Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 20
Текст из файла (страница 20)
aa∆ n = det axaa ... ax ... a .... ... ... ... ...a a a ... xРешение.1°.Заметим, что сумма элементов каждого столбцаматрицы одинакова и равна x + a ( n − 1) . Поэтому, прибавив к первой строке сумму остальныхстрок и вынося общий множитель из первой строки,мы получим матрицу с тем же определителем (см.следствия 6.2.4 и 6.2.3):111...1axa... a∆ n = ( x + a (n − 1)) ⋅ det a a x ... a ....
... ... ... ...a2°.aa...xВычитая из каждой строки, начиная со второй, первую строку, умноженную на a , получим205Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений111...10x−a0...0x − a ...0∆ n = ( x + a (n − 1)) ⋅ det 00............000... x − a....Последовательно применив n − 1 раз следствие6.3.1 для разложения определителя по первомустолбцу, приходим к выражению3°.∆ n = ( x + a (n − 1))( x − a ) n −1 .§ 6.4.
Правило КрамераБудем рассматривать системувестными:n линейных уравнений с n неиз- α11ξ 1 + α12 ξ 2 + ... + α1n ξ n = β 1 ,α ξ + α ξ + ... + α ξ = β , 21 122 22n n2 ............................................... α n1 ξ 1 + α n 2 ξ 2 + ... + α nn ξ n = β nnв неразвернутом виде∑ α ji ξ i = β j ;(6.4.1)j = [1, n] или же в матрич-i =1Aной формекомпонентыx = b , где квадратная матрицаAимеетα ji , а столбцы x и b – соответственно ξ i и β j .Определение6.4.1.Упорядоченный набор чисел{ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ n } будемназывать решением системы линейных уравнений,если при подстановке этих чисел в каждое из уравнений системы мы получаем тождество.206Аналитическая геометрия и линейная алгебраИмеет местоТеорема6.4.1(правилоКрамера).Для того чтобы система линейных уравнений (6.4.1)имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы∆ = det A ≠ 0 , и в этом случае реше-ние данной системы будет иметь видξi =где∆i; i = 1,2,..., n ,∆∆ i – определитель матрицы, получаемой из мат-рицыA заменой ее i -го столбца на столбец своb :бодных членовα11α∆ i = det 21...α n1α12α 22...α n2...
β1... β 2... ...... β n... α1n... α 2 n.... ...... α nn↑i -й столбецДоказательство.1°. Получим вначале утверждение теоремы в предположении, чтоξ1ξ2система (6.4.1) имеет решение x =, то есть когда вы...ξnполняются равенстваn∑αi =1jiξ i = β j ; j = [1, n] .207Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийj = [1, n] обе части этихравенств на алгебраическое дополнение D jk и просуммировав результаты умножения по j , получимУмножив последовательно для всехnnnj =1i =1j =1∑ D jk (∑ α ji ξ i ) = ∑ β j D jk∀k = [1, n].Изменим порядок суммирования (то есть выполним перегруппировку слагаемых) в левой части этого равенства:nn∑ (∑ αi =1j =1njiD jk )ξ i = ∑ β j D jk .j =1Но выражение в круглых скобках равно∆⋅δ ik (по теореме6.3.2), поэтому, учитывая, чтоnnj =1i =1∑ β j D jk = ∆ k и ∆∑ δ ik ξ i = ξ k ∆ k ,получаемξ k ∆ = ∆ k , k = [1, n] . Или окончательноξk =∆k∀k = [1, n] .∆(6.4.2)Наконец, заметим, что из соотношенийξ k ∆ = ∆ k , k = [1, n]в предположении ∆ ≠ 0 следует, что решение, определяемоеформулами (6.4.2), существует и единственно.2°.
Докажем теперь, что в условиях теоремы набор чисел{ ξi =∆k, i = [1, n] }∆есть решение данной системы линейных уравнений. Убедимся в этом, подставив значения ξ i в левые части исходнойсистемы линейных уравнений (6.4.1):208Аналитическая геометрия и линейная алгебраn∑ α jii =1nn∆i 1 n1 n= ∑ α ji (∑ β k Dki ) = ∑ β k (∑ α ji Dki ) =∆ ∆ i =1∆ k =1k =1i =1n1= ∑ β k δ kj ∆ = β j , j = [1, n].∆ k =1Для получения последнего равенства мы снова изменили порядок суммирования и воспользовались теоремой 6.3.2.Теорема доказана.§ 6.5.
