Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Пусть коордизадано преобразование этой плоскости M = Aнатные представления радиусов-векторов этих точек суть→=rMgxy→иx∗∗∗, тогда координаты x и y будут∗y=rM ∗g x ∗ = Fx ( x , y )некоторыми функциями от x и y  ∗, и потому равен y = Fy ( x , y )Fx ( x , y )x∗ство=можно рассматривать как представлениеFy ( x , y )y∗→оператора→→→rM ∗ = Aˆ rM в системе координат {O, g1 , g 2 } .Далее мы будем рассматривать частные, но важные для приложений виды функций Fx ( x , y ) и Fy ( x, y ) .→Определение5.3.1.Оператор→rM ∗ = A$ rM называется линейным опера-тором, если в каждой декартовой системе координат→→{O, g1 , g 2 } он задается формулами x ∗ = α11 x + α12 y + β1 , ∗ y = α 21 x + α 22 y + β 2 .При помощи операций с матрицами линейный оператор можетбыть записан в видеx∗= Aˆy∗Aˆgg=βx+ 1 , где матрицаβ2yα11α 21α 12α 22163Г л а в а 5 .

Преобразования плоскостиназывается матрицей линейного оператора→ставлениемA$ (координатным пред-→A$ ) в {O, g1 , g 2 } .→Определение5.3.2.Оператор→rM ∗ = A$ rM называется линейным одно-родным оператором, если он удовлетворяет определению 5.3.1 и, кроме того, β1 = β 2 = 0.Если жеβ1 + β 2 > 0 , то оператор Â называетсянеоднородным.Пример5.3.1.К линейным однородным операторам относятся:-$ , действие которого сводится коператор Aумножению координат радиуса-вектора прообраза на фиксированные положительныечисла, называемый “оператором сжатия косям”, или просто “сжатием к осям”, имеющий матрицуAˆg=κ100, где числаκ2κ1 и κ 2 – коэффициенты сжатия;--Теорема5.3.1.оператор ортогонального проектирования радиусов-векторов точек плоскости на некоторую заданную ось, проходящую через началокоординат;гомотетия с коэффициентом κ и с центромв начале координат.Для линейного однородного операторавы соотношения:A$ справедли-164Аналитическая геометрия и линейная алгебра→→→→→ →1°°.Aˆ (r1 + r2 ) = Aˆ r1 + Aˆ r2 ∀ r1 , r2 .2°°.Aˆ (λ r ) = λ Aˆ r ∀ r , λ .→→→Доказательство.В справедливости утверждения теоремы убедимся непосредственной проверкой, используя правила действия с матрицами.

Например, для 1º имеем→→αAˆ (r1 + r2 ) = 11α 21=α12x1(α 22+y1α11α12x1α 21α 22y1+x2)=y2α11α12x2α 21α 22y2→→= Aˆ r1 + Aˆ r2 .Теорема доказана.Теорема5.3.2.Если для некоторого оператораношения1°°.→→→A$ справедливы соот→→ →Aˆ (r1 + r2 ) = Aˆ r1 + Aˆ r2 ∀ r1 , r2 ,→→→$ ( λ r ) = λ A$ r ∀ r , λ ,2°°. Aто этот оператор линейный и однородный.Доказательство.→→→→∗→→∗$ r = x g + y g – соответстПусть r = x g1 + y g 2 и A12венно координатные разложения для прообраза и образа, тогда→→→→→→x ∗ g1 + y ∗ g 2 = A$ ( x g1 + y g 2 ) = x A$ g1 + y A$ g 2 .По теореме 1.5.1 существуют числа α 11 , α 12 , α 21 , α 22 такие,что→→→→→→Aˆ g1 = α11 g1 + α 21 g 2 и Aˆ g 2 = α12 g1 + α 22 g 2 .165Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиТогда получаем→→→→x ∗ g 1 + y ∗ g 2 = x Aˆ g 1 + y Aˆ g 2 =→→= (α11 x + α12 y ) g1 + (α 21 x + α 22 y ) g 2 .→А в силу линейной независимости векторовαx∗= 11∗α 21y x ∗ = α11 x + α12 y, или ∗ y = α 21 x + α 22 y→g1 и g 2α12α 22x.yТеорема доказана.→→Отметим также, что для вектора=a , имеющего ag→axв баay→→зисе {g1 , g 2 } , при любом линейном преобразовании образомявляется вектор с координатным представлением→=Aˆ aga x∗a∗y=α 11α 12axα 21α 22ay a.Из теорем 5.3.1 и 5.3.2 вытекают важные следствия.Следствие5.3.1.Столбцами матрицы линейного однородного опера→тора→A$ в базисе {g1 , g 2 } являются координатные→представления векторовСледствие5.3.2.→A$ g1 и A$ g 2 .Каждому линейному однородному оператору преобразования плоскости в конкретном базисе соответствует однозначно определяемая квадратная матрица второго порядка, а каждая квадратная матрица второго порядка задает в этом базисе некоторыйлинейный однородный оператор.166Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗадача5.3.1.Исходя из правил действия с матрицами, показать, чтодля линейных однородных операторов на плоскости справедливы утверждения:1°.

