Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

5.4.1) точекM i , i = 1, 2, 3 соответственноРис. 5.4.1с координатамиxix2 − x1. И пусть дано, что=λ иx3 − x 2yiy 2 − y1= λ , где λ ≠ −1 , нужно показать, чтоy3 − y 2175Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиx 2∗ − x1∗y 2∗ − y1∗=λи= λ.y3∗ − y 2∗x3∗ − x 2∗Если аффинное преобразование задано в виде x ∗ = α11 x + α12 y + β1 , ∗ y = α 21 x + α 22 y + β 2 ,тоx 2∗ − x1∗ α11 ( x 2 − x1 ) + α12 ( y 2 − y1 )==x3∗ − x 2∗ α11 ( x3 − x 2 ) + α12 ( y 3 − y 2 )=α11λ ( x3 − x 2 ) + α 12 λ ( y3 − y 2 )= λ.α11 ( x3 − x 2 ) + α 12 ( y3 − y 2 )y 2∗ − y1∗Аналогично показывается, что ∗= λ.y 3 − y 2∗Заметим, что из полученных соотношений следует равенство отношения длин образов и отношения длин прообразов отрезков, лежащих наодной прямой.

Проверим справедливость этих утверждений для случаяортонормированной системы координат:→M 1∗ M 2∗→∗3M M==∗2( x 2∗ − x1∗ ) 2 + ( y 2∗ − y1∗ ) 2( x 3∗ − x 2∗ ) 2 + ( y 3∗ − y 2∗ ) 2λ ( x 3∗ − x 2∗ ) 2 + ( y 3∗ − y 2∗ ) 2( x 3∗ − x 2∗ ) 2 + ( y 3∗ − y 2∗ ) 2= λ ==λ ( x3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2( x3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2→( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )2=2( x3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2Теорема доказана.=M 1M 2→M 2M 3.=176Аналитическая геометрия и линейная алгебраОтметим также, что из теоремы 5.4.6 непосредственно вытекает,что при аффинном преобразовании отрезок прямой переходит в отрезок.Теорема5.4.7.При аффинном преобразовании отношение длин образов двух отрезков, лежащих на параллельных прямых,равно отношению длин их прообразов.Доказательство.→M 1M 2Пусть дано, что→= λ . Проведем прямую M 3 M 3′ ,M 3M 4параллельную M 4 M 2 .

Поскольку при аффинном преобразовании образы параллельных прямых параллельны, то в силутеоремы 5.4.6M 4 M 2 M 3′ M 3 и M ∗4 M ∗2 M ′3 ∗ M 3∗ – паралле-лограммы (рис. 5.4.2). Следовательно,→∗M 2 M 4∗=→∗M 3 M 3′ ∗Рис. 5.4.2.177Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиНаконец, по теореме 5.4.7 получаем→→M 1∗ M 2∗→∗3M MM 1∗ M 2∗=∗4→∗3M′ M=∗2→→M 1M 2M 1M 2→M 3′ M 2=→= λ .M 3M 4Теорема доказана.При аффинном преобразовании всякая декартова система координат переходит в декартову систему координат, причем координаты образа каждой точки плоскости в новой системе координат будут совпадать скоординатами прообраза в исходной.Теорема5.4.8.Доказательство.Рис.

5.4.3Пусть исходная система координат образована базисом→→{g1 , g 2 } и началом координат O . Согласно теореме 5.4.3 приаффинном преобразовании базис переходит в базис. Дополняяпреобразованный базис образом начала координатO ∗ , мы по→лучаем преобразованную систему координат→{O ∗ , g1∗ , g 2∗ } .178Аналитическая геометрия и линейная алгебраПусть в исходной системе координаты точки-прообраза Mсуть x и y , а в преобразованной системе координаты точки∗∗∗образа M суть x и y (рис.

