Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Следовательно, по теореме 6.5.3 (о ранге матрицы)rg A = rg A b .Доказательство достаточности.Пусть ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен r . Без ограничения общности предположим,что базисный минор расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы, но тогда по теореме 6.5.1 (о базисномrминоре) имеет место равенствоb = ∑ λ i a i , котороеi =1можно переписать в видеrni =1i = r +1b = ∑ λ i ai +∑0 ai.Однако последнее означает, что система (6.6.1) имеет решение {λ1 , λ 2 ,..., λ r ,0,...,0} , то есть она совместна.Теорема доказана.216Задача6.6.1.Аналитическая геометрия и линейная алгебраДокажите справедливость следующего утверждения.Для того чтобы прямыеAi x + Bi y + Ci = 0 , i = [1, n]пересекались в одной и той же точке плоскости,необходимо и достаточно, чтобыrgA1B1A2B2......AnBn= rgA1B1C1A2B2C2.........AnBnCn.§ 6.7.

Фундаментальная система решенийВ § 6.6 было показано, что факт совместности или несовместностисистемы (6.6.1) можно установить, сравнив ранги ее основной и расширенной матриц. Рассмотрим теперь случай, когда система (6.6.1)совместна и найдем все ее решения.При построении общего решения системы (6.6.1) воспользуемсяследующими вспомогательными утверждениями.Лемма6.7.1.Любая линейная комбинация частных решений однородной системы (6.6.1) также является ее частнымрешением.Доказательство.Пустьξ1iξixi = 2 ,...ξ inсистемы, то естьi = [1, k ] – частные решения однороднойA xi = o∀i = [1, k ] .217Г л а в а 6 .

Системы линейных уравненийkРассмотрим столбецy = ∑ λ i x i . По правилам действийi =1с матрицами для него справедливы равенстваn ni y = A  ∑ λi x  = ∑ λi ( A i =1 i =1Axi ) = o .Лемма доказана.Лемма6.7.2.Сумма некоторого частного решения однородной системы (6.6.1) и некоторого частного решения неоднородной системы является частным решением неоднородной системы (6.6.1).Доказательство.x – частное решение однородной системы, а y –Пустьнекоторое частное решение неоднородной, то естьAx = o ,Ay = b .Тогда по правилам действий с матрицами справедливы равенстваA ( x + y )= A x + Ay = o + b = b .Лемма доказана.Лемма6.7.3.Разность двух некоторых частных решений неоднородной системы (6.6.1) является частным решениемоднородной системы (6.6.1).Доказательство.Пустьто естьx и y – частные решения неоднородной системы,Ax = b , Ay = b .

Тогда по правиламдействий с матрицами справедливы равенстваA ( x − y )= A x − A y = b − b = o .Лемма доказана.218Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗамечания 1°.Из лемм 6.7.1–6.7.3. следует, чтообщее решение неоднородной системы уравнений есть общее решение однородной плюснекоторое частное решение неоднородной,и поэтому целесообразно вначале изучить вопрос онахождении общего решения однородной системылинейных уравнений.2°. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку у нее есть, по крайней мере, одночастное, называемое тривиальным, решение, для которого все неизвестные имеют нулевое значение.3°.

Поскольку частные решения системы линейных уравнений представимы в виде столбцов, то, используяоперации сравнения, сложения и умножения на числодля столбцов, а также лемму 6.7.1, можно ввести понятие линейной зависимости решений однороднойсистемы линейных уравнений аналогично определению 6.5.4.Теорема6.7.1.Однородная система (6.6.1) имеетn − rg A линейнонезависимых частных решений.Доказательство.1°.

Рассмотрим вначале совместную неоднородную систему (6.6.1) α 11ξ1 + α 12 ξ 2 +...+ α 1n ξ n = β1 α ξ + α ξ +...+ α ξ = β 21 122 22n n2 ............................................... α m1ξ 1 + α m 2 ξ 2 +... +α mn ξ n = β mи предположим, что матрица базисного минора расширеннойматрицыA | b , ранга r ≤ min{m, n + 1} , расположена в ле-вом верхнем углу последней.219Г л а в а 6 .

