Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Более точно его описываетОпределение7.5.1.Два линейных пространства Λ1 и Λ 2 называютсяизоморфными, если существует взаимно однозначноеотображениеF̂ : Λ1 → Λ 2 , такое, что для ∀λ и∀x, y ∈ Λ 1 ,Fˆ ( x + y ) = Fˆx + Fˆy ;2°. Fˆ (λ x ) = λ Fˆ x.Отображение F$ называется изоморфизмом линейных пространств Λ1 и Λ 2 .1°.256Аналитическая геометрия и линейная алгебраНапомним, что отображение(биективным), еслиа)б)F$ является взаимно однозначнымразные элементы из Λ1 имеют в Λ 2 разные образы ( F$инъективно);каждый элемент из Λ 2 является образом некоторого элемента изТеорема 7.5.1(обизоморфизме).Λ1 ( F$ сюръективно).Два линейных конечномерных пространстваΛ1и Λ 2 изоморфны тогда и только тогда, когда ихразмерности равны.Доказательство.dim(Λ 1 ) = dim(Λ 2 ) .

Принимая правило отображения,при котором каждому элементу x ∈ Λ 1 ставится в соответствие элемент из Λ 2 , имеющий те же самые координаты, а такПустьже используя правила действий с элементами в координатномпредставлении, приходим к изоморфизму Λ1 и Λ 2 .Допустим, что n = dim(Λ 1 ) > dim(Λ 2 ) = m , где Λ1 и Λ 2изоморфны. Тогда некоторый набор n линейно независимыхэлементов из Λ1 отображается в n элементов в Λ 2 , которыеобязаны быть линейно зависимыми. Поскольку при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, то мыприходим к противоречию с предположением о линейной независимости выбранных n элементов из Λ1 .В случае n < m аналогичные рассуждения также приводят кпротиворечию, и, следовательно, n = m .Теорема доказана.257Г л а в а 7 .

Линейное пространствоПример7.1.2.Изоморфизм одномерных пространств вещественных чи+сел R и всех положительных чисел R (с операциями,определенными в условии задачи 7.1.3) задается при помощи функцийx = ln( y ) и y = e x ; x ∈ R; y ∈ R + .Очевидным следствием теоремы 7.5.1 является изоморфизм любого линейного n -мерного пространства Λ и линейного пространстваn -компонентных столбцов, позволяющий убедиться в справедливоnсти свойств столбцов, установленных в §§ 6.5–6.7 для каждогоДействительно, имеет местоТеорема7.5.2.Λn .Максимальное число линейно независимых элементовв любом конечном наборе элементов из Λ равно рангу матрицы, столбцы которой содержат координатыэлементов данного набора в некотором базисе.nДоказательство.Следует из изоморфности линейного пространства Λ и линейного пространства всех n-компонентных столбцов, а такжеиз теоремы 6.5.3 (о ранге матрицы).nСледствие7.5.1.Следствие7.5.2.k элементов в Λn линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы, столбцы которой содержат координаты этих элементов в некоторомбазисе, меньше, чем min{n , k } .Матрица перехода невырожденная, то естьdet S ≠ 0 .Доказательство.Предположим противное,det S = 0 , тогда rg S < n истолбцы матрицы перехода линейно зависимые.258Аналитическая геометрия и линейная алгебраg1′ , g ′2 ,..., g n′ , чтопротиворечит условию о том, что {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } – базис.Но тогда будут зависимыми и элементыСледствие доказано.Отметим также, что факт равенства или неравенства двух элементов в координатной форме можно проверять в любом базисе, по-Sскольку в силу невырожденности матрицыоказываются спра-ведливыми соотношенияxg= y⇔gSxg′= Sце переходаg′⇔T = SСуществует матрицаСледствие7.5.3.y−1xg′= xg′., обратная матри-S , называемая обратной матрицейперехода.Для обратной матрицы перехода справедливы соотношенияg1g2= T...gng1′Tg1′g ′2и...g n′xg′g 2′ K g n′ = g1= Txg, следующие из равенствg2 K gn S ,xg= Sxg′и теоремы 7.4.1.Пусть вΛn задан базис {g1 , g 2 ,..., g n } , в котором координатноеnпредставление элементов представляется в видеx = ∑ ξ i g i .

