Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Линейные зависимости в линейном пространстве269§ 8.2. Действия с линейными операторамиОпределение8.2.1.$ и B$ называются равными,Линейные операторы AAˆ x = Bˆ x . Равенство операторовˆ = Bˆ .обозначается как Aесли∀x ∈ Λ :$ и B$ называетсяСуммой линейных операторов A$ + B$ , ставящий кажоператор C$ , обозначаемый Aдому элементу x линейного пространства Λ в соот$ветствие элемент AxЛемма8.2.1.$ .+ BxСумма двух линейных операторов является линейнымоператором.Доказательство.Пусть x, y ∈ Λ иλ ; µ – числа, а C$ = A$ + B$ , тогдаCˆ (λ x + µ y ) = A(λ x + µ y ) + Bˆ (λ x + µ y ) == λ Aˆ x + µ Aˆ y + λBˆ x + µ Bˆ y == λ( Aˆ x + Bˆ x) + µ ( Aˆ y + Bˆ y ) == λ( Aˆ + Bˆ ) x + µ ( Aˆ + Bˆ ) y = λ Cˆ x + µ Cˆ y.Лемма доказана.Определение8.2.2.$ называется оператор, ставяНулевым оператором Oщий каждому элементу x линейного пространства Λв соответствие нулевой элемент этого линейного пространства.270Аналитическая геометрия и линейная алгебраОпределение8.2.3.Оператором, противоположным операторуA$ , назы-вается оператор, обозначаемый −  , ставящий каждому x элементу линейного пространства Λ в соответствие элементˆ ).−( AxЗаметим, что нулевой и противоположный операторы являютсялинейными.Легко проверяются следующие равенства для линейных операторов:Aˆ + Bˆ = Bˆ + Aˆ ;( Aˆ + Bˆ ) + Cˆ = Aˆ + ( Bˆ + Cˆ ) ;Aˆ + Oˆ = Aˆ ; Aˆ + (− Aˆ ) = Oˆ .Определение8.2.4.Лемма8.2.2.λ на линейный оператор A$называется оператор, обозначаемый λ , ставящийкаждому элементу x линейного пространства Λ вˆ x) .соответствие элемент λ( AПроизведением числаПроизведение линейного оператора на число являетсялинейным оператором, для которого выполняютсясоотношенияα(β Aˆ ) = (αβ) Aˆ ; 1Aˆ = Aˆ ;(α+ β) Aˆ = α Aˆ + β Aˆ ;α( Aˆ + Bˆ ) = α Aˆ + α Bˆ .Доказательство.Утверждение леммы проверяется непосредственно.
Например,для третьего равенства имеем∀x ∈ Λ : (α + β) Aˆ x == Aˆ ((α + β) x) = Aˆ (αx + β x) = αAˆ x + β Aˆ x .Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеТеорема8.2.1.271Множество всех линейных операторов, действующих влинейном пространстве Λ , является линейным пространством.Доказательство.Следует из определений 7.1.1, 8.2.1–8.2.4 и лемм 8.2.1, 8.2.2.Определение8.2.5.Теорема8.2.2.Произведением линейных операторовA$ и B$ назы-Aˆ Bˆ , ставящий каждому элементу x линейного пространства Λ в соотˆ ( Bˆ x ) .ветствие элемент Aвается оператор, обозначаемыйПроизведение линейных операторов является линейным оператором, для которого справедливы соотношенияAˆ ( Bˆ Cˆ ) = ( Aˆ Bˆ )Cˆ ; Aˆ ( Bˆ + Cˆ ) = Aˆ Bˆ + Aˆ Cˆ ;( Aˆ + Bˆ )Cˆ = Aˆ Cˆ + Bˆ Cˆ .Доказательство.Докажем вначале линейность произведения линейных операторов.
