Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Нелинейные зависимости в линейном пространстве 333Если, кроме того, числаλ i , i = [1, n] принимаютлишь значения 0 или ±1, то говорят, что квадратичный функционал в данном базисе имеет каноническийвид.Для каждого квадратичного функционала вΛn существует базис, в котором функционалимеет канонический вид.Теорема9.2.1(МетодЛагранжа).Доказательство.1°.Воспользуемся методом математической индукции.При n = 1 в любом базисе Ф(x ) = ϕ 11 ξ 12 . Еслиϕ11 = 0 , томы уже имеем канонический вид, если же ϕ 11 ≠ 0 , то, вы-полняяξ1′ =2°.невырожденнуюзаменупеременныхϕ11 ξ1 , приходим к каноническому виду.Предположим, что утверждение теоремы верно для квадратичных функционалов, зависящих от n − 1 переменной, ирассмотрим случай n переменных.Будем считать, что ϕ 11 ≠ 0 .

Этого можно добиться изменением нумерации переменных в случае, когда хотя бы одноиз чисел ϕ ii , i = [ 2, n] не равно нулю. Если же всеϕ ii , i = [1, n] равны нулю одновременно, то без ограничения общности можно считать, что ϕ 12 ≠ 0 . Тогда, выполняя невырожденную замену переменныхξ 1 = ξ′1 + ξ′2 , ξ 2 = ξ′1 − ξ′2 , ξ 3 = ξ′3 , ..., ξ n = ξ′n ,получаем запись квадратичного функционала с ненулевымдиагональным элементом334Аналитическая геометрия и линейная алгебраФ(x) = 2ϕ12 ξ1′ 2 − 2ϕ 21 ξ′22 + F (ξ1′ , ξ′2 , ξ′3 ,..., ξ′n ) ,где F (ξ1′ , ξ′2 , ξ ′3 ,..., ξ′n ) не содержит квадратов от ξ′1 и ξ′2 .3°. В записи квадратичного функционала сгруппируем слагаемые,содержащие переменную ξ 1 :nnФ( x) = ∑∑ ϕ ik ξ i ξ k =i =1 k =1n= ϕ11 (ξ12 + 2∑i=2nnϕ1iξ1ξ i ) + ∑∑ ϕ ik ξ i ξ k ,ϕ11i=2 k =2и выделим полный квадрат, воспользовавшись соотношениямиnn∑∑αk =1 i =1nknni =1k =1α i = (∑ α k )( ∑ α i ) = (∑ α k ) 2 =k =1nnnk =2k =2= (α1 + ∑ α k ) 2 = α12 + 2∑ α1α k + (∑ α k ) 2 =k =2nnn= α12 + 2∑ α1α k + ∑∑ α k α i .k =2k =2 i = 2ПолучимnФ( x) = ϕ11 (ξ12 + 2∑i=2nn+ ∑∑ (ϕ ik −i =2 k = 2nnϕ1iϕ ϕξ1ξ i + ∑∑ 1i 2 1k ξ i ξ k ) +ϕ11i = 2 k = 2 ϕ11ϕ1i ϕ1k)ξ i ξ kϕ11и окончательноnФ( x) = ϕ11 (ξ1 + ∑i =2ϕ1i 2 n nϕ ϕξ i ) + ∑∑ (ϕ ik − 1i 1k )ξ i ξ k .ϕ11ϕ11i =2 k = 2Г л а в а 9 .

Нелинейные зависимости в линейном пространстве 335В последней формуле первое слагаемое есть полный квадрат, авторое – квадратичный функционал, не зависящий от ξ 1 и приводящийся, согласно предположению индукции, к каноническому виду некоторой невырожденной заменой переменныхnξ′k = ∑ τ ki ξ i , k = [2, n] .i=24°. Выполним замену переменных квадратичного функционалаФ(x) по формуламnϕ1i′ξ=ϕ(ξ+ξi ) ,∑111 1i = 2 ϕ11n ξ′k = ∑ τ ki ξ i ; k = [2, n] ,i =2(9.2.1)которая приведет к представлению его в каноническом виде.Поскольку в силу ϕ11 ≠ 0 матрица выполненной замены переменныхϕ11T =ϕ110τ 22...0ϕ12ϕ11...ϕ11...τ 2n.........τ n2...τ nnϕ1nϕ11имеет определитель, не равный нулю, то замена (9.2.1) – невырожденная.S = TНо−1тогдаматрицаTимеет(см.

