Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поэтому данный определитель может равняться только нулю.Следствие доказано.Теорема6.2.3(линейноесвойствоопределителя).Если k -й столбец матрицы задан в виде линейнойкомбинации некоторых "новых" столбцов, то ееопределитель представим в виде той же линейнойкомбинации определителей матриц, k -ми столбцами которых являются соответствующие "новые" столбцы из исходной линейной комбинации.196Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство.Пусть в матрицеAk -й столбец состоит из элементовαα ik = λβ ik + µ γ ik , где i = 1, 2, K , n .
Тогда справедливы равенства(−1) Б ( k1 ,k 2 ,...,k n ) α1k1 α 2 k 2 ...α ik ...α nk n == (−1) Б( k1 , k 2 ,...,k n ) α 1k1 α 2 k 2 ...(λβ ik + µ γ ik )...α nk n == (−1) Б( k1 , k 2 ,...,k n ) α 1k1 α 2 k 2 ...λβ ik ...α nk n ++ (−1) Б ( k1 ,k 2 ,...,k n ) α1k1 α 2 k 2 ...µ γ ik ...α nk n .n! слагаемых в формуле длясодержит точно по одному элементу из k -го столб-А поскольку каждое изdet Aца, тоαdet Aстолбцы матрицэлементовα= λ ⋅det AAβиAβγ+ µ⋅det Aγ, гдеk − ыeсоответственно состоят изβ ik и γ ik , i = 1, 2, K , n .Теорема доказана.Следствие6.2.3.При вычислении определителя из столбца матрицыможно выносить общий множитель.Следствие6.2.4.Если к некоторому столбцу матрицы прибавитьлинейную комбинацию остальных ее столбцов, тоопределитель не изменится.Доказательство.Действительно, определитель, получившийся в результате данной операции с матрицей, можно (по теореме 6.2.3) представить в виде линейной комбинации исходного определителя илинейной комбинации определителей матриц, имеющих одинаковые столбцы.
Последние равны нулю по следствию 6.2.2.Следствие доказано.197Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийОпределитель произведения матриц размераравен произведению их определителей, то естьТеорема6.2.4.n×ndet ( A B ) = det A ⋅ det B .Доказательство.1°. ОбозначимCC = AB . Пусть матрицыимеют соответственно элементыA ,Bиα ij , β kl и γ pq . Тогдаnпо определению 5.1.1γ pq = ∑ α pj β jq , и потомуj =1det C =α 11β11 + α 12 β 21 + ... + α 1n β n1= det... α 11β1n + ... + α 1n β nnα 21β11 + α 22 β 21 + ...
+ α 2 n β n1 ... α 21β1n + ... + α 2 n β nn..........α n1β11 + α n 2 β 21 + ... + α nn β n1 ... α n1β1n + ... + α nn β nnВведем в рассмотрение специальный тип перестановок натуральных чисел 1, 2, 3, ... , n , в которых допускаются повторения одинаковых чисел. Такие перестановки условимся обозначать как [i1 , i 2 , i3 ,..., i n ] .По линейному свойству определителя (теорема 6.2.3)det C===∑ββ i2 2 ... β in n deti1 1[ i1 ,i2 ,...,in ]∑βi1 1[ i1 ,i2 ,...,in ]α 1i1α1i2... α1inα 2i1α 2 i2... α 2in......α ni1α ni2β i2 2 ...
β in n det A∗[ i1 ,i2 ,...,in ]......... α nin.=198Аналитическая геометрия и линейная алгебраПоскольку перестановки[i1 , i 2 , i3 ,..., i n ] (в отличие от{i1 , i 2 ,..., i n } ) могут содержать одинаковые числа, то общееnчисло слагаемых в полученной сумме равно n , но ненулевых среди этих слагаемых в силу следствия 6.2.2 только n! .2°. Заметим, что поскольку матрицытех же столбцов, что иA∗{i1 ,i2 ,...,in }составлены изA , но записанных в разном поряд-ке, то их определители могут отличаться в силу теоремы 6.2.2только знаком.Перестроим каждую из матрицA∗{i1 ,i2 ,...,in }, переставив еестолбцыik ; kтак, чтобы каждый столбец с индексом= [1, n] был расположен слева от столбцов с большимииндексами.
