Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Согласно следствию 5.1.1, эта матрица также ортогональная и для нее справедли-Sво равенство→гональна в→−1= ST, и пусть матрица оператора{e1 , e2 }, то есть для нее Qˆ−1e= QTe.Q$ орто-185Г л а в а 5 . Преобразования плоскости→Q$ , согласно теореме 5.3.3, будет иметь видоператораQˆQˆe′−1e′−1= S−1e′QˆeS . Найдем в новом базисе матрицу. Используя теоремы 5.1.1 и 5.1.2, а также ортогональ-S и Q$ e , получимность матрицQˆ→{e1′ , e2′ } , в котором матрица линейногоПерейдем к базису=( S= S−1=( STНо равенство−1QˆQˆQˆQˆ−1ee−1e′eS ) −1 = SS = STTe′Qˆe( S−1 −1)=T−1QˆTeS ) T = Qˆ e′ .означает, что матрица линейного→оператора−1TQˆ e ( S ) T =S )T = ( S= Q−1→Q̂ ортогональная и в базисе {e1′ , e2′ } .Теорема доказана.Теорема5.5.2.В ортонормированной системе координат ортогональное преобразование плоскости сохраняет:1) скалярное произведение векторов;2) длины векторов и расстояния между точками плоскости;3) углы между прямыми.Доказательство.1°.
Пусть дано ортогональное преобразование плоскостиматрицейQ̂Q̂ св ортонормированной системе координатe186Аналитическая геометрия и линейная алгебра→ →{O, e1 , e2 } . Тогда, как было показано в § 2.3, скалярное про→→a и b с координатными представлениями→η1и b =в ОНБ выражается в следуюη2eизведение векторов→=aeξ1ξ2щем виде:→ →( a , b ) = ξ1η1 + ξ 2 η 2 = ξ1→η1= aη2ξ2T→b .ee→Тогда для скалярного произведения образов векторовпринимая во внимание ортогональность матрицы→a и b,Q̂ e , полу-чаем→→ T→→(Qˆ a , Qˆ b ) = Qˆ a=Qˆ bee→= ( Qˆe→ T= aa ) T QˆQˆ→ Te→ T= aeT−1Qˆe→e→=be→ T→E=be= abe→→QˆeQˆ=bee= a→ee→ →→ →= ( a , b ).be→ →→eˆ a , Qˆ b ) = ( a , b ) ∀ a , b и означает, что приРавенство (Qортогональном преобразовании плоскости скалярное преобразование сохраняется в любом ортонормированном базисе.187Г л а в а 5 . Преобразования плоскости2°.
Из сохранения при ортогональном преобразовании скалярногопроизведения для любой пары векторов следует сохранениедлин векторов, поскольку→→→→ →→Qˆ a = (Qˆ a , Qˆ a ) = ( a , a ) = a→∀a.3°. Тогда в силу 2° при ортогональном преобразовании равныетреугольники переходят в равные, и величины углов междувекторами на плоскости будут сохраняться.Теорема доказана.Используя свойства ортогональных преобразований, можно показать, что для аффинных преобразований справедлива следующая важная теорема.Теорема5.5.3.Каждое аффинное преобразование может быть представлено в виде произведения ортогонального преобразования и двух сжатий по взаимно ортогональнымнаправлениям.Доказательство.1°. В силу следствия 5.3.2, а также справедливости утвержденийзадачи 5.3.1 и примера 5.3.1 нам достаточно убедиться, чтоматрица каждого аффинного преобразования в любом орто→→нормированном базисе {e1 , e2 } может быть представлена ввиде произведения ортогональной матрицы и диагональнойматрицы с положительными значениями диагональных элементов.2°.
По теореме 5.4.11 существует ортогональный (но, вообще го→воря, не нормированный) базис→{ε1 , ε 2 } , в который данное188Аналитическая геометрия и линейная алгебра переведет исходный ортонорми-аффинное преобразование→→{e1 , e2 } . При этом существуют положительные нормирующие множители κ1 и κ 2 , такие, чторованный базис→→→εεe1′ = 1 ; e2′ = 2 ;κ1κ2→→то есть→κ1 = ε1 ;→{e1′ , e′2 } – ортонормированный базис.3°. С другой стороны, линейное преобразование→→Q̂ , переводящее→{e1 , e2 } в ортонормированный ба-ортонормированный базисзис→κ2 = ε2 ,→{e1′ , e′2 } , очевидно, ортогональное и имеет в исходном баQ̂ e .
