидовомпространстве E , называется самосопряженным, если∀x , y ∈ E имеет место равенство( Rˆ x, y ) = ( x, Rˆ y ) .Пример10.7.1.В евклидовом пространстве операторы видаA$ + A$ + ,$ $ + и A$ + A$ будут самосопряженными для любого лиAA$.нейного оператора AДействительно, для операторачто ∀x , y ∈ E .A$ + A$ , например, имеем,384Аналитическая геометрия и линейная алгебра$ , y ) = ( Ax$ , Ay$ ) = ( x , A$ + Ay$ ),( A$ + Axоткуда и следует его самосопряженность.Свойства самосопряженных операторов сформулируем в виде следующих утверждений.Лемма10.7.1.Линейный оператор R$ в E является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в каждомортонормированном базисе симметрическая.nДоказательство.Rˆ + = ΓИз определения 10.7.1 и формулыg−1RˆgTgΓg{e1 , e2 ,..., en } вTсилу самосопряженности оператора R̂ имеем R$ = R$.eeдля некоторого ортонормированного базисаПерейдем теперь к другому ортонормированному базису{e1′ , e′2 ,..., e′n } .
Матрица переходаS , как было показано вRˆTe′−1=( S= ST= STRˆRˆRˆe= xTeRˆ +Лемма доказана.TeTyeye) = ST T( SeS = Se−1Rˆ= STTeRˆRˆeTeT. ПоэтомуS )T =S =S = Rˆ e′ .TRˆ e = Rˆ e , то ∀x, y ∈ E nВерно и обратное: если( Rˆ x, y ) = Rˆ xS )T = ( STe−1S§ 10.4, ортогональная, то есть для нее= ( Rˆ= xTeRˆeex e )T ye= xeyeT=Rˆ y = ( x, Rˆ y ).e385Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоПризнак самосопряженности может быть сформулирован какnСледствие10.7.1Если линейный оператор в E имеет симметриическую матрицу в некотором ортонормированном базисе, то он самосопряженый.Лемма10.7.2.Все собственные значения самосопряженного оператораR$ в E n вещественные числа.Доказательство.Допустим противное: пусть характеристическое уравнение самосопряженного оператораλ = α + β i , где β ≠ 0 .R$ имеет комплексный кореньПо теореме 8.6.2 оператор R$ в этом случае имеет двумерноеинвариантное подпространство.
То есть существует пара линейно независимых элементов x и y таких, что Rˆ x = α x − β y,ˆ Ry = α y + β x.Умножая эти равенства скалярно: первое – справа на– слева на x , получимy , второе( Rˆ x, y ) = α( x, y ) − β( y, y ),ˆ ( x, Ry ) = α( x, y ) + β( x, x).Вычитая почленно второе равенство из первого и принимая вовнимание самосопряженностьR$ , приходим к заключению, чтоβ ( x + y ) = 0 . Однако это противоречит предположениюо том, что β ≠ 0 .2Лемма доказана.2386Аналитическая геометрия и линейная алгебраЛемма10.7.3.Собственные векторы самосопряженного оператора,отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.Доказательство.R$ имеют место равенства Rˆ f1 = λ1 f1 и Rˆ f 2 = λ 2 f 2 , где ненулевые элементы f 1$ и λ ≠ λ – сооти f 2 – собственные векторы оператора A12Пусть для самосопряженного оператораветствующие им собственные значения.
Умножив эти равенствасоответственно: первое – скалярно справа на f 2 , второе – скалярно слева наf 1 , получим( Rˆ f 1 , f 2 ) = (λ 1 f 1 , f 2 ),( Rˆ f 1 , f 2 ) = λ 1 ( f1 , f 2 ),илиˆˆ ( f 1 , R f 2 ) = ( f 1 ,λ 2 f 2 ) ( f 1 , R f 2 ) = λ 2 ( f1 , f 2 ).Вычитая эти равенства почленно и учитывая, чтопряженный оператор, приходим к равенству(λ 1 − λ 2 )( f1 , f 2 ) = 0 ,откудаR$ – самосо-( f1, f 2 ) = 0 .Лемма доказана.Лемма10.7.4.ПустьE ′ – инвариантное подпространство самосопря-женного оператора R$ , действующего в E , и пусть E ′′– ортогональное дополнение к E ′ в E . Тогда E ′′ –также инвариантное подпространство оператораR$ .Доказательство.E′инвариантнодляоператораR$ , то есть$ ∈ E ′ . Если E ′′ – ортогональное дополнение∀x ∈ E ′ : RxE ′ , то для любых x ′ ∈ E ′ и x ′′ ∈ E ′′ : ( x ′, x ′′) = 0 .387Г л а в а 1 0 .
