Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 30
Текст из файла (страница 30)
, f m , f m +1 :κ1 f 1 + κ 2 f 2 + ... + κ m f m + κ m +1 f m+1 = o , (8.6.1)причем без ограничения общности можно считать, что число κ m +1 ≠ 0.Подействуем Â на обе части равенства (8.6.1):Aˆ ( κ1 f1 + κ 2 f 2 + ... + κ m f m + κ m+1 f m+1 ) == κ1λ 1 f1 + κ 2 λ 2 f 2 + ... + κ m λ m f m + κ m+1λ m+1 f m+1 = o.(8.6.2)С другой стороны, умножая обе части равенства (8.6.1) наλ m+1 и вычитая почленно результат этого умножения из равенства (8.6.2), получимκ1 (λ 1 − λ m+1 ) f 1 + κ 2 (λ 2 − λ m+1 ) f 2 + ...K + κ m (λ m − λ m +1 ) f m = o .Поскольку все собственные значения разные, а векторыf1 , f 2 ,..., f m линейно независимые, тоκ1 = κ 2 = ... = κ m = 0.Но тогда из (8.6.1) следуетκ m+1 = 0 , что противоречит сде-ланному выше предположению, и по принципу математической индукции из линейной независимости элементовf1 , f 2 , ...
, f m следует линейная независимость элементовf 1 , f 2 , ... , f m , f m+1 .Теорема доказана.312Аналитическая геометрия и линейная алгебраСледствие8.6.1.Теорема8.6.6.Линейный операторA$ в Λ может иметь(с точностью до произвольного ненулевого множителя) не более чем n собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.n$ , действующий в Λ ,Если линейный оператор Aимеет n различных собственных значений, то существует базис, образованный собственными вектораn$ , в котором матрица данного линейного операми Aтора имеет диагональный вид, причем на ее диагонали$.расположены собственные числа оператора AДоказательство.Следует из теоремы 8.6.5 и замечания о важности собственных векторов § 8.5.Теорема8.6.7.Λ∗ – инвариантное собственное подпростран$ , отвечающее некоторомуство линейного оператора AПустьсобственному значениюλ 0 кратности k.
Тогда имеетместо соотношение1 ≤ dim(Λ∗ ) ≤ k .Доказательство.Выберем вΛn базис {g1, g 2 ,..., g m , g m +1,..., g n } так, чтобыего первыеm = dim(Λ∗ ) элементов принадлежали Λ∗ .В силу условия кратности собственного значенияAˆ g i = λ 0 g i ; i = [1, m] ,поэтому матрицаAˆ − λ Eˆgв этом базисе, согласно замеча-нию о важности собственных векторов (см. § 8.5), будетиметь видГ л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеAˆ − λ Eˆg=λ0 −λ=313...0α1,m +1...α1nλ 0 − λ .........0...α 2, m+1.........α 2n...α mn...00...0...0...... λ 0 − λ α m, m+1 ...............00...0α n ,m +1....
α nn − λОткуда следует, чтоdet Aˆ − λ Eˆg= (λ 0 − λ) m Pn−m (λ ).Поскольку множители вида (λ 0 − λ) могут содержаться такжеи в многочленеPn−m (λ ) , то m ≤ k , где k – кратность корняλ 0 характеристического многочлена det Aˆ − λ Eˆ g .Условие 1 ≤ m очевидно, поскольку подпространствонулевое (содержит собственные векторы).Λ∗ не-Теорема доказана.Таким образом, размерность инвариантного собственного подпро-Λ∗ , отвечающего собственному значению λ 0 кратностиk , может оказаться меньше k , что иллюстрируетстранстваЗадача8.6.2.Найти собственные значения и собственные векторыоператора, действующего в пространстве двумерных1 1столбцов и заданного матрицей0 1.314Аналитическая геометрия и линейная алгебраРешение.Находим собственные значения:det1− λ1= (1 − λ) 2 = 0,0 1− λто есть λ 1, 2 = 1 и кратность собственного значенияk = 2 .
Найдем теперь собственные векторы:0 10 0ξ10=ξ20⇒x=µ10∀µ ≠ 0 .Таким образом, получаем, что данный линейный операторимеет одномерное инвариантное собственное подпро∗странство ( m = dim( Λ) = 1 ), соответствующее собст-венному значениюкратности 2.λ =1На основании теорем 8.6.2, 8.6.5 и 8.6.6 приходим к выводу, чтобазис в конечномерном вещественном линейном пространстве, образованный из собственных векторов действующего в нем линейногооператора, может не существовать из-за невещественности иликратности его собственных значений.Теорема8.6.8.Λn имеет нулевое собствен$ное значение тогда и только тогда, когда оператор A$ вЛинейный оператор Aне является взаимно однозначным.Доказательство.$ имеет в Λ собственное значение, равЛинейный оператор Aное нулю, тогда и только тогда, когда его матрица вырожденnная, то есть в любом базисеdet A$ = 0 .Пусть в Λ координатный столбец образа связан с координатным столбцом прообразаnГ л а в а 8 .