Тогдаi =1имеет место259Г л а в а 7 . Линейное пространствоСледствие7.5.4.Каждая однородная линейная системауравнений с n неизвестнымиn∑αi =1jim линейныхξ i = 0 , j = [1, m]определяет некоторое подпространствоΩ в Λn .Доказательство.Следует из того факта, что данное подпространство Ω в силутеоремы 6.7.2 является линейной оболочкой нормальной фундаментальной системы решений системы линейных уравненийn∑αi =1jiξ i = 0 , j = [1, m] , а Λn изоморфно линейному про-странству n-компонентных столбцовξ1ξ2... ξ nT.Таким образом, каждое подпространство в Λ может быть заданолибо однородной системой линейных уравнений, либо как линейнаяоболочка базиса подпространства – фундаментальной системы ее решений.nТакже справедливоСледствие7.5.5.Каждая совместная неоднородная линейная системаm линейных уравнений с n неизвестнымиn∑αi =1jiξ i = β j , j = [1, m]определяет некоторую гиперплоскостьΓ в Λn .Доказательство.Аналогично рассуждениям, приведенным для следствия 7.5.4.260Задача7.5.1.Аналитическая геометрия и линейная алгебраПроверить, что элементыg1 , g 2 , g3 образуют базис вΛ и найти координатное представление элементаэтом базисе, если в некотором исходном базисе:311x = 3 , g1 = 1 , g 211Решение.1°.2= 10Для того чтобы из элементовg3иx в3= 0 .1g1 , g 2 , g3 можно бы-ло образовать в Λ базис, необходимо и достаточно(определение 7.2.2), чтобы эти элементы были линейно независимыми.

По следствию 7.5.1 данное ус3ловие вΛ3 равносильно неравенству1 2 3rg 1 1 0 ≥ 3 ,1 0 1которое выполняется, поскольку1 2 3det 1 1 0 = −4 ≠ 0 .1 0 12°.Обозначим искомые координаты элементаx черезξ1 , ξ 2 , ξ 3 . Тогда x = ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 , или вкоординатной форме11233 = ξ1 1 + ξ 2 1 + ξ 3 0 .1101261Г л а в а 7 . Линейное пространство3°.Использовав условие равенства двух элементов вкоординатной форме, получим систему линейныхуравнений ξ1 + 2ξ 2 + 3ξ 3 = 1,= 3, ξ1 + ξ 2 ξ +ξ 3 = 1, 1решив которую (например, по правилу Крамера –теорема 6.4.1 или методом Гаусса – § 6.8), получимξ1 = 2, ξ 2 = 1, ξ 3 = −1 . Откуда следует, что элементx в базисе { g1 , g 2 , g 3 }, имеет координатноепредставление2xЗадача7.5.2.g=1 .−1Найти матрицу перехода от базиса в Λ , образованногоэлементами {g1′ , g 2′ , g 3′ } , к базису {g1′′, g 2′′, g 3′′} , если внекотором исходном базисе:31g1′ = 1 ,12g 2′ = 1 ,016g ′2′ =5 и g 3′′ =9227 .873g 3′ = 0 , g1′′ = 3 ,13262Решение.Аналитическая геометрия и линейная алгебра1°.Пустьx ,x′иx ′′обозначают коорди-натные столбцы элемента x в трех базисах: исходном, {g1′, g 2′ , g 3′ } и {g1′′, g 2′′, g 3′′} соответственно.Тогда (по определению 7.4.2 и в силу теоремы 7.4.1)имеют место равенстваx = Gгде матрицыx′иx = FиFсоставлены из коорди-Gx ′′ ,g1′, g 2′ , g3′ инатных столбцов базисных элементовg1′′, g 2′′, g3′′ , то есть123716G = 11100 и F = 31359Обозначим черезS227 .8матрицу перехода от базиса{g1′ , g 2′ , g 3′ } к базису {g1′′, g 2′′, g 3′′} , для которойx′ = Sиx ′′ .

Но из условий x = Gx = Fx′x ′′ следует, чтоx′ = Gпоскольку матрица−1Fx ′′ ,G , очевидно, невырожден-ная.ТогдаэлементаSx ′′ = G−1Fx ′′для любогоx ′′ , а это в силу леммы 5.1.2 означает,что искомая матрица переходаS = G−1F .263Г л а в а 7 . Линейное пространство2°.Подсчитав произведение1 2 31 1 01 0 1−17163359227 ,8используя, например, схему, описанную в § 6.8, дляGвыражений вида−1F , получаем2 3 4S = 1 2 3 .1 3 4Задача7.5.3.В линейном пространстве многочленов степени не выше,чем 3, найти базис и размерность пересечения двух линейных оболочек элементов:x1 (τ) = 1 + 2τ + τ 2 + 3τ 3 ,x 2 (τ) = −1 + 8τ − 6τ 2 + 5τ 3 ,x 3 ( τ) =10τ − 5τ 2 + 8τ 3y1 (τ) = 1 + 4τ − τ 2 + 5τ 3 ,иy 2 (τ) = 3 − 2τ + 6τ 2 + 3τ 3 ,y 3 ( τ ) = 4 + 2 τ + 5τ 2 + 8τ 3 .Решение.1°.По теореме 7.4.1 каждая из линейных оболочек является подпространством. Первое из них Π 1 образовано элементами видаx = λ1 x1 + λ 2 x2 + λ 3 x3 ,264Аналитическая геометрия и линейная алгебраа второеΠ 2 – соответственно элементамиy = µ1 y1 + µ 2 y 2 + µ 3 y3 .Составим однородные системы линейных уравнений,задающих эти подпространства (см.