следствие 7.5.3), которая в свою очередь яв-ляется матрицей перехода к искомому базису.Теорема доказана.обратную:336Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗамечание: базис, в котором квадратичный функционал имеет диа-гональный или канонический вид, не единственный, равно как не является единственным сам канонический илиΛn .диагональный вид квадратичного функционала вМетод Лагранжа не всегда оказывается наиболее простой (с точкизрения затрат вычислительных усилий) процедурой.

Иногда приведение матрицы квадратичного функционала к диагональному (или каноническому) виду можно выполнить более эффективно путем использования некоторого набора элементарных преобразований.Действительно, при переходе от исходного базисак новому{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } с матрицей перехода SтичногоФSцыg′функционала= STФgменяется{g1, g 2 ,..., g n }матрица квадра-поправилуS . Будем теперь рассматривать матрицукак матрицу некоторого элементарного преобразования матри-Фg(см. § 6.8).Пусть матрицаSтакова, что умножение на нее справаФgприводит последнюю к нижнему треугольному виду, тогда в силу теоремы 6.8.2 матрицароны, матрицаSФg′оказывается диагональной. С другой сто-представима как произведение матриц элемен-тарных преобразований, последовательно примененных к столбцамединичной матрицы.

Поэтому, выполнив диагонализациюФgне-которым набором элементарных преобразований, применяемых накаждом шаге процедуры как к ее строкам, так и к ее столбцам, и применив тот же самый набор элементарных преобразований к столбцамединичной матрицы, мы получим как диагональный вид матрицыГ л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 337квадратичного функционалаФg′x, так иформулы перехода от исходного базисаg= Sxg′–{g1 , g 2 ,..., g n } к базису{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } , в котором матрица квадратичного функционала оказывается диагональной.

Применение данного алгоритм иллюстрируетследующий пример.Задача9.2.1.Привести вфункционалΛ3 к диагональному виду квадратичныйФ( x) = −2ξ12 − ξ 22 − 4ξ 32 − 8ξ1ξ 2 + 2ξ1ξ 3 − 8ξ 2 ξ 3 .Решение.В исходном базисе функционалФ( x) имеет матрицу−2−41−41−1−4−4 .−41º. На первом шаге процедуры выполним следующиеэлементарные операции:- заменим вторую строку исходной матрицыразностью второй и третьей ее строк;- в полученной матрице заменим второй столбец разностью второго и третьего столбца,в результате чего получаем матрицу вида−2−5−513010 .−4Кроме того, заменив в единичной матрице10000100 второй столбец разностью второго и1338Аналитическая геометрия и линейная алгебратретьего, получим10001−100 .12º. На втором шаге заменяем вначале первую строку утроенной первой, сложенную со второй, взятой с коэффициентом 5.

Соответственно такое же преобразование выполняется со столбцами. Получаем следующие две матрицы:− 930033030 и−4305−51−100 .13º. На третьем шаге заменяем третью строку первой,сложенную с третьей, взятой с коэффициентом 31.Выполнив такие же преобразования со столбцами, соответственно получаем матрицы− 930003000 и− 3751305−51−135 .26Таким образом, перейдя к базису3035 ; 1 ; 5−5−126и выполнив замену координат по формулам переходаГ л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 339+ 3ξ′3 , ξ1 = 3ξ1′ξ 2 = 5ξ1′ + ξ′2 + 5ξ′3 ,ξ = −5ξ′ − ξ′ + 26ξ′ ,123 3мы получим следующий диагональный вид исходногоквадратичного функционала:Ф( x) = −93ξ1′ 2 + 3ξ′22 − 3751 ξ′32 .§ 9.3.

