Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Уравнение Прямая в пространстве может быть задана при помо→прямой во2-й вектор- щи иного условия коллинеарности векторов a иной форме→ →r − r0 , в виде уравнения→ →→→[ a , r − r0 ] = oили же→ →→→→ →[ a , r ] = b , где b = [ a , r0 ] .Наконец, в ортонормированной системе координат→→→{O, e1 , e2 , e3 } данное уравнение прямой в пространстве принимает вид→→e1det a xe2ayxy→a y z − a z y = b x ,e3→a z = b или  a z x − a x z = b y ,a y − a x = b .zyz xОтметим, что в последней системе скалярных условий только двауравнения из трех независимые, то есть любое из этих уравнений является следствием двух других.Действительно, умножив первое уравнение на a x , второе на a y иa z и сложив затем полученные равенства почленно, приходим к тождеству вида 0 = 0 , поскольку числа a x , a y и a z не равнытретье нанулю одновременно, аbx = a y z 0 − a z y 0 ,b y = a z x 0 − a x z 0 ,b = a y − a x .x 0y 0 z107Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьНаконец, расстояние d в пространстве от некоторой точки с→радиусом-вектором→→R до прямой→r = r0 + τ a можно найти, воспользовавшись свойством, что S– площадь параллелограмма, построенного на паре векторов, равна длине векторного произведенияэтих векторов. Из рис.

3.4.1 получаемРис. 3.4.1→Sd=→=→ →[ R − r0 , a ]→a.a§ 3.5. Решение геометрических задач методамивекторной алгебрыЭффективность использования методов векторной алгебры прирешении геометрических задач во многом зависит от правильноговыбора представления геометрических условий в векторной форме.Например, если ввести определения, равносильные используемым вэлементарной геометрии, то вычисление углов, определяющих взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, может бытьсведено к нахождению скалярных и/или векторных произведений соответствующих нормальных и направляющих векторов.→Определение3.5.1.Углом→→междуплоскостями→→→( r − r01 , n1 ) = 0и( r − r02 , n2 ) = 0 называется угол между их нор→мальными векторами→n1 и n2 .108Аналитическая геометрия и линейная алгебра→Определение3.5.2.→→→ →( r − r0 , n ) = 0 и прямойУглом между плоскостью→r = r0 + τ a называется угол π − α , где α – угол2→между векторами→n и a.В таблицах 3.5.1–3.5.3 приведены некоторые из часто употребляемыхформ выражения геометрических условий при помощи векторныхопераций.Таблица 3.5.1Относительная ориентация прямых в пространствеГеометрическоеусловиеКоллинеарность прямых→→→→→→Возможная векторная форма представления1°.→r = r01 + τ a1 иr = r02 + τ a 2 .→→→λ ≠ 0 , такое, что→a1 = λ a 2 .→2°.→→[a1 , a2 ] = o .→→(a1 , a 2 ) = 0.Ортогональность прямых→Существует→r = r01 + τ a1 и→r = r02 + τ a 2 .Коллинеарность прямых→→→1°.Существует→r = r0 + τ a и→λ ≠ 0 , такое, что→a = λ [n1 , n2 ] .→ → (n1 , r ) = d1 , → →(n2 , r ) = d 2 .→2°.→→→[ a , [n1 , n2 ]] = o .109Г л а в а 3 .

Прямая и плоскость→ →→→→( a , n1 , n2 ) = 0.Ортогональность прямых→r = r0 + τ a и → → (n1 , r ) = d1 , → →(n2 , r ) = d 2 .Совпадение прямых→→1°.→r = r01 + τ a1 и→→λ ≠ 0 и µ ≠ 0,Существуют→такие, что→→r = r02 + τ a 2 .→a1 = λ a2 и→→r01 − r02 = µ a1 .→2°.→→[ a1 , a 2 ] = o и→→→→[r01 − r02 , a1 ] = o .Пересечение прямых→→→→→→r = r01 + τ a1 и→→→[ a1 , a 2 ] ≠ o и→→→(r01 − r02 , a1 , a 2 ) = 0.→r = r02 + τ a 2 .Условие скрещивания пря→→→мыхr = r01 + τ a1 и→→→r = r02 + τ a 2 .→→→[ a1 , a 2 ] ≠ o и→→→→(r01 − r02 , a1 , a 2 ) ≠ 0 .110Аналитическая геометрия и линейная алгебраТаблица 3.5.2Относительная ориентация плоскостей в пространствеГеометрическоеусловиеВозможная векторная форма представленияПараллельность плоско→стей→→1°. Существует→→→→→r = r01 + ϕ p1 + θ q1[ p1 , q1 ] = λ [ p 2 , q 2 ] и→(r01 − r02 , p1 , q1 ) ≠ 0 .→и→λ ≠ 0, такое, что→→r = r02 + ϕ p 2 + θ q 2 .→→→ →2°.→→→→[[ p1 , q1 ],[ p2 , q 2 ]] = o и→→→→(r01 − r02 , p1 , q1 ) ≠ 0.Совпадение плоскостей→→→1°.