следствие 7.5.4).Пусть каждое из уравнений этих систем имеет видα1 α 2 α 3 α 4ξ1ξ2= 0.ξ3ξ4Тогда, воспользовавшись изоморфизмом между Π 1 ипространством четырехкомпонентных столбцов видаξ1ξ2= λ1ξ3ξ4где1−102810+ λ2+ λ3,1−6−5358λ 1 , λ 2 , λ 3 – произвольные числа, приходим к ус-ловиюξ1α1 α 2 α 3 α 4ξ2ξ3=ξ4−11= α 1 α 2 α 3 α 4 (λ 1213+ λ28−650+ λ310−58)=0,265Г л а в а 7 . Линейное пространствокоторое будет выполняться при любыхесли числаλ1 , λ 2 , λ 3 ,α1 , α 2 , α 3 , α 4 образуют решение сле-дующей системы линейных уравнений: α1 + 2α 2 + α 3 + 3α 4 = 0,− α1 + 8α 2 − 6α 3 + 5α 4 = 0,10α 2 − 5α 3 + 8α 4 = 0.Решив эту систему, например, по схеме, описанной в§ 6.8, получим общее решение в видеα1−4−7α21−4= κ1+ κ2∀κ1 , κ 2α320α405откуда заключаем, что существует два независимыхнабора искомых чисел α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , и, следовательно, однородная система линейных уравнений,задающая подпространство Π 1 имеет вид= 0, − 4 ξ1 + ξ 2 + 2 ξ 3+ 5ξ 4 = 0.− 7 ξ 1 − 4ξ 2Аналогично строим однородную систему линейныхуравнений, задающую Π 2 :− 22ξ1 + 9ξ 2 +14ξ 3 − 11ξ1 − 6ξ 2Наконец, подпространствоваться системой= 0,+ 7ξ 4 = 0.Π 1 ∩ Π 2 будет зада-266Аналитическая геометрия и линейная алгебра − 4ξ1 + ξ 2 + 2ξ 3 − 7 ξ − 4ξ12 − 22ξ1 +9ξ 2 +14ξ 3 − 11ξ1 − 6ξ 2= 0,+ 5ξ 4 = 0,= 0,+ 7ξ 4 = 0,общее решение которой естьξ12ξ2−6 ,= σ1ξ37ξ4−2и,следовательно,дляΠ1 ∩ Π 2имеемdim( Π 1 ∩ Π 2 ) = 1 и базис, состоящий из одного2элемента − 6 .7−2Г л а в а 8 .

Линейные зависимости в линейном пространстве267Глава 8ЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИВ ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ§ 8.1. Линейные операторыОпределение8.1.1.Пусть каждому элементу x линейного пространстваΛ поставлен в соответствие единственный элементy линейного пространства Λ∗ . Тогда говорят, что вΛ задан оператор, действующий в Λ и имеющий∗значения в Λ , действие которого обозначается какy = Aˆ x .При этом элемент y называется образом элементаx , а элемент x – прообразом элемента y .Как и в § 5.2, операторы подразделяются на отображения, если∗Λ ⊄ Λ , и преобразования, если Λ∗ ⊆ Λ . В дальнейшем, за исключением особо оговоренных случаев, будет предполагаться, чтоΛ∗ ⊆ Λ , то есть мы будем рассматривать преобразования, действующие в Λ .Определение8.1.2.$ называется линейным, если дляy = Axлюбых x, x1 , x2 ∈ Λ и любого числа λ имеют местоОператорравенства$ + Ax$ иA$ ( x1 + x 2 ) = Ax12ˆ (λ x) = λ Aˆ x .2°.

A1°.268Пример8.1.1.Аналитическая геометрия и линейная алгебра1°. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правилоη1a= 11η2a 21связывающее вектор-прообразобразомy=a12 ξ1,a22 ξ 2x=ξ1с векторомξ2η1.η22°. В пространстве бесконечно дифференцируемыхфункций линейным оператором является операциядифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого пространства его производнуюфункцию.3°. В пространстве многочленовPn (τ) линейным опе-ратором является операция умножения многочленана независимую переменную τ .Задача8.1.1.Задача8.1.2.Решение.Доказать, что операторы в примерах 1°, 2° и 3° являются линейными.$ , ставящий каждомуЯвляется ли линейным оператор Aэлементу x ∈ Λ в соответствие фиксированный элемент a ∈ Λ ?Если элементвующий в Λ .a = o , то A$ – линейный оператор, дейст-Г л а в а 8 .

Характеристики

Список файлов книги