Системы линейных уравненийПо теореме 6.5.1 (о базисном миноре) последние m − r уравнений являются линейными комбинациями первых r уравнений, и, следовательно, их можно отбросить, поскольку они будут тождественно удовлетворяться решениями первых r уравнений.В оставшихся уравнениях перенесем в правые части слагаемые,содержащие неизвестные ξ r +1 , ξ r + 2 ,..., ξ n .ξ1 ,..., ξ r называются основными (главными, зависимыми, базисными), а неизвестные ξ r +1 ,..., ξ n – свободныНеизвестныеми (параметрическими, независимыми, небазисными). α11ξ1 + α12 ξ 2 + ...

+ α1r ξ r = β1 − α1r +1ξ r +1 − ...− α 1n ξ n ,α ξ + α ξ + ... + α ξ = β − α ξ − ... − α ξ , 21 122 22r r22 r +1 r +12n n ...................................................................................... α r1ξ1 + α r 2 ξ 2 + ... + α rr ξ r = β r − α r ,r +1ξ r +1 − ... − α r , n ξ n .Присвоим свободным неизвестным некоторые конкретные значения ξ r +1 = µ1 ,..., ξ n = µ n − r и рассчитаем по правилу Крамера (теорема 6.4.1) соответствующие им значения основныхнеизвестных:j -й столбец↓n−rα 11 ... β1 − ∑ α 1, r + k µ k1ξj =detMk =1......n−r...α r1 ... β r − ∑ α r , r + k µ kk =1гдеj = [1, r ] , а M – базисный минор....

α 1r...... ,... α rr(6.7.1)220Аналитическая геометрия и линейная алгебра2°. Заметим, что из соотношений (6.7.1), положивµ k = 0 ; k = [1, n − r ] ,можно найти частное решение неоднородной системы (6.6.1).Теперь рассмотрим однородную систему. По линейному свойству определителей (теорема 6.2.3) получаем выражения длязначений неизвестных:n−rξ j = ∑ κ jk µ k , j = [1, r ] ;k =1(6.7.2)ξ r +i = µ i , i = [1, n − r ] ,гдеκ jkα11 ... − α1,r + k1=det ... ......Mα r1 ... − α r ,r + k... α1r... ...

,... α rrj = [1, r ] , k = [1, n − r ] .↑j -й столбецНаконец, в матричной форме соотношения (6.7.2) могут бытьзаписаны в видеκ11ξ1κ 21ξ2=LLκ r1ξrκ12κ 22Lκr2L κ1,n −r ξ r +1L κ 2, n − r ξ r + 2L LLL κ r ,n −r ξ n(6.7.3)221Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийξ1κ11ξ2κ 21LLξrκ= r1илиξ r +11ξ r +20LLξn03°. Полагаяκ12κ 22Lκr201L0L κ1,n −rL κ 2, n − rµ1L LL κ r ,n − r µ 2.LL0µ n−rL0L LL1µ1 = 1 , µ 2 = µ 3 = ... = µ n −r = 0 , получим решение{ξ11 , ξ12 , ... , ξ1r , 1, 0, ... , 0} .Аналогично при µ1 = 0 , µ 2 = 1, µ 3 = ... = µ n −r = 0 найдемрешение {ξ1 , ξ 2 , ... , ξ r , 0 , 1, ... , 0} . И, продолжая этот процесс, получим на последнем шаге при222µ1 = µ 2 = µ 3 = ...

= µ n −r −1 = 0, µ n− r = 1решение{ξ1n −r , ξ 2n − r , ... , ξ rn −r , 0, 0, ... , 1} .Полученные решения будем называть нормальными фундаментальными решениями.4°. Покажем теперь, что построенные n − r частных решенийоднородной системы уравнений (6.6.1) являются линейно независимыми. Действительно, записав эти решения как строки,получим матрицу видаξ11ξ12...ξ1n −rξ12ξ 22...ξ n2 −r... ξ1r...

ξ r2... ...... ξ rn −r10...001...0............00....1(6.7.4)222Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗаметим, что ее ранг, с одной стороны, не меньше, чемn − r , поскольку содержит ненулевой минор этого порядка, но, с другой стороны, не больше, чем число строк в этойматрице, равное n − r , и потому ранг в точности равенn − r, что доказывает линейную независимость построенных частных решений.Теорема доказана.Определение6.7.1.Фундаментальной системой решений для системылинейных уравнений (6.6.1) называется совокупностьлюбыхn − rg Aчастных, линейно независимыхрешений однородной системы (6.6.1), гденеизвестных в системе (6.6.1), аn – числоA – ее основнаяматрица. Матрица (6.7.4) называется фундаментальной.Теорема6.7.2.Каждое частное решение однородной системы (6.6.1)может быть представлено в виде линейной комбинации частных решений, образующих нормальную фундаментальную систему решений.Доказательство.{ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n } однородной системы(6.6.1).