Матрица произведения линейных однородных операторов равна произведению матриц операторов-Aˆ Bˆсомножителей:g= AˆBˆgg.A$ −1 есть оператор, обратный линейному$ , тооднородному оператору A−1A$ −1 = A$ .2°. ЕслиggВыясним теперь, как изменится матрица линейного однородногооператора при замене базиса. Имеет место→Теорема5.3.3.→Пусть в системе координат {O, g1 , g 2 } некоторыйоднородный линейный оператор имеет матрицуA$→g→{O, g1′ , g 2′ } этот. Тогда в системе координатоператор будет иметь матрицуA$гдеg′= S−1A$S ,gS – матрица перехода.Доказательство.Пусть в исходной системе координат действие линейного опера→тораA$ задается формулой r ∗= Aˆgтеме координат –→∗= Aˆrg′→перехода от ДСК→→rg, а в новой сисg→g′r, и пустьS – матрицаg′→→{O, g1 , g 2 } к ДСК {O, g1′ , g 2′ } , такая, что167Г л а в а 5 .

Преобразования плоскости→→→= Srrиr∗= Sg′g→r∗.g′gПодставляя два последних соотношения в первое и принимая вовнимание утверждение теоремы 1.8.2 о невырожденности матрицы переходаS−1S(то есть существование матрицы), по-лучаем, что→r∗S→→= AˆSgg′rr∗ = Sилиg′−1Aˆg′→gSr.g′Наконец, вычитая последнее равенство почленно из равенства→r∗= Aˆg′→→g′r, в силу произвольностиr(согласноg′g′лемме 5.1.2) приходим к соотношениюAˆg′= S−1AˆS .gТеорема доказана.Следствие5.3.3.Величинаdet Aˆне зависит от выбора базиса.gДоказательство.Поскольку определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, то в силу теоремы 5.3.3 иS имеемневырожденности матрицы переходаdet Aˆ= det ( Sg′= det S=Следствие доказано.1det S−1−1AˆS )=gdet Aˆdet Aˆggdet S =det S = det Aˆg.168Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗадача5.3.2.В ортонормированной системе координат найти матрицу оператора, ортогонально проектирующего радиусы-векторы точек координатной плоскости на прямуюx + 3y − 2 = 0 .Решение.Пусть точка-прообразMимеетрадиус→векторr0 =x0y0, а∗точка M– образточки M – соответственно ее радиус→векторr0∗ =x0∗.y 0∗Рис.

5.3.1∗Из рис. 5.3.1 следует, что M есть точка пересеченияпрямой x + 3y − 2 = 0 и перпендикуляра к ней, проходящего черезM.Поскольку нормальный вектор прямой x + 3y − 2 = 0является направляющим вектором этого перпендикуляра,то уравнение последнего будет иметь видxx1= 0 +τ.y0y3Откуда следует, что координаты радиуса-вектора точкиM ∗ будут удовлетворять системе уравнений31 ∗ 9 x0∗ = x 0 + τ,x0 = x0 − y 0 + , ∗10105или  y 0 = y 0 + 3τ,313x∗ + 3 y∗ − 2 = 0 y 0∗ = − x0 + y 0 + .0 010105169Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиИспользуя правила операций с матрицами, получаемокончательно, что9x0∗= 10∗3y0−10−3101101x0+ 5 ,3y05то естьAˆe9= 103−10−310110.§ 5.4.

Аффинные преобразования и их свойстваЛинейные операторы, преобразующие плоскость саму в себя (то$ : P → P ) и имеющие обратныйесть линейные операторы вида Aоператор, играют важную с практической точки зрения роль и потому выделяются в специальный класс.Определение5.4.1.Линейный операторx∗= Aˆy∗gβx+ 1 , отоβ2yбражающий плоскость P саму на себя, с матрицейAˆdetg=α11α 21α11α 21α12, для которой в любом базисеα 22α12≠ 0 , называется аффинным преобα 22разованием плоскости.170Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема5.4.1(признакаффинности).Если для линейного преобразования плоскостиdet A$g≠ 0 в некоторой декартовой системекоординат, то это условие будет выполнено и влюбой другой декартовой системе координат.Доказательство.По следствию 5.3.3 определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, поэтому для аффинности линейного преобразования достаточно, чтобыdet A$g≠ 0 хо-тя бы в одном базисе.Теорема доказана.Теорема5.4.2.Каждое аффинное преобразование имеет единственноеобратное, которое также является аффинным.Доказательство.Посколькуdet Aˆg≠ 0 , то матрицаAˆ−1существует,gединственна и невырожденная (см.