Линейные зависимости в линейном пространствеη1α11η2α= 21......ηnα n1α12α 22...α n2315... α1n ξ1... α 2 n ξ 2.... ... ...... α nn ξ nИз теоремы 6.4.1 (Крамера) следует, что для заданного координатного столбца элемента-образа эта система линейных уравнений, у которой неизвестными являются компоненты столбцаэлемента-прообраза, либо будет несовместной (элементпрообраз не существует), либо будет иметь согласно следствию6.7.1 неединственное решение (элемент-прообраз определяетсянеоднозначно).Теорема доказана.Определение8.6.2.Q с натуральнымпоказателем k ≥ 2 называется произведение k сомножителей вида Q .
Будем также считать, чтоСтепенью квадратной матрицыQТеорема8.6.9(Гамильтона–Кэли).1= Q и Q0= E .$ в Λ удовлеМатрица линейного оператора Aтворяет его характеристическому уравнению.nДоказательство.Докажем данную теорему в предположении, что собственныевекторы оператора  образуют вΛn базис { f 1 , f 2 ,..., f n } .Пусть данный линейный оператор  в этом базисе имеет матnрицуÂи характеристическое уравнениеf∑αk =0kλk = 0 .316Аналитическая геометрия и линейная алгебраТогда в силу линейности  для собственного вектора f , соответствующего собственному значению λ , имеем (см. задачу 8.5.2)nnk(∑ α k Aˆk) f = ∑ α k ( Aˆfk =0f )=fk =0n= ∑ α k ( Aˆfk =0( Aˆf...( Aˆnnk =0k =0ff)...) ) == ∑ α k (λk f ) = (∑ α k λk ) f = 0 ⋅ f = o .Но поскольку это соотношение верно для всех базисных векторов,то оно будет верно и для каждого элемента x ∈ Λ . Тогда из леммы5.1.2 следует, чтоnn∑αk =0kAˆk= Oˆ f .fНаконец,выполнивпереходкпроизвольномубазису{g1 , g 2 ,..., g n } , получимn∑ α k Aˆk =0kgn= ∑αk ( S−1= ∑ αk ( SAˆk =0n= ∑ αk ( Sk =0−1OˆAˆk =0n= S−1fТеорема доказана.−1AˆfkfSS−1S )= SS = Oˆ g .S )k =fAˆ−1−1S ...
Sfn( ∑ α k Aˆk =0kfAˆf) S =S )=Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве317теорема Гамильтона–Кэли также верна и для линейныхоператоров, из собственных векторов которых базисобразовать не удается.Замечание:§ 8.7. Линейные функционалыРассмотрим специальный случай линейного оператора, когда егообласть значений содержится в одномерном линейном пространстве,изоморфном множеству вещественных чисел. Такого рода зависимости, следуя классификации, введенной в § 5.2, следует относить кфункционалам. Напомним данное ранееОпределение8.7.1.Пусть каждому элементу x линейного пространстваΛ поставлено в соответствие однозначно определяемое число, обозначаемое f ( x ) .
Тогда говорят, что вΛ задан функционал f ( x) .Пример8.7.1.1°. В пространстве n-компонентных столбцов можноξ1ξ2задать функционал, поставив столбцув соот...ξnnветствие число∑φ ξi =1ii, гдеφ i , i = [1, n] – неко-торые фиксированные константы.2°. В векторном геометрическом пространстве функционалом является длина вектора, то есть→f ( x) = | x |.3°. В пространстве функций x ( τ) , определенных на[−1,1] , функционалом является f ( x) = x(0) –318Аналитическая геометрия и линейная алгебра”дельта-функция”, обозначаемая как δ( x) , ставящаяв соответствие каждой функции x ( τ) ее значение внуле.4°. В пространстве функций x ( τ) , непрерывных на[α, β] , функционалом является определенный интеβграл, то естьf ( x) = ∫ p(τ) x(τ)dτ , где p (τ) – неαкоторая заданная на [α, β] непрерывная функция.5°.
В линейном пространстве квадратных матриц видаα11α 21α12функционалом является определительα 22detОпределение8.7.2.α11α 21α 12= α11α 22 − α12 α 21 .α 22Функционал f ( x ) называется линейным функционалом (или линейной формой), если для любыхx, y ∈ Λ и любого числа λ :1°. f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ).2°. f (λ x ) = λ f ( x ).Задача8.7.1.Доказать, что функционалы в примерах 1°, 3° и 4° являются линейными, а функционалы в примерах 2° и 5° –нет.Представление линейного функционала в ΛnПусть вΛn дан базис {g1 , g 2 ,..., g n } и пусть координатное пред-ставление элемента линейного пространства имеет вид x =n∑ξi =1igi .Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве319Тогда в силу линейности функционала справедливы соотношенияnnni =1i =1i =1f ( x) = f (∑ ξ i g i ) = ∑ ξ i f ( g i ) = ∑ φ i ξ i ,где φ i = f ( g i ) , i = [1, n] – числа, называемые компонентами линейного функционала в данном базисе.Из последних равенств следует легко проверяемаяТеорема8.7.1.Каждый линейный функционал f ( x ) вкретном базисе{g1, g 2 ,..., g n } имеет однозначно оп-ределяемуюfgстроку= φ1компонентовφ 2 K φ n , а каждая строка компо-φ1нентовΛn в кон-φ2 K φnв конкретном базисе вΛ определяет некоторый линейный функционал поnnформулеf ( x) = ∑ φ i ξ iили в матричном видеi =1f ( x) = fgxg.Запись координатного представления линейного функционала вΛ в виде строки (а не столбца!) следует из необходимости обеспечить соответствие этого представления определению 8.4.5, посколькуnлинейный функционал вбражение Λ → Λ .nΛn можно рассматривать как линейное ото-1Получим теперь правило изменения компонент линейного функционала в Λ при переходе от одного базиса к другому.
Пусть в Λданы два базиса {g1 , g 2 ,..., g n } и {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } , связанные матриnnnцей переходаS = σ ij , где g ′j = ∑ σ ij g i ∀j = [1, n] .i =1320Аналитическая геометрия и линейная алгебраx будут иметьКоординатные представления некоторого элементав рассматриваемых базисах вид x =n∑ξi =1nig i = ∑ ξ′i g i′ , а коордиi =1натные представления линейного функционала f ( x ) – соответственноnni =1i =1f ( x) = ∑ φ i ξ i = ∑ φ′i ξ′i .Найдем выражения для величинφ′i через φ i . Используя введен-ные обозначения, получаемnnnk =1k =1k =1φ′i = f ( g i′ ) = f (∑ σ ki g k ) = ∑ σ ki f ( g k ) =∑ φ k σ ki ,что доказывает следующее утверждение.Теорема8.7.2.Λ n в базисах {g1 , g 2 ,..., g n } и {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } ком-Впоненты координатных представлений линейногоfфункционалаfg′= φ1′ , φ′2 , ...
, φ′ng= φ1 , φ 2 , ... , φ nсвязаныисоотношениемnφ′k = ∑ φ i σ ik ; k = [1, n] , где коэффициенты σ ik –i =1коэффициентыS – матрицы перехода от первогобазиса ко второму.Вfматричнойg′= fgформеэтоутверждениеимеетвидS , что означает, что компоненты линейного функ-ционала в Λ преобразуются при замене базиса так же, как преобразуются столбцы базисных элементов (см. § 7.3).nГ л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве321Двойственное (сопряженное) пространство.
Взаимный(биортогональный) базисПоскольку линейные функционалы в Λ являются частным случаем линейных операторов, то для них можно ввести операции сравнения, сложения и умножения на число.Задача8.7.2.Показать, что в Λ с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } операции сложения и умножения на число для линейных функционалов p( x ) и q ( x ) в координатном представленииимеют видnp+qg= φ1 + ψ 1λpφ2 + ψ 2... φ n + ψ ng= λφ1λφ 2g= K φ1φ2... φ n и= ψ1ψ2... ψ n .и... λφ n ,гдеpqgОчевидно, что при этом будут справедливы все утверждения § 8.2,в том числе иТеорема8.7.3.Множество всех линейных функционалов, заданных влинейном пространстве Λ , является линейным пространством.Определение8.7.3.Линейное пространство линейных функционалов, заданных в Λ , называется двойственным (или сопряженным) пространству Λ и обозначаетсяΛ+ .Теорема 8.7.1 устанавливает взаимно однозначное соответствиемежду множествами линейных функционалов и n-компонентныхстрок, последнее из которых является линейным n-мерным простран-322Аналитическая геометрия и линейная алгебраством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