Действительно, ∀x, y ∈ Λ и любых чисел α, βAˆ Bˆ (α x + β y ) = Aˆ (α Bˆ x + β Bˆ y ) == α Aˆ ( Bˆ x) + β Aˆ ( Bˆ y ) = α( Aˆ Bˆ ) x + β( Aˆ Bˆ ) y.Проверим теперь сочетательный закон для произведения линейных операторов. Имеем( Aˆ ( Bˆ Cˆ )) x = Aˆ ( Bˆ Cˆ x) = Aˆ ( Bˆ (Cˆ x)) ,но, с другой стороны,(( Aˆ Bˆ )Cˆ ) x = Aˆ Bˆ (Cˆ x) = Aˆ ( Bˆ (Cˆ x)) ,что и требовалось показать. Остальные утверждения теоремыпроверяются аналогично.Теорема доказана.272Аналитическая геометрия и линейная алгебрав общем случае произведение линейных операторов необладает перестановочным свойством (или, иначе говоря, операторы не коммутируют), то естьЗамечание:A$ B$ ≠ B$ A$ .Определение8.2.6.A$ B$ − B$ A$ называется коммутатором$ и B$ .операторов AОператорКоммутатор коммутирующих операторов есть нулевой оператор.Задача8.2.1.В линейном пространстве алгебраических многочленовnPn (τ) = ∑ α k τ k найти коммутатор для операторов:k =0A$ , ставящего в соответствие многочлену его производную функцию, и B$ – оператора умножения многочленана независимую переменную.Решение.A$ B$ − B$ A$ .
Для любого Pn (τ )Построим операторимеемndd nAˆ Pn (τ) =Pn (τ) = ( ∑ α k τ k ) = ∑ k α k τ k −1 ,dτdτ k = 0k =1nnk =0k =0Bˆ Pn (τ) = τ (∑ α k τ k ) = ∑ α k τ k +1 .Откуда получаемnnnk =1k =0Bˆ ( Aˆ Pn (τ)) = τ ( ∑ k α k τ k −1 ) = ∑ k α k τ k = ∑ k α k τ kk =1nndA( Bˆ Pn (τ)) = ( ∑ α k τ k +1 ) = ∑ (k + 1)α k τ k ,dτ k = 0k =0Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеnnk =0k =0273( Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ ) Pn (τ) = (∑ (k + 1)α k τ k ) − (∑ k α k τ k ) =n= ∑ α k τ k = Pn (τ).k =0Следовательно, данные линейные операторы не коммутируют.В рассмотренной выше задаче 8.2.1 оказалось, что действие опера-ˆ Bˆ − Bˆ Aˆ на любой элемент линейного пространства многочлетора Aнов не приводит к изменению этого элемента. Введем для такого оператора специальное наименование.Определение8.2.7.Оператор E$ называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства Λ он ставит в соответствие тотже самый элемент, то естьÊx = x ∀x ∈ Λ .Докажитесамостоятельносправедливостьсоотношений:Aˆ Eˆ = Eˆ Aˆ = Aˆ ∀Aˆ , а также линейность и единственность Ê.Определение8.2.8.Пример8.2.1.B$ называется обратным оператору A$ и$ −1 , если AB$ $ = BA$ $ = E$ .обозначается AОператорВ линейном пространстве функцийf (τ ) , имеющих на[α, β] производную любого порядка и удовлетворяющихусловиямf ( k ) (α) = 0 ; k = 0,1, 2, ...