Ранг матрицыРассмотрим матрицуA размера m × n . Пусть1 ≤ k ≤ min{m, n} .A k фиксированных столбцов и строк, на пересечениикоторых стоит матрица минора порядка k .Пусть при данном k все миноры k -го порядка равны нулю, тогдабудут равны нулю и все миноры порядка выше, чем k , посколькукаждый минор ( k + 1) -го порядка представим в виде линейной комбинации миноров порядка k (cм. следствие 6.3.1).Выберем вОпределение6.5.1.Наивысший из порядков, отличных от нуля миноровматрицызначаетсяA , называется рангом матрицы и обоrg A .Определение6.5.2.Любой ненулевой минор матрицы, порядок которогоравен ее рангу, называется базисным минором.Определение6.5.3.Столбцы (строки) матрицы, входящие в матрицу базисного минора, называются базисными.209Г л а в а 6 .
Системы линейных уравненийДалее рассмотримn m -компонентных столбцов видаα11α12α1nαααa1 = 21 ; a2 = 22 ; ... ; an = 2 n.........α m1α m2α mnβ10β20и столбцы b =; o =.......βm0Поскольку для столбцов (как частного случая матриц) определеныоперации сравнения, сложения и умножения на число, то будем говорить, что столбецa1 , a 2 , ... , a nbесть линейная комбинация столбцов, если существуют числаλ 1, λ 2 , ... , λ n ,nb = ∑ λ i ai .такие, чтоi =1Теорема6.5.1(о базисномминоре).Всякий столбец (строка) матрицы есть линейнаякомбинация базисных столбцов (строк) этой матрицы.Доказательство.1°.
Пусть ранг матрицы равен r . Без ограничения общностиможно считать, что матрица базисного минора расположенав левом верхнем углу матрицыA .Окаймим матрицу базисного минора фрагментами i -йстроки и j -го столбца и рассмотрим определитель построенной матрицы.210Аналитическая геометрия и линейная алгебраα11...∆ = detα r1α i1... α1r... ...... α rr... α irα1 j...,α rjα ijкоторый равен нулю как минор порядка r + 1 в матрицеранга r.2°. Разложив определитель∆ по последней строке, получимα i1 D1 + α i 2 D2 + ... + α ir Dr + α ij M = 0 ,где M ≠ 0 – базисный минор, а D1 ,..., Dr – некоторыеалгебраические дополнения, не зависящие от i . Следовательно, α ij = λ 1α i1 + λ 2 α i 2 + ...
+ λ r α ir , гдеλs = −Ds, s = [1, r ] и ∀i .MТеорема доказана.Определение6.5.4.Столбцыn∑λi =1Лемма6.5.1.будем называть ли-iai = o ,n( ∑ λ i > 0 ).i =1Для того чтобы столбцы (строки) матрицы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы один изних был линейной комбинацией остальных.Доказательство.Лемма6.5.2.a1 , a 2 ,..., a nнейно зависимыми, если существуют не равные нулюодновременно числа λ1 , λ 2 ,..., λ n , такие, чтоСовпадает с доказательством леммы 1.4.1.Если среди столбцов матрицы есть линейно зависимоеподмножество, то множество всех столбцов этой матрицы также линейно зависимое.211Г л а в а 6 .
Системы линейных уравненийДоказательство.Допустим, что линейно зависимыми являются первые k столбцов, то есть для них существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому столбцу:α11α12α1k0ααα 2k0λ1 21 + λ 2 22 + ... + λ k=.............α m1α m2α mk0Тогда очевидно, что нетривиальная линейная комбинация всехстолбцов этой матрицы видаα11λ1α1kα 1, k +1α 1nα 2, k +1α 21α 2kα+ ... + λ k+0+ ...