5.4.3), тогда в силу теоремы5.4.6 будут справедливы соотношения→→x =OM 1→O ∗ M 1∗=g1g→→y =OM 2→= x∗ ;→∗1O ∗ M 2∗=g2= y∗ .→∗2gПосле естественного обобщения на случай координат различных знаков получаем доказываемое свойство.Теорема доказана.Для выяснения геометрического смысла числовых характеристикматрицы аффинного преобразования переформулируем определение1.8.3 ориентации пары неколлинеарных векторов на плоскости, используя операцию векторного произведения.→Определение5.4.2.Пусть n есть некоторый нормальный вектор плоскости P , направленный в сторону наблюдателя.

Тогда→→пару неколлинеарных векторов a и b назовем правоориентированной, если существует λ > 0 (и соответственно левоориентированной, если существует→ →→λ < 0 ) такое, что [ a , b ] = λ n .179Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиТогда будет справедлива∗1°°.Теорема5.4.9.При аффинном преобразовании величины S –площади образа параллелограмма и S – площади прообраза параллелограмма связаны соотношениемS ∗ = det2°°.α11α12α 21α 22⋅S .При аффинном преобразовании ориентацияобразов пары неколлинеарных векторов совпадает с ориентацией прообразов, еслиdetα11α 21α12>0,α 22и меняется на противоположную, еслиdetα 11α 21α12< 0.α 22Доказательство.При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм. Рассмотрим некоторый базис, образованный векто→рами→g1 и g 2 , образы которых при аффинном преобразовании есть соответственно→→→→→→→→g 1∗ = Aˆ g 1 = α11 g 1 + α 21 g 2 и g 2∗ = Aˆ g 2 = α12 g1 + α 22 g 2 ,α11 , α12 , α 21 и α 22$ , то естьявляются элементами матрицы линейного оператора Aгде, согласно следствию 5.3.2, коэффициентыAˆg=α 11α 21α12.α 22180Аналитическая геометрия и линейная алгебраПо свойству векторного произведения (см.

§ 2.4) площадь па→→равна→S = [ g1 , g 2 ] , а площадь параллелограмма, построен-→→→→∗1∗→∗2S = [ g , g ] . Ноного на образах базисных векторов, –→→g1 и g2 ,раллелограмма, построенного на базисных векторах→→[ g1∗ , g 2∗ ] = [α11 g1 + α 21 g 2 , α12 g1 + α 22 g 2 ] =→→= (α11α 22 − α12 α 21 )[ g1 , g 2 ] = det AˆS ∗ = det Aˆпоэтомуgdet A$det A$парыg>0g<0.иg→S , а (согласно определению 5.4.2)→ориентация→[ g1 , g 2 ] ,векторовменяется→{g1 , g2 } не меняется принапротивоположнуюприНаконец, отметим, что полученные соотношения будут выполнены для любого базиса, а значит, и для любого параллелограмма.Теорема доказана.Теорема5.4.10.Для любой линии второго порядка, указанной в формулировке теоремы 4.4.1:-при аффинном преобразовании ее тип не можетизмениться;-найдется аффинное преобразование, переводящее ее в любую другую линию второго порядка этого же типа.Г л а в а 5 . Преобразования плоскости181Доказательство.Рассмотрим первое утверждение теоремы.1°.

В силу теорем 5.4.6 и 5.4.8 параллелограмм вместе со своейвнутренней частью переходит в параллелограмм, и, значит,ограниченная линия перейдет в ограниченную. Отсюда следует, что эллипсы и точки могут переходить только в эллипсы иточки. С другой стороны, точка не может переходить в эллипси наоборот, поскольку это противоречит свойству взаимнойоднозначности аффинного преобразования.2°. Среди линий второго порядка только гиперболы и параллельные прямые имеют несвязанные ветви, то есть существуетпрямая, не пересекающая линию второго порядка, такая, чтоветви этой линии расположены по разные стороны от прямой.Сохранение данного свойства при аффинном преобразованииочевидно. Параллельные же прямые не могут перейти в ветвигиперболы в силу теоремы 5.4.5.3°.