Рассмотрим матрицу размера ( n − r + 1) × nПусть дано решениеξ1ξ11ξ12...ξ1n− rξ2ξ12ξ 22...ξ n2 −r... ξ r... ξ1r... ξ r2... ...... ξ rn −rξ r +110...0ξ r +201...0... ξ n... 0... 0 , (6.7.5)... ...... 1223Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийранг которой, с одной стороны, очевидно, не меньше, чемn − r . С другой стороны, первые r столбцов этой матрицыявляются линейными комбинациями (заданными соотношениями (6.7.3)) последних n − r столбцов.

Действительно, этисоотношения, связывающие значения свободных и основныхпеременных, одни и те же для всех строк матрицы (6.7.5), и потому в этой матрице каждый из первых r столбцов есть линейная комбинация последних n − r . Значит, ранг матрицы непревосходит n − r , и, следовательно, равен в точности n − r .Наконец, по теореме 6.5.1 − о базисном миноре, который располагается в последних r строках, первая строка матрицы(6.7.5) должна быть некоторой линейной комбинацией остальных, и, следовательно, общее решение однородной системы(6.6.1) может быть записано в видеξ1ξ2...ξrξ r +1ξ r +2...ξnгде= λ1ξ11ξ 12ξ1n − rξ12...ξ1r10...0ξ 22...ξ 2r01...0ξ n2 − r...ξ nr − r ,00...1+ λ2+ ... + λ n − rλ i ∀i = [1, n − r ] – произвольные константы.Теорема доказана.Следствие6.7.1.Общее решение неоднородной системы (6.6.1) можетбыть дано формулой224Аналитическая геометрия и линейная алгебраξ1ξ 11ξ 12ξ2...ξξξr= λ1ξ r +1ξ r +2...ξn12...ξ 1r10+ λ2...ξ r201ξ 1n − rξ 10n−r2ξ 02...ξ22...+ ...

+ λ n − rξ rn − r00+ξ 0rξ 0r +1ξ 0r + 2............001ξ 0n,ξ10ξ 02...0где ξ rξ 0r +1ξ 0r + 2...ξ 0nявляется некоторым частным решением неоднородной системы (6.6.1), а числа λ i ∀i = [1, n − r ] –произвольные константы.Доказательство.Пустьx 0 – некоторое (найденное, например, подбором) ча-стное решение неоднородной системы (6.6.1), аx – ее про-извольное решение. Тогда по лемме 6.6.3 произвольное решение однородной системы (6.6.1)yпредставимо в видеy = x − x 0 . Откуда получаем x = y + x 0 .Следствие доказано.225Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийИз теорем 6.7.1 и 6.7.2 непосредственно вытекаетСледствие6.7.2.Для того чтобы однородная система (6.6.1) с n < mимела ненулевое решение, необходимо и достаточно,чтобы ранг ее основной матрицы удовлетворял условиюrg A < n .В случае, когда основная матрица однородной системы (6.6.1) квадратная, условие существованиянетривиального решения равносильно равенствуdet A = 0 .Иное полезное для приложений условие совместности системылинейных уравнений даетТеорема6.7.3(Фредгольма).Для того чтобы система (6.6.1) была совместной,необходимо и достаточно, чтобы каждое решениеy = η1η2...

η mTсопряженнойсистемы α 11η1 + α 21η 2 + ... + α m1η m = 0, α η + α η + ... + α η = 0, 12 122 2m2 m............................................... α 1n η1 + α 2 n η 2 + ... + α mn η m = 0A(или в матричном видеmлетворяло условию∑β ηi =1ном видеbTiiTy = o ) удов-= 0 (или в матрич-y = 0 ).Доказательство необходимости.Пусть система уравнений (6.6.1) совместна, то есть для каждого ее решенияx справедливо равенство b = Ax .226Аналитическая геометрия и линейная алгебраНайдемTATbTbпроизведениеyвпредположении,чтоy = o . Имеемy = ( A x )T y = xTATy = xTo = 0.Доказательство достаточности.ПустьbTуравненийy = 0 для любого решения системы линейныхATнейных уравненийy = o .

Характеристики

Список файлов книги