Тогда будут справедливызисе ортогональную матрицусоотношения→κ= 10ε1→ε2→e1′0κ2→e′2→→e1′;= Qˆ→e2′→e1T;→ee2→ε1= Aˆ→ε2Tee1→,e2из которых следует равенство(AˆTe−κ100κ2→QˆTe)→e1o .= →oe2→Тогда в силу линейной независимости базисных векторов→→{e1 , e2 } мы имеемAˆTe=κ100κ2QˆTили послеeтранспонирования обеих частей этого равенства189Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиAˆ = Qˆeκ10e0.κ2Таким образом, аффинное преобразование представимо в виде произведения ортогонального преобразования и оператора"сжатия к осям" (см.
пример 5.3.1).Теорема доказана.§ 5.6. Понятие группыОпределение5.6.1.Множество G называется группой по отношению кзаданной операции, если любым двум его элементамx и y поставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый произведением и обозначаемый xy , и если выполняются следующие условия:1)x ( yz ) = ( xy ) z ;2)существует элемент3)для каждогокой, что∀x∈Ge , такой, чтоxe = ex = x ;x существует элемент x −1 , таx −1 x = e .Если, кроме того, xy = yxмутативной, или абелевой.Пример5.6.1.∀x, y ∈ G , то группа называется ком-К группам относятся, например:1) множество вещественных чисел относительно операции сложения образует группу, гдеe – число 0 ;190Аналитическая геометрия и линейная алгебра2)множество положительных вещественныхчисел относительно операции умножения,где e – число 1;3)множество поворотов плоскости вокругфиксированной точки относительно операции композиции;множество аффинных преобразований плоскости относительно операции композиции.4)Г л а в а 6 .
Системы линейных уравнений191Глава 6СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ§ 6.1. ОпределителиРассмотрим множество, состоящее из натуральных чисел1, 2, 3, ... , n . Будем обозначать перестановки этих чисел (то естьпоследовательную их запись в некотором порядке без повторений) как{k1 , k 2 , k 3 ,..., k n } . Напомним, что полное число таких различныхперестановок равно n! .Определение6.1.1.Будем говорить, что числа k i и k j образуют в перестановке беспорядок (нарушение порядка, или инверсию), если при i < j имеет место k i > k j .Полное число беспорядков в перестановке {k1 , k 2 , k 3 ,..., k n }будем обозначать Б( k1 , k 2 ,..., k n ) . Например, Б(3, 1, 4, 2) = 3 .Пусть дана квадратная матрицаα11α 21A = α 31...α n1α12α 22α 32...α n2α 13α 23α 33...α n3...............α1nα 2nα 3n = α ij ; i, j = [1, n]....α nn192Аналитическая геометрия и линейная алгебраОпределение6.1.2.Детерминантом (или определителем) квадратнойAматрицыразмераn × n называется числоdet A , получаемое по формулеdet A =∑ (−1)Б ( k1 , k 2 , k 3 ,...,k n )α1k1 α 2 k 2 ...α nk n ,{ k1 , k 2 , k3 ,...,k n }где {k1 , k 2 , k 3 ,..., k n } – всевозможные различныеперестановки, образованные из номеров столбцовматрицыA .Поскольку в данном определении указано, что сумма берется повсем возможным различным перестановкам, то число слагаемых равно n!.Из определения 6.1.2 также вытекает, что каждое слагаемое содержит в качестве сомножителя по одному элементу матрицы из каждого столбца и каждой строки.Задача6.1.1.Проверить совпадение определения 6.1.2 и определениядетерминантов матриц второго и третьего порядков1.1.9 и 1.1.10.§ 6.2.