Среди непрямых линий второго порядка только парабола является неограниченной связной кривой. Следовательно, приаффинном преобразовании парабола может перейти только впараболу.4°. Если линия второго порядка есть точка, прямая или же парапараллельных или пересекающихся прямых, то из утверждения теорем 5.4.4 и 5.4.5 вытекает, что их тип не может измениться.Рассмотрим второе утверждение теоремы.Из теорем 4.4.1 и 5.4.1 следует, что для каждой линии второгопорядка может быть построено аффинное преобразование,приводящее уравнение линии к одному из следующих девятивидов:x ′ 2 + y ′ 2 = ±1 ; x ′ 2 − y ′ 2 = 1;x ′ 2 ± y ′ 2 = 0 ; y ′ 2 ± 1 = 0 ; y ′ 2 − 2 x ′ = 0 ; y ′ 2 = 0.(5.4.1)182Аналитическая геометрия и линейная алгебраНо поскольку уравнения любой пары линий, принадлежащихк одному и тому же типу, приводятся двумя различными аффинными преобразованиями к одному и тому же виду из списка (5.4.1), то в силу взаимной однозначности аффинногопреобразования и очевидной аффинности произведения аффинных преобразований следует справедливость второго утверждения теоремы.Теорема доказана.Замечание:Теорема5.4.11.изменение при аффинном преобразовании типа линиивторого порядка оказывается также невозможным и дляслучая "пустых множеств".

Справедливость этого утверждения будет показана в § 9.4 (теорема 9.4.1).Для всякого аффинного преобразования существуетпара взаимно ортогональных направлений, которыепереводятся данным аффинным преобразованием вовзаимно ортогональные.Доказательство.Рассмотрим ортонормированную систему координат. Пусть параисходных взаимно ортогональных направлений задается в ней→ненулевыми вектораминиями→=pe→p и q с координатными представлеξη→и=qeη.−ξПотребуем, чтобы их образы (ненулевые в силу аффинности)→∗=peα11α 21α12 ξα ξ + α12 η= 11,α 22 ηα 21ξ + α 22 η183Г л а в а 5 . Преобразования плоскости→∗=qeα11α 21α12 ηα η − α12 ξ= 11α 22 − ξα 21η − α 22 ξбыли также взаимно ортогональны.→Условие ортогональности векторов→p ∗ и q ∗ в базисе→ →{e1 , e2 } имеет вид(α11ξ + α12 η)(α11η − α12 ξ) ++ (α 21ξ + α 22 η)(α 21η − α 22 ξ) = 0или22− (α11α12 + α 21α 22 )ξ 2 + (α11− α12+ α 221 − α 222 )ξη ++ (α11α12 + α 21α 22 )η 2 = 0,а после переобозначения коэффициентов− Uξ 2 + 2Vξη + Uη 2 = 0 .Рассмотрим следующие случаи:1) Если U = V = 0 , то любая пара взаимно ортогональныхвекторов данным преобразованием переводится во взаимно ортогональную пару векторов.2) Если U = 0 и V ≠ 0 , товекторов базисная.3) Наконец, если→ξ η = 0 , то есть искомая параU ≠ 0 , то отношение координат векторов→p и q находится из квадратного уравненияξ2V ξ( η) 2 − U ( η ) − 1 = 0 , имеющего действительныерешениявом U.Теорема доказана.ξVV2=±( η )1,2 U U 2 + 1 при любом ненуле-184Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 5.5.

Ортогональные преобразования плоскостиОпределение5.5.1.Ортогональным преобразованием плоскости P называетсялинейныйвидаβx+ 1 , матрица которогоβ2y*x= Qˆy*Q$операторeQˆe=ω11ω 21ω12ω 22ортогональная в любой ортонормированной системекоординат.Заметим, что ортогональное преобразование является частнымслучаем аффинного преобразования, поскольку в силу теоремы 5.1.3det Q$имеет место либоe= 1 , либо det Q$e= −1 . Помимо при-веденных в § 5.4 аффинных свойств, ортогональные преобразованияобладают своими специфическими особенностями. Рассмотрим основные из них.Признак того, что некоторый линейный оператор является ортогональным, может быть сформулирован какТеорема5.5.1.Линейный оператор на плоскости является ортогональным, если его матрица ортогональная хотя бы водной ортонормированной системе координат.Доказательство.Пусть на плоскости P имеются два ортонормированных базиса→→→→{e1 , e2 } и {e1′ , e2′ } с матрицей перехода S .

Характеристики

Список файлов книги