§ 5.1), а в силу теоремы 1.1.2 система линейных уравненийAˆgβxx∗= ∗ − 1β2yyxвсегда имеет единственное решениеyдля любого вектораx∗. Но это означает, что между образами и прообразамиy∗171Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиаффинного преобразования существует взаимно однозначноесоответствие, то есть для Â существует единственное обратное аффинное преобразование, задаваемое формуламиx= Aˆy−1gβ ∗1β1∗x∗+ ∗ , где ∗ = − Aˆβ2β2y∗−1gβ1β2.Теорема доказана.Задача5.4.1.Определитель матрицы, полученной при решении задачи5.3.2, оказался равным нулю.

Сохранится ли верным эторавенство, если произвольным образом изменить коэффициенты уравнения прямой, на которую выполняетсяортогональное проектирование?Теорема5.4.3.При аффинном преобразовании всякий базис переходит в базис, а для любых двух базисов существуетединственное аффинное преобразование, переводящеепервый базис во второй.Доказательство.Пусть аффинное преобразование задано формулами x ∗ = α11 x + α12 y + β1 , ∗ y = α 21 x + α 22 y + β 2 ,тогда образами первой пары базисных векторов будут векторы→→→→→→g 1∗ = α 11 g 1 + α 21 g 2 ; g 2∗ = α12 g1 + α 22 g 2 . А посколькуdet Aˆ = detα11α 21α12≠ 0,α 22172Аналитическая геометрия и линейная алгебра→∗→∗то векторы g1 и g 2 линейно независимы (теорема 1.6.2) ииз них можно образовать базис.Сопоставляя определение 1.8.2 и следствие 5.3.1, замечаем, что→в том случае, когда базис→→{g1∗ , g 2∗ } является образом базиса→{g1 , g 2 } при аффинном преобразовании Â , матрица перехо→да от базиса→→→{g1 , g 2 } к базису {g1∗ , g 2∗ }S = Aˆ .gНо поскольку для любой пары базисов матрица перехода существует, единственна и невырождена, то и преобразование,переводящее первый базис во второй, существует, аффинное иединственное.Теорема доказана.Рассмотрим теперь вопрос о том, что происходит с различнымигеометрическими объектами на плоскости при ее аффинном преобразовании.Теорема5.4.4.При аффинном преобразовании образом прямой линии является прямая.Доказательство.Пусть даны прямая x = x0 + τ p, где p и q − не равные нулю y = y0 + τ qодновременно координаты направляющего вектора прямой, и аф-x∗= Aˆфинное преобразованиеy∗βx+ 1 .β2y173Г л а в а 5 .

Преобразования плоскостиТогда образом прямой будет множество точек плоскости с координатами x ∗ = (α11 x0 + α12 y 0 + β1 ) + (α11 p + α12 q)τ , ∗ y = (α 21 x0 + α 22 y 0 + β 2 ) + (α 21 p + α 22 q)τ .Заметим, что еслиα11 p + α 12 q + α 21 p + α 22 q > 0 , томы имеем прямую. Предположим противное, пусть α11 p + α12 q = 0, α 21 p + α 22 q = 0,тогда в силу аффинности преобразованияdetα11α 21α12≠0α 22и по теореме 1.1.2 (Крамера) p = q = 0 есть единственное решение этой системы уравнений, что противоречит условию.Теорема доказана.Теорема5.4.5.При аффинном преобразовании образом параллельных прямых являются параллельные прямые, общаяточка пересекающихся прямых-прообразов переходитв точку пересечения их образов.Доказательство.Предположим, что пара параллельных прямых переведена аффинным преобразованием в пересекающиеся или совпадающиепрямые.Рассмотрим одну из точек, общих для образов прямых.

Поскольку аффинное преобразование взаимно однозначно, то прообраз общей точки единственный и должен принадлежать одновременно каждой из прямых-прообразов. Однако таких точекнет, ибо прямые-прообразы параллельны. Следовательно, образы параллельных прямых также параллельны.174Аналитическая геометрия и линейная алгебраЕсли же прямые-прообразы пересекаются, то в силу взаимнойоднозначности аффинного преобразования образом их точкипересечения может быть только точка пересечения образовэтих прямых.Теорема доказана.Теорема5.4.6.При аффинном преобразовании сохраняется делениеотрезка в данном отношении.Доказательство.xi∗Пусть точки M , i = 1, 2, 3, с координатамиявляютсяyi∗∗iобразами (рис.

Характеристики

Список файлов книги