, оператор диффе-ренцированияÂf =τdfи Bˆ f = ∫ f (σ) dσ − операторdτα274Аналитическая геометрия и линейная алгебраинтегрирования с переменным верхним пределомявляются взаимно обратными.Действительно,τdAˆ Bˆ f = ∫ f (σ)dσ = f (τ) = Eˆ f иdτ ατdfBˆ Aˆ f = ∫dσ = f (τ) − f (a) = f (τ) = Eˆ f .dσαЗамечания.1°.Не для всякого линейного оператора существуетобратный оператор. Например, нулевой операторO$ не имеет обратного. Действительно, пустьOˆ x = o при всех ∀x ∈ Λ , тогда для любого B$имеет место( Bˆ Oˆ ) x = Bˆ (Oˆ x) = o ∀x ∈ Λ ,ˆ = Eˆ не выполи, следовательно, равенство Bˆ Oняется ни при каком B$ .2°.Обратный оператор, если существует, то толькоединственный. (Покажите это самостоятельно, использовав как аналог доказательство леммы 5.1.1.)3°.В случае бесконечномерного линейного простран-Aˆ Bˆ = Eˆ можетˆ = Eˆ , чтоне следовать выполнение условия Bˆ Aства из справедливости условияимеет место, например, в пространстве многочленовnPn (τ) = ∑ α k τ kk =0$ и B$ , где B$ есть операдля пары операторов Aтор умножения многочлена на независимую пере-Г л а в а 8 .
Линейные зависимости в линейном пространствеA$ многочленуменную, а операторn∑αk =0nсоответствие многочлен∑αk =1k275τ k ставит вτ k −1 .k§ 8.3. Координатное представлениелинейных операторовПусть вΛn заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и линейный операторA$ являющийся отображением в Λm с базисом { f 1 , f 2 ,..., f m } .∀x ∈ Λn существует единственное разложениеξ1nξ2.
Аналогично в Λm существуетx = ∑ ξ i g i , то есть x g =...i =1ξnВ § 7.2 показано, чтоединственное разложение длястиy = Aˆ x , для которого в силу линейно-Â справедливо представление видаnni =1i =1y = Aˆ x = Aˆ (∑ ξ i g i ) = ∑ ξ i Aˆ g i .Приняв во внимание возможность и единственность вmженияΛm разло-Aˆ g i = ∑ α k i f k ∀i = [1, n] , с одной стороны, получаем, чтоk =1mnk =1i =1y = ∑ (∑ α k i ξ i ) f k .276Аналитическая геометрия и линейная алгебраС другой стороны, еслиyfη1η= 2...ηm– координатное представле-mние, то имеет место равенствоy = ∑ η k f k . Наконец, в силу единk =1ственности разложения элемента конечномерного пространства побазису получаемnη k = ∑ α k i ξ i ; k = [1, m] .i =1Данные соотношения позволяют находить координатное представление образов элементов линейного пространства по координатномупредставлению прообраза.
При этом отметим, что каждый линейныйAˆ : Λn → Λm в паре конкретных базисов полностью иоднозначно описывается матрицей размера m × n с элементами α k i .оператор видаОпределение8.3.1.m × n , столбцы которой образованы компонентами элементов Âg i :Матрица размераAˆfgα11α= 21...α m1α12α 22...α m2... α1n... α 2 n,... ...... α mnназывается матрицей линейного операторазисахA$ в ба-{g1 , g 2 ,..., g n }∈ Λn и { f 1 , f 2 ,..., f m } ∈ Λm .Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве277nВ матричной форме соотношенияη k = ∑ α k i ξ i ; k = [1, m]i =1имеют видyf= Aˆfgxg,(8.3.1)в чем легко убедиться, воспользовавшись их двухиндексной формойзаписи:nη k 1 = ∑ α k i ξ i1 ; k = [1, m] .i =1Полученный результат формулируется какТеорема8.3.1.Между множеством всех линейных операторов видаAˆ : Λn → Λm и множеством всех матриц размераm × n имеется взаимно однозначное соответствие.Доказательство.Выше было показано, что каждому линейному оператору дляˆ : Λ → Λ можно сопоставитьконкретной пары базисов Aпо определению 8.3.1 матрицу размера m × n .nmС другой стороны, соотношениеη1α11η2α= 21......ηmα m1α12α 22...α m2...