Евклидово пространствоE ′ – инвариантное подпространство R$ , то будет$ ′, x ′′) = 0 . Но в силу самосопряженнотакже иметь место ( Rx$ ′′) = 0 . Последнее равенство означает, чтости R$ и ( x ′, RxПосколькуRˆ x ′′ ∈ E ′′ ∀x ′′ ∈ E ′′ ,то есть и подпространство E ′′ будет инвариантным для оператора R$ .Лемма доказана.Теорема10.7.1.Для любого самосопряженного оператора R$ в Eсуществует ортонормированный базис, состоящий изnсобственных векторовR$ .Доказательство.Для самосопряженного оператора R$ вкрайней мере, одно собственное значениеE n существует, поλ 1 . По лемме 10.7.2это собственное значение вещественно. Из системы уравнений(8.5.1) можно найти отвечающий λ 1 собственный вектор e1 .Без ограничения общности можно считать, чтоe1 = 1 .
Еслиn = 1 , то доказательство завершено.1Рассмотрим E – линейную оболочку элемента e1 , являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространствомR$ . Пусть E n −1 – ортогональное дополнение к E 1 . Тогда поn −1лемме 10.7.4 E– также инвариантное подпространство$оператора R .Рассмотрим теперь оператор R$ как действующий только вE n −1 . Тогда очевидно, что R$ – самосопряженный оператор,388Аналитическая геометрия и линейная алгебразаданный вE n −1 , поскольку E n −1 инвариантно относительноR$ по лемме 10.7.4 и, кроме того,$ , y ) = ( x , Ry$ ),∀x , y ∈ E n : ( Rxв том числе и∀x , y ∈ E n −1 .Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение λ 2 и соответствующий ему собственный векторe2 . Без ограничения общности можно считать, чтоe2 = 1 .
При этом λ 2 может случайно совпасть с λ 1 , однакоиз построения ясно, что ( e1 , e2 ) = 0 .n = 2 , то построение базиса завершено. Иначе рассмот2рим E – линейную оболочку { e1 , e2 } и ее ортогональноеЕслиE n − 2 , найдем новое собственное значение λ 3 исоответствующий ему собственный вектор e3 и т.д.дополнениеАналогичные рассуждения проводим до исчерпанияEn .Теорема доказана.Следствие10.7.2.В базисе, построенном в теореме 10.7.1, самосопряженный операторR$ имеет диагональную матрицу вEn .Доказательство.Вытекает из замечания о важности собственных векторов в § 8.5.Следствие10.7.3.Размерность собственного инвариантного подпространства, отвечающего некоторому собственномузначению самосопряженного оператора, равна кратности этого собственного значения.389Г л а в а 1 0 .
Евклидово пространствоДоказательство.Следует из доказательства теоремы 10.7.1.Следствие10.7.4.Если линейный оператор R$ в E имеет n попарноортогональных собственных векторов, то он самосопряженный.nДоказательство.Пронормируем собственные векторы оператора R$ и примем ихза ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператораR$eдиагональная и, следовательно, симмет-рическая. Тогда в силу леммы 10.7.1 линейный оператормосопряженный.R$ са-Следствие доказано.Следствие10.7.5.ЕслиR симметрическая матрица, то существу-ет ортогональная матрицаQ такая, что матри-цаD = Q−1R Q = QTR Qдиагональная.Доказательство.В ортонормированном базисе симметрическая матрицаопределяет самосопряженный оператор встве искомой матрицыRE n , поэтому в каче-Q можно выбрать матрицу перехо-да от данного ортонормированного базиса к ортонормированному базису, образованному собственными векторами этогооператора по схеме, использованной в доказательстве теоремы10.7.1.Следствие доказано.390Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема10.7.2.A$ и B$ имеют обnщую систему собственных векторов в E тогда иˆ Bˆ = Bˆ Aˆ .только тогда, когда AДва самосопряженных оператораДоказательство.Докажем необходимость.ПустьAˆ a = λa и Bˆ a = µa , тогдаBˆ Aˆ a = λBˆ a = λµa ; Aˆ Bˆ a = µAˆ a = λµa ,ˆ Bˆ − Bˆ Aˆ ) a = o .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