В итоге этой операции столбцы будут полностьюупорядочены, для чего потребуется число перестановокстолбцов, равное числу беспорядков в перестановке{i1 , i2 ,..., in } , и, следовательно, для каждой матрицыA∗{i1 ,i2 ,...,in }будет справедливо соотношениеdet A∗{i1 ,i2 ,...,in }= ( −1) Б ( i1 ,i2 ,...,in ) det A3°. Подставляя это соотношение в выражение для.det C , полу-чаемdet C = det A∑ (−1)Б ( i1 ,i2 ,...,in ){i1 ,i2 ,...,in }= det A ⋅ det B ,Tβ i11β i2 2 ...β in n =199Г л а в а 6 .
Системы линейных уравненийчто в силу теоремы 6.2.1 означаетdet ( AB ) = det A ⋅ det B .Теорема доказана.§ 6.3. Разложение определителейn -го порядка A строки с нои столбцы с номерами j1 , j 2 ,..., j k , гдеВыберем в квадратной матрицеi1 , i 2 ,..., i k1≤ k ≤ n.мерамиОпределение6.3.1.Детерминант квадратной матрицы порядка k , образованной элементами, стоящими на пересечениистрок i1 , i 2 ,..., i k и столбцов j1 , j 2 ,..., j k , называетсяминоромk -го порядка и обозначаетсяj , j2 ,..., jkM i 1, i ,...,.ik1 2Определение6.3.2.Детерминант квадратной матрицы порядка n − k ,образованной элементами, остающимися после вычеркиваниястрокi1 , i 2 ,..., i k и столбцовj1 , j 2 ,..., j k , называется минором, дополнительнымкминору2 ,..., j kM i j1, i, j,...,, и обозначаетсяi1 2kj , j ,..., jM i 1,i 2,...,i k .1 2kВыберем в матрицеA i -ю строку и j -й столбец, на пересече-нии которых расположен элементα ij .
Удалим изстроку и столбец, рассмотрим квадратную матрицу(n − 1) × (n − 1) .A выбранныеA+размера200Аналитическая геометрия и линейная алгебраДетерминант матрицыОпределение6.3.3.тельным миноромA+называется дополни-jM i элемента α ij .Сгруппируем в определении 6.1.2 – детерминанта матрицывсеA –(n − 1)! слагаемых, содержащих элемент α ij , и вынесем его заскобки. Получим выражение видаdet A = α ij Dij + K .ЧислоОпределение6.3.4.Dij называется алгебраическим дополнениемэлементаα ij .Заметим, что по определению 6.1.2 имеют место равенстваnnj =1k =1det A = ∑ α ij Dij = ∑ α kj Dkj ∀j = [1, n] , ∀i = [1, n], (6.3.1)которые можно использовать для вычисления определителей квадратных матриц, находя значения алгебраических дополнений при помощи соотношений, которые устанавливаетТеоремаСправедливы равенства6.3.1.Доказательство.Dij = (−1) i + j M i .j1°.
По определению детерминанта 6.1.2det A = α11∑ (−1)Б (1, k 2 , k 3 ,...,k n )α 2 k 2 ...α nk n + K,{1, k 2 , k3 ,...,k n }то естьD11 =∑ (−1)Б ( k 2 ,...,k n )α 2 k 2 α 3k3 ...α nk n , поскольку{ k 2 ,...,k n }очевидно, чтоБ(1, k 2 , k 3 ,..., k n ) = Б(k 2 , k 3 ,..., k n ) ,201Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийно тогда выражение длятеля матрицы порядкаD11 совпадает с формулой определи-n − 1 , получаемой изA вычеркива-нием первого столбца и первой строки. Следовательно,1D11 = M 1 .A ′ , переместив элемент α ij мат-2°. Построим новую матрицуA в ее левый верхний угол, переставив i-ю строку напервое место, для чего потребуется i − 1 перестановок, и переставим на первое место j-й столбец, что потребует j − 1 перерицыстановок. Тогда определитель перестроенной матрицыA′равенdet A ′ = ( −1) i −1+ j −1 det A = ( −1) i + j det A .Согласно линейному свойству определителя (теорема 6.2.3)данное соотношение будет также выполняться и для каждого изего слагаемых, а значит, в силу формул (6.3.1) и для каждогоалгебраического дополнения Dij .
Поэтому справедливо равенство′ .Dij = (−1)i + j D113°. Наконец, очевидно, что значение дополнительного кнора не зависит от положенияjα ij в матрице A′ , и потому1M i = M ′1 .4°. Учитывая полученные соотношенияj1M i = M ′1 = D11′ = (−1) i + j Dij ,jприходим к равенствуТеорема доказана.α ij ми-Dij = (−1) i + j M i .202Аналитическая геометрия и линейная алгебраСледствие6.3.1.Разложение определителя по i -у столбцу имеет видndet A = ∑ (−1) k +i α ki M kik =1илиndet A = ∑ (−1) k +i M ki M k .ik =1Для практических приложений особо полезной являетсяТеорема6.3.2.Для любой квадратной матрицыA имеет месторавенствоn∑αi =1гдеijDis = δ js ⋅ ∆ ,1 , j = s,∆ = det A и δ js = – символ Кро0,j≠sнекера (см.
§ 2.2).Доказательство.По определению 6.3.4 алгебраического дополнения имеемdet A = α1 j D1 j + α 2 j D2 j + K + α nj Dnj , то есть утверждение теоремы для случая j = s справедливо.Пусть теперьj ≠ s . Тогда выражениеα1 j D1s + α 2 j D2 s + ... + α nj Dnsможно рассматривать как разложение по s-му столбцу определителя матрицы, у которой s-й столбец совпадает с j-м столбцом. Но такой определитель равен нулю по следствию 6.2.2.Теорема доказана.203Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийСледствие6.3.2.A невырожденна, тоЕсли квадратная матрицаэлементами ее обратной матрицыA−1являются(−1) i + j M j; i, j = [1, n] .∆iчислаβ ij =Доказательство.Найдем произведение матрицA и B , элементы которыхα i j и β i j ; i, j = [1, n] .
Пусть γ pq – элемент произведенияAиB , тогда, согласно определению 5.1.1 и теореме6.3.2,nγ pq = ∑ α pj β jqj =1=(−1) j + q M q 1 n=∑ α pj= ∑ α pj Dqj =∆∆ j =1j =1jn1⋅ ∆ ⋅ δ pq = δ pq ; i, j = [1, n] .∆Аналогичное соотношение получается и для произведенияBA и по определению 1.1.4AB = BA = E ,но тогда, согласно определению 5.1.2 и лемме 5.1.1,B = A−1.Следствие доказано.Проверьте самостоятельно справедливость формулы (5.1.1).ОбозначимI = i1 + i2 + ... + ik и J = j1 + j 2 + ...
+ j k , тогдаоказывается справедливой обобщающая следствие 6.3.1204Теорема6.3.3(Лапласа).Аналитическая геометрия и линейная алгебраj1 , j2 ,..., jkДля фиксированного набора столбцовимеет место равенствоdet A =∑ (−1)I +Jj1 , j2 ,..., jk2 ,..., j kM i1j1,i,2j,...,ik M i1 ,i2 ,...,ik .{i1 ,i2 ,...,ik }Отметим, что суммирование выполняется по всем возможным перестановкам номеров строк i1 , i 2 ,..., i k .Задача6.3.1.Найти определитель матрицы n-го порядка:xaa ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