Свойства определителейПри транспонировании матрицы ее определительТеорема6.2.1.не меняется.Доказательство.Общий вид слагаемого в формуле определителя транспонированной матрицы( −1)B = ATимеет видБ( m1 , m2 ,...,mn )β1m β 2 m ...β nm ,12n193Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийно, учитывая, чтоdet ATβ k mk = α mk k , получим=∑ (−1)Б ( m1 , m2 ,...,mn ){ m1 , m2 ,...,mn }α m11α m2 2 ...α mn n .Упорядочим сомножители каждого слагаемого по номерамстрок,тоестьприведемихквиду(−1) Б( m1 , m2 ,...,mn ) α1k1 α 2 k 2 ... α nk n , где 1, 2, 3, ...
, n – номерастрок, аk1 , k 2 , k 3 ,..., k n – номера соответствующих столбцов.Отметим, что для введенных обозначений имеет место очевидное равенство: k m = i ∀i и при выполненном измененииiпорядка сомножителей для каждого слагаемого в формуле определителя имеет место равенствоБ( m1 , m2 ,..., mn ) = Б(k1 , k 2 ,..., k n ) .mi и m j дают беспорядок, то естьДействительно, пустьmi > m j при i < j ,тогда дают беспорядок и числаk mi и k m j , поскольку∀i : k mi = i ,и, значит, будет справедливо неравенствоприk mi = i < j = k m jmi > m j .
Заметим, что верно и обратное утверждение.Окончательно получаемdet AT=∑ (−1)Б( k1 , k 2 ,...,k n )α1k1 α 2 k 2 ...α nk n = det A .{k1 , k 2 ,...,k n }Теорема доказана.Замечание6.2.1.Утверждение теоремы 6.2.1 допускает следующую наглядную интерпретацию.Выделим в матрицеA элементы, входящие в неко-торое слагаемое определения 6.1.2, и соединим их от-194Аналитическая геометрия и линейная алгебрарезками прямых, какпоказано на рис.6.2.1.Заметим, что параэлементов α iki иα jk j дает беспоря-α11α 21α 31Kα n1α12α 22α 32Kα n2α13α 23α 33Kα n3KKKKKα1nα 2nα 3nKα nnдок, если соединяющий их отрезок имеет “положительный”наклон, то есть праРис. 6.2.1вый конец отрезкарасположенвышелевого.Очевидно, что при транспонировании квадратной матрицы число отрезков с “положительным” наклоном неменяется, поэтому не меняется и знак каждого слагаемого в формуле 6.1.2, и, следовательно, значение определителя сохраняется.Следствие6.2.1.Всякое свойство определителя матрицы, сформулированное для ее столбцов, справедливо для ее строк,и наоборот.Теорема6.2.2.При перестановке двух столбцов матрицы знак ееопределителя меняется на противоположный.Доказательство.Рассмотрим вначале случай, когда переставляются соседниестолбцы.
Поскольку общий вид слагаемых в выражении дляопределителя дается формулой∑ (−1)Б( k1 , k 2 ,...,k n )α1k1 α 2 k 2 ...α nk n ,{ k1 , k 2 ,...,k n }то достаточно показать, что число беспорядков изменится приперестановке соседних столбцов на единицу.Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений195Рассмотрим перестановку чисел{k1 , k 2 , ... k i , k i +1 , k i + 2 ... , k n } .Если в ней поменять местами числа ki и ki+1, то число беспорядков, образуемых числами {k1 , k 2 ,...k i −1 , k i + 2 ,..., k n } , останется прежним, а за счет изменения порядка следования чиселki и ki +1 общее число беспорядков изменится на единицу.Это означает, что знак каждого слагаемого в формуле определителя изменится на противоположный и, следовательно, изменит знак и весь определитель.Наконец, если требуется поменять местами столбцы, междукоторыми находится l столбцов, то для этого потребуетсяl + l + 1 = 2l + 1 перестановок соседних столбцов, но по2 l +1= −1 , то знак определителя изменится наскольку ( −1)противоположный.Теорема доказана.Следствие6.2.2.Определитель матрицы, содержащей два одинаковых столбца, равен нулю.Доказательство.При перестановке одинаковых столбцов значение определителя, с одной стороны, не меняется, но, с другой стороны, этозначение должно изменить знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