Исследование знакаквадратичного функционалаНесмотря на неединственность диагонального или каноническогопредставления, квадратичные функционалы обладают рядом важныхсвойств, инвариантных относительно (то есть не зависящих от) выбора базиса в Λ . Одной из таких характеристик является ранг квадратичного функционала.nОпределение9.3.1.Теорема9.3.1.Максимальное число не равных нулю коэффициентовканонического вида квадратичного функционалаФ( x) называется его рангом и обозначается rg Φ.Ранг квадратичного функционала в Λn не зависит от выбора базиса.Доказательство.По следствию 9.1.2 ранг матрицы билинейного функционала независит от выбора базиса. Поэтому не будет зависеть от выборабазиса и ранг матрицы порождаемого им квадратичного функционала.С другой стороны, в силу теорем 8.4.3 и 9.1.1 ранг матрицыквадратичного функционала равен числу ненулевых коэффициентов в его каноническом виде.Теорема доказана.340Аналитическая геометрия и линейная алгебраПри исследовании знака значений квадратичного функционалаоказывается полезным использование следующих его характеристик.1°.Определение9.3.2.Максимальное число положительных коэффициентов диагонального (канонического) вида квадратичного функционала Ф( x ) в Λ называетсяего положительным индексом инерции и обозначается rg + Ф .n2°.Максимальное число отрицательных коэффициентов диагонального (канонического) вида квадратичного функционала Ф( x ) в Λ называетсяего отрицательным индексом инерции и обозначается rg − Ф .n3°.Разность между положительным и отрицательным индексами инерции называется сигнатуройквадратичного функционалазначаетсяФ( x) в Λn и обо-sgnФ = rg + Ф − rg − Ф .Теорема9.3.2(инерцииквадратичныхфункционалов).Значения положительного и отрицательногоиндексов инерции, а также сигнатуры квадратичного функционала Ф( x) в Λn не зависят от выбора базиса, в котором этот функционал имеет диагональный (канонический)вид.Доказательство.1°.Пусть квадратичный функционалбазисеФ( x) имеет в некотором{g1 , g 2 ,..., g n } представлениеnnФ( x) = ∑∑ ϕ ij ξ i ξ ji =1 j =1Г л а в а 9 .

Нелинейные зависимости в линейном пространстве 341и пусть существуют два различных базиса{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } и{g1′′, g ′2′ ,..., g n′′} , в которых Ф( x) имеет следующий вид:kФ( x) = ∑ λ i ηi2 −i =1m∑λi = k +1iηi2 ; m ≤ n , λ i > 0 ∀i = [1, m]и соответственноpФ( x) = ∑ µ i κ −i =12iq∑µ κi = p +1i2i; q ≤ n , µ i > 0 ∀i = [1, q] .В силу сделанных предположений должны существовать невы-ωij и θ ij при пе-рожденные матрицы замены переменныхреходах от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базисам{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } и {g1′′, g ′2′ ,..., g n′′ }такие, чтоnnj =1j =1η s = ∑ ω sj ξ j ; s = [1, n] и κ s = ∑ θ sj ξ j ; s = [1, n] .

(9.3.1)2°.Ф( x) в базисах{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } и {g1′′, g ′2′ ,..., g n′′}Приравняем значения функционаладля некоторого элементаnnnx = ∑ ξ k g k = ∑ ηi g i′ = ∑ κ j g ′j′ ,k =1k∑ λ i ηi2 −i =1i =1mj =1p∑ λ i ηi2 = ∑ µ i κ i2 −i = k +1i =1q∑µ κi = p +1i2iи преобразуем полученное равенство к видуk∑ λ i ηi2 +i =1qp∑ µ i κ i2 = ∑ µ i κ i2 +i = p +1i =1m∑ λ i ηi2 .i = k +1(9.3.2)3423°.Аналитическая геометрия и линейная алгебраИсследуем полученное соотношение.

Допустим, что k < p ипредположим, что элемент x имеет в рассматриваемых базисах компонентыηi = 0 ∀i = [1, k ] ;κ i = 0 ∀i = [ p + 1, n] .Этих условий меньше, чем n , поскольку k < p . Если ихподставить в равенства (9.3.1), то мы получим однороднуюсистему линейных уравнений относительно неизвестных{ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n } .Поскольку число таких уравнений меньше числа неизвестных,то можно утверждать, что она в силу теоремы 6.7.1 имеет нетривиальные решения, и, следовательно, элемент x можетбыть ненулевым.С другой стороны, из равенства (9.3.2), положительности чисел λ i ; i = [1, m] и µ i ; i = [1, q ] , а также условийηi = 0 ∀i = [1, k ] ; κ i = 0 ∀i = [ p + 1, n]следует, что иκ i = 0 ; i = [1, p ].Тогда в силу (9.3.1) мы получаем однородную системуn ли-nнейных уравненийκ s = ∑ θ sj ξ j ; s = [1, n] с n неизвестj =1ными и невырожденной основной матрицей, имеющую только тривиальное решение, то есть элемент x обязан быть нулевым.

Характеристики

Список файлов книги