Существует→→r = r01 + ϕ p1 + θ q1 и→→→→→→→→→ →→→→→→→→→→→→→→(r01 − r02 , p1 , q1 ) = 0 .→r = r02 + ϕ p 2 + θ q 2 .Ортогональность плоско→стей→→→r = r01 + ϕ p1 + θ q1и→→→→r = r02 + ϕ p 2 + θ q 2 .→[[ p1 , q1 ],[ p2 , q 2 ]] = o и2°.r = r01 + ϕ p1 + θ q1 и→→(r01 − r02 , p1 , q1 ) = 0 .Совпадение плоскостей→→[ p1 , q1 ] = λ [ p 2 , q 2 ] иr = r02 + ϕ p 2 + θ q 2 .→λ ≠ 0, такое, что→→( [ p1 , q1 ], [ p 2 , q 2 ]) = 0 .111Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьПараллельность плоско→стей→→→r = r0 + ϕ p + θ q и→ →→ →( p , n ) = 0при условии ( n , r0 ) ≠ d .→→ ( q , n ) = 0→ →( n, r ) = d .Совпадение плоскостей→→→→r = r0 +ϕ p + θ q и→ →→ →( p , n ) = 0приусловии(n , r0 ) = d .→→ ( q , n ) = 0→ →( n, r ) = d .Ортогональность плоско→стей→→1°.→→ →r = r0 + ϕ p + θ q и→[ p, q ] = λ n .→→→ →( n, r ) = d .λ ≠ 0, такое, чтоСуществует2°.→→[[ p, q ], n ] = o .Таблица 3.5.3Относительная ориентация прямой и плоскостив пространствеГеометрическоеусловиеПараллельность прямой→→→r = r01 + τ a плоскости→→→→r = r02 + ϕ p + θ q .Возможная векторная форма представления1°.

Существуютλ ; µ ; λ + µ > 0,→такие, что→→→→a = λ p+µ q и→ →(r01 − r02 , p, q ) ≠ 0 .112Аналитическая геометрия и линейная алгебра2°.Ортогональность прямой→→→→→→1°.Существует→→ →λ ≠ 0,такое, чтоa = λ [ p, q] .r = r01 + τ a плоскости→→r = r02 + ϕ p + θ q .→ → → ( a , p, q) = 0, → → → →(r01 − r02 , p, q) = 0.2°.→ →→[ a ,[ p , q ]] = o .→ →( a , n) = 0 при условииПараллельность прямой→→→→ →r = r01 + τ a плоскости( n , r0 ) ≠ d .→ →( n, r ) = d . →→ ( a , n) = 0, → →(r0 , n) = d .Принадлежность прямой→→→r = r01 + τ a плоскости→ →( n, r ) = d .Ортогональность прямой→→1°.→Существует→r = r01 + τ a плоскостиλ ≠ 0, такое, что→a =λn.→ →→ →→( n, r ) = d .2°.[a, n] = o .Ортогональность прямой1°.Существуютλ ; µ ; λ + µ > 0, такие,→ →(n1 , r ) = d1 , → →(n2 , r ) = d 2→ →и плоскости( n, r ) = d .→2°.→→чтоn = λ n1 + µ n2 .→→→→[ n ,[ n1 , n2 ]] = o .113Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьОтметим, что в таблицах 3.5.1–3.5.3 сохранены введенные ранееобозначения и ограничения.При решении геометрических задач методами векторной алгебрытакже важно уметь переводить эти представления из одной эквивалентной формы в другую5. Найдем, например, для прямой, заданной впространстве пересечением двух непараллельных плоскостей → →(n1 , r ) = d1 , → → (n2 , r ) = d 2 ,→→→r = r0 + τ a .уравнение в параметрическом видеНетрудно убедиться, что в качестве направляющего вектора дан→→→→a = [ n1 , n2 ] , а радиус-вектор точки r0ной прямой можно взять→выражается как некоторая линейная комбинация векторов→Действительно, пусть→→n1 и n2 .→r0 = ξ n1 + η n2 , тогда из системы линейныхуравнений → →∆η∆ξ(n1 , r0 ) = d1 ,находим ξ =и η=, → →∆∆(n2 , r0 ) = d 2→где∆ = det→(n1 , n1 )→→→→(n1 , n2 )→→(n2 , n1 ) (n2 , n2 )→,∆ ξ = det→d1(n1 , n2 )d2(n2 , n2 )→→5Следует иметь в виду, что использование различных векторных представлений одного и то же геометрического условия может приводить к различным,но, естественно, эквивалентным формам записи решения.

