Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Более того, в дальнейшем будетпоказано (см. § 5.4), что никакой заменой общейдекартовой системы координат нельзя переместить линию второго порядка, находящуюся в однойиз клеток таблицы в условии теоремы 4.4.1, в другую клетку.3°. Пустое множество эллиптического типа иногданазывают мнимым эллипсом, а пустое множествопараболического типа – парой мнимых параллельных прямых.4°. Алгоритм доказательства теоремы 4.4.1 можно использовать как для нахождения канонического видауравнения линии второго порядка, так и для построения канонической системы координат, тоесть системы координат, в которой данная линиявторого порядка имеет канонический вид.138Аналитическая геометрия и линейная алгебраИсследование конкретных свойств различных типов линий второгопорядка приводится в Приложении 1.§ 4.5.

Поверхности второго порядка в пространствеПусть в пространстве дана ортонормированная система координат→→→{O, e1 , e2 , e3 } .Определение4.5.1.В соответствии с определениями 4.2.2 и 4.2.3 будемговорить, что поверхность S является алгебраическойповерхностью второго порядка, если ее уравнение вданной системе координат имеет видA11 x 2 + A22 y 2 + A33 z 2 ++ 2 A12 xy + 2 A13 xz + 2 A23 yz +(4.5.1)+ 2 A14 x + 2 A24 y + 2 A34 z + A44 = 0,где числа A11 ; A22 ; A33 ; A12 ; A13 ; A23 не равнынулю одновременно, а x, y и z суть координаты радиуса-вектора точки, принадлежащей S.Как и в плоском случае, коэффициенты уравнения (4.5.1) зависятот выбора системы координат, поэтому при исследовании свойствповерхностей второго порядка целесообразно предварительно перейти в ту систему координат, для которой уравнение поверхности оказывается наиболее простым.Теорема4.5.1.Для каждой поверхности второго порядка существует ортонормированная система координат→→→{O ′, e1′ , e2′ , e3′ } , в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих семнадцати канонических видов:Г л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространствеПустыемножестваТочки, прямыеи плоскостиИзолированная точкаx′2 y′ 2+ 2 +a2bz′2+ 2 = −1bx′ 2 y′ 2+ 2 +a2bz′2+ 2 =0bПрямаяx′2 y′2+ 2 = −1a2b∀z ′x ′ 2 = −a 2∀ y ′, z ′x′2 y′2+ 2 =0a2b∀z ′Пара пересекающихсяплоскостейx′2 y′ 2−=0a2 b2∀z ′Пара параллельных илисовпадающих плоскостейx ′ 2 = a 2 ∀ y ′, z ′x ′ 2 = 0 ∀ y ′, z ′139Цилиндрыи конусыЭллиптическийцилиндрx′2 y′2+ 2 =1a2b∀z ′Гиперболическийцилиндрx′2 y′ 2−=1a2 b2∀z ′Параболический цилиндрy ′ 2 = 2 px ′∀z ′Конусx′ 2 y ′ 2+ 2 −a2b2z′− 2 =0c140Аналитическая геометрия и линейная алгебраНевырожденныеповерхностиЭллипсоидыПараболоидыЭллиптический параболоидx′ 2 y ′ 2 z ′ 2++=1a2 b2 c2x′ 2 y ′ 2+= 2 z′a 2 b2Гиперболический параболоидx′ 2 y ′ 2−= 2 z′a 2 b2причемa >0, b>0, c>0,ГиперболоидыОднополостный гиперболоидx′ 2 y ′ 2 z ′ 2+−=1a2 b2 c2Двуполостный гиперболоидx′ 2 y ′ 2 z ′ 2−−=1a 2 b2 c2p > 0.Доказательство.Хотя возможно доказать существование ортонормированнойсистемы координат с требуемыми свойствами, применив подход,аналогичный использованному при доказательстве теоремы4.4.1, представляется целесообразным рассмотреть этот вопрос врамках теории евклидовых пространств, где утверждение теоремы 4.5.1 непосредственно вытекает из более общего случая, рассмотренного в § 12.2.Исследование свойств конкретных типов поверхностей второгопорядка приводится в Приложении 2.Г л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве141§ 4.6. Альтернативные системы координатВ ряде практических приложений оказывается целесообразнымиспользование систем координат, отличных от декартовой.Полярная система координатПримером альтернативной системы координат на плоскости является полярная система координат.Положение точки на плоскостив этой системе координат задаетсяпаройупорядоченныхчисел{ρ, ϕ} , где→→→ρ = OM , ϕ = ∠ ( OM , OP ) ,удовлетворяющих ограничениямρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π .Точка O называется полюсом,а луч OP – полярной осью.Рис.