+ 0 2 n............α m,k +1α m1α mkα mnбудет также равна нулевому столбцу.Лемма доказана.Теорема6.5.2.Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его столбцы (строки) были линейно зависимыми.Доказательство необходимости.Пусть определитель равен нулю, тогда ранг его матрицыменьше n . По теореме о базисном миноре всякий столбец естьлинейная комбинация базисных столбцов и тогда по лемме6.5.2 столбцы матрицы линейно зависимы..212Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство достаточности.Пусть столбцы матрицы линейно зависимы. По лемме 6.5.1один из столбцов есть линейная комбинация остальных.n −1Пусть этот столбец последний, то естьa n = ∑ λ i ai .
Умi =1ножим последовательно (для iчисло= 1, 2, K , n − 1 ) i -й столбец наλ i и сложим все их. Вычитание этой суммы из столбцаan не изменит величины определителя, но поскольку приэтом мы получим нулевой столбец, то определитель равен нулю.Теорема доказана.Теорема6.5.3(о рангематрицы).Максимальное число линейно независимых столбцовматрицы равно максимальному числу линейно независимых строк и равно рангу этой матрицы.Доказательство.1°. Если ранг матрицы нулевой, то все ее элементы нулевые исреди них нет линейно независимых.Пусть ранг матрицы равен r > 0 .
Рассмотрим матрицу, составленную из r базисных столбцов матрицы. Она имеетненулевой минор r -го порядка и, следовательно, ее столбцы линейно независимы.2°.Выберем k > r столбцов матрицы и покажем, что этистолбцы линейно зависимы. Построим из выбранных столбцов матрицуA ∗ . Ее ранг R ≤ r , посколькуляется частью матрицыA .A∗яв-213Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийСледовательно, R ≤ r< k и в матрицеA∗есть, покрайней мере, один небазисный столбец, и тогда столбцыA линейно зависимы по лемме 6.5.2.матрицыТеорема доказана.§ 6.6. Системы m линейных уравненийс n неизвестнымиРассмотрим системувидаm линейных уравнений с n неизвестными α 11 ξ1 + α 12 ξ 2 +...
+ α 1n ξ n = β1 , α ξ + α ξ +...+ α ξ = β , 21 122 22n n2 .............................................. α m1 ξ1 + α m 2 ξ 2 +... +α mn ξ n = β m ,(6.6.1)которая в неразвернутой форме записывается какn∑αi =1jiξi = β j ,или же в матричной формемераAj = [1, m] ,x = b , где матрица A раз-m × n имеет компоненты α ji , а столбцы x и b соответ-ственно компонентыОпределение6.6.1.ξ i , i = [1, n] , и β j , j = [1, m] .Упорядоченный набор чисел{ξ10 , ξ 02 ,..., ξ 0n } будемназывать частным решением системы линейныхуравнений (6.6.1), если при подстановке этих чиселв систему мы получаем верные равенства.214Аналитическая геометрия и линейная алгебраЧастное решение системы линейных уравненийтакже может быть записано в виде столбцаξ10ξ 020x =.
Совокупность всех частных решений...ξ 0nсистемы линейных уравнений (6.6.1) назовем общимрешением системы (6.6.1).Определение6.6.2.Если система (6.6.1) имеет хотя бы одно частноерешение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной системой уравнений.Определение6.6.3.α 11α 21Матрица A =...α m1α12α 22...α m2... α1n... α 2 nназывается... ......
α mnосновной матрицей системы (6.6.1), а матрицаα11αA b = 21...α m1α12α 22...α m2... α1n... α 2 n... ...... α mnβ1β2Kβm– расширенной матрицей этой системы.Определение6.6.4.Система (6.6.1) называется однородной, еслиβ j = 0 ∀j = [1, m] ,в противном случае – неоднородной системой уравнений.215Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийДля того чтобы система (6.6.1) была совместна,Теорема6.6.1необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной(Кронекера– матрицы был равен рангу расширенной.Капелли).Доказательство необходимости.Пусть существует решение системы (6.6.1){ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n } ,тогда эту систему можно представить в виде следующего равенства:ξ1 a1 + ξ 2 a 2 + ... + ξ n a n = b ,гдеa i = α 1iTα 2iL α mi , i = [1, n] .Поскольку в этом случае столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов, образующих основную матрицу, то число линейно независимых столбцов основной и расширенной матриц будет одинаковым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