(См., например,задачу 3.5.2.)114Аналитическая геометрия и линейная алгебра→и∆ η = det→(n1 , n1 )→d1→(см. теорему 1.1.2).(n2 , n1 ) d 2Покажите самостоятельно, что условие неколлинеарности нор→→n1 и n2 равносильно условию ∆ ≠ 0 .мальных векторовАналогично может быть выполнен и обратный переход. Пусть→уравнение прямой в пространстве имеет вид→→→предположим, что→r = r0 + τ a , причемr0 и a неколлинеарны. Тогда в качестве нор-мальных векторов плоскостей, которые пересекаются по данной пря→мой, можно взять→→ →→ →n1 = [ a , r0 ] и n2 = [ a , n1 ] .

Из второго равенства,используя формулу для двойного векторного произведения (см. § 2.8),получаем→→ →→→ →→ →→→ →→→ → →→ 2 →n2 = [ a , n1 ] = [ a , [ a , r0 ]] = ( a , r0 ) a − ( a , a ) r0 = ( a , r0 ) a − a r0 .→ →В качестве→d 1 и d 2 , очевидно, можно принять d1 = (n1 , r0 ) и→→→d 2 = (n2 , r0 ) . Случай коллинеарных векторов r0 и a рассмотритесамостоятельно.В заключение приведем в качестве примеров решения некоторыхстереометрических задач методами векторной алгебры.→ →Задача3.5.1.Даны плоскость→мая→( n , r ) = d 0 и пересекающая ее пря-→r = r0 + τ a . Найти радиус-вектор точки пере-сечения этой прямой и плоскости.Г л а в а 3 . Прямая и плоскость115Решение.

1°. Заметим, что если( n , a ) = 0 , то либо решений нет,→ →либо вся прямая лежит на данной плоскости. Поэтому→ →будем далее полагать, что(n, a ) ≠ 0 .→→→→r = r0 + λ n , где r –Имеем2°.искомый радиус-вектор точкипересечения прямой и плоскости, а λ – соответствующееэтой точке значение параметра τ (рис. 3.5.1).Поскольку точка пересеченияпринадлежит данной плоскости, то имеет место соотношениеРис. 3.5.1→ →→( n , r0 + λ a ) = d 0 .→ →Откудаλ=d − ( n, r0 )→ →( n, a )→ →d − ( n , r0 ) →и, наконец, r = r0 +a.→ →( n, a )→→→Задача3.5.2.Даны точка с радиусом-вектором→→R и прямая→r = r0 + τ a .

Найти расстояние от этой точки доданной прямой, не используя операцию векторного произведения.→Решение. 1°. Проведем через данную точку с радиусом-векторомRплоскость, перпендикулярную прямой (рис. 3.5.2). Обо→значим черезrx радиус-вектор точки пересечения пря-мой и плоскости. Тогда искомое расстояние будет равно→→ρ = | R −rx | .116Аналитическая геометрия и линейная алгебра→2°.Точка rx будет удовлетворятьодновременно соотношениям→ →→( a , R − rx ) = 0→→→rx = r0 + λ a , но тогда, исключая параметр λ , нахо-идим, чтоРис. 3.5.2ρ=и=→→ →( R − r0 , a ) →rx = r0 +a→2|a|→→→ →→→→ →( R − r , a ) → → → ( R − r0 , a ) →( R − r0 − → 0a ,R − r0 − →a)22|a||a|→→→→→| R − r0 | −2=→ →( R − r0 , a ) 2→.| a |2Заметим,→ 2 → 2pqчтовсилу→ →легкопроверяемоготождества2→ →= ( p, q ) 2 + [ p, q ]→данное решение совпадает с полу→ →[ R − r0 , a ]ченным в § 3.4 значениемρ=→.|a|→Задача3.5.3.Найти расстояние между прямыми→→→r = r02 + τ a 2 .→→r = r01 + τ a1и117Г л а в а 3 .

Характеристики

Список файлов книги