4.6.1Угол ϕ отсчитывается против часовой стрелки (рис. 4.6.1). Для полюса этот угол не определяется.Формулы перехода от ортонормированной декартовой системыкоординат к полярной и обратно имеют следующий вид: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,cos ϕ =ρ = x2 + y2 ;x; sin ϕ =x2 + y2yx2 + y2.Использование полярной системы координат позволяет упроститьописание объектов, обладающих точечной симметрией.142Аналитическая геометрия и линейная алгебраНапример, окружность единичного радиуса с центром в начале координат, имеющая в ортонормированной декартовой системе коорди-x 2 + y 2 = 1 , в полярной системе координат задаетсяусловием ρ = 1 .нат уравнениеБолее того, в Приложении 1 показано, что в полярной системе координат три различных типа линий второго порядка – эллипс, гипербола и парабола – задаются одним и тем же уравнениемρ(1 − ε cos ϕ) − p = 0 , где ε > 0 и p > 0 – некоторые константы,называемые эксцентриситетом и фокальным параметром соответственно, и что для различных значений эксцентриситета при фиксированном p получаются различные типы кривых: эллипсы при0 < ε < 1 , параболы при ε = 1 и гиперболы при ε > 1 .

Соответствующие случаи показаны на рисунке 4.6.2.Рис. 4.6.2.Зависимость типа конического сеченияот величины эксцентриситетаГ л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве143Проверим справедливость этого утверждения, выполнив в уравнении ρ(1 − ε cos ϕ) − p = 0 переход от полярной к ортонормированной декартовой системе координат.

Действительно, посколькуρ = x 2 + y 2 и cos ϕ =xx +y22,то данное уравнение преобразуется к видуx 2 + y 2 (1 − εxx + y22) − p = 0,которое в свою очередь равносильно при соблюдении условийиε>0p > 0 уравнению (1 − ε ) x + y = 2ε px + p .2222Если ε = 1 , то мы получаем уравнение параболы. Если жето исходное уравнение можно записать так:(x −ε≠1,εp 21p22)+y=.1 − ε21 − ε2(1 − ε 2 ) 2Рассуждая далее, как в пункте 4° доказательства теоремы 4.4.1, можноприйти к заключению, что условие 0 < ε < 1 приводит к эллиптическому случаю линии второго порядка, а условиеческому типу.Еслиослабитьограничениянаε > 1 – к гиперболи-параметрыуравненияρ(1 − ε cos ϕ) − p = 0 , разрешив им принимать (в смысле предельного перехода) как нулевые, так и бесконечно большие положительные значения, то можно получить и другие виды линий второго порядка, указанные в формулировке теоремы 4.4.1.ε = 0 и p ≠ 0 мы имеем окружность, при ε = 0и p = 0 – изолированную точку, а при p = 0 и ε cos ϕ = 1 – паруНапример, припересекающихся прямых.144Аналитическая геометрия и линейная алгебраРис.

4.6.3. Построение конических сеченийОпределение4.6.1.Линия, уравнение которой в полярной системе координат имеет видρ(1 − ε cos ϕ) − p = 0 ∀p ≥ 0 , ∀ε ≥ 0,называется коническим сечением.Действительно, различные виды линий второго порядка, включая ивырожденные случаи, могут быть получены сечением круговой конической поверхности плоскостью, что иллюстрирует рисунок 4.6.3.Сферическая система координатВ ряде практических приложений, требующих аналитического исследования пространственных объектов, используется так называемаясферическая система координат.Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве145Положение точки в пространстве в этой системе однозначно задается при помощи упорядоченной тройки чисел {ρ, ϕ, θ} (рис.

4.6.4),где→→→→→ρ = OM , ϕ = ∠(Ox, OP) , θ = ∠(OM , Oz ) ,которые удовлетворяют ограничениямρ ≥ 0 ; 0 ≤ ϕ < 2π ; 0 ≤ θ ≤ π .Использование сферической системы координатиногда позволяет получить более простое аналитическое описание геометрическихобъектов,обладающихточечнойсимметрией. Например,уравнение сферы единичного радиуса с центром вначале координат в сферической системе будетиметь вид ρ = 1 .Формулы перехода междуортонормированнойдекартовой системой координатисферическойимеют следующий вид: x = ρ cos ϕ sin θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos θ,а для обратного перехода соответственноРис. 4.6.4146Аналитическая геометрия и линейная алгебраx222