α1n ξ1... α 2 n ξ 2... ... ...... α mn ξ nможет быть принято за определение некоторого оператора ви-ˆ : Λ → Λ , линейность которого следует из правил опеда Aраций с матрицами.nТеорема доказана.m278Пример8.3.1.Аналитическая геометрия и линейная алгебра1°. В трехмерном векторном пространстве c ортонормированным базисом рассмотрим линейный оператор,ортогонально проектирующий радиусы-векторы наплоскость Oxy .
Поскольку в данном случае→→→→Aˆ g1 = 1 g 1 + 0 g 2 + 0 g 3→→→→Aˆ g 2 = 0 g1 + 1 g 2 + 0 g 3 , то→→→→Aˆ g = 0 g + 0 g + 0 g3121 0 0A$g3= 0 1 0 .0 0 0Действия с линейными операторами в матричной формеAˆ : Λn → Λn , то естьnлинейные преобразования, действующие в Λс базисом{g1 , g 2 ,..., g n } , матрица которых квадратная, порядка n . ВведенБудем рассматривать далее операторы виданые в § 1.1 и § 5.1 операции с матрицами позволяют описать в конкретном базисе действия с линейными операторами в следующейформе.Aˆ = Bˆ ⇔1°. Сравнение операторов:Aˆg=Bˆ.gAˆ = Bˆ означает, чтоСогласно определению 8.2.1 условие∀x ∈ Λn : Aˆ x = Bˆ x , или в координатной формеAˆx = Bˆx ∀x ∈ Λn .ggggНо тогда по лемме 5.1.2 матрицаAˆgследовательно, условие− BˆAˆ = Bˆ равносильноAˆ = Bˆ .ggнулевая и,gГ л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве2°.
Сложение операторов:A$ + B$Действительно, изg=A$g+ B$g279.nnk =1k =1Aˆ g i = ∑ α ki g k и Bˆ g i = ∑ β ki g kследует, что( Aˆ + Bˆ ) g i = Aˆ g i + Bˆ g i =nnnk =1k =1k =1= ∑ α ki g k + ∑ β ki g k = ∑ (α ki + β ki ) g k .3°. Умножение оператора на число:λ Aˆ= λ Aˆgg.nИзAˆ g i = ∑ α ki g k для любого числа λ находим, чтоk =1n(λAˆ ) g i = Aˆ (λg i ) = ∑ (λα ki ) g k .k =14°. Произведение операторов:$$ABg=A$gB$g.По определению матрицы линейного оператора имеемn( Aˆ Bˆ ) g i = Aˆ ( Bˆ g i ) = Aˆ (∑ β ki g k ) =k =1nnnnk =1k =1j =1j =1= ∑ β ki Aˆ g k = ∑ β ki ∑ α jk g j = ∑ κ ji g j ,nгдеκ j i = ∑ α jk β k i , что совпадает с определением произk =1ведения матриц 5.1.1.280Аналитическая геометрия и линейная алгебраA$ −15°.
Обращение операторов:g=A$−1g.Будем предполагать, что обратный оператор существует.Поскольку из определения 8.2.8 следует, чтоA$ −1 A$ = A$ A$ −1 = E$ , принимая во внимание результатпункта 3°, получаем, что искомое матричное представлениеA$ −1gшениямоператораA$ −1gA$A$ −1 должно удовлетворять соотноg= A$gA$ −1являться обратной матрицей к матрицеg= E$A$gg, то есть.Следствие Размерность линейного пространства линейных отоnm8.3.1.бражений вида Λ → Λ равна m × n .Доказательство.Из теоремы 8.3.1 и правил действий с линейными операторамив матричной форме следует изоморфизм линейного пространства линейных операторов Λ → Λ и линейного пространства всех матриц размера m × n . Но тогда по теореме 7.5.1 (обизоморфизме) их размерности равны.nmСледствие доказано.Изменение матрицы линейного оператора при замене базисаВыясним, как меняетсяÂfg– матрица линейного отображенияAˆ : Λn → Λm при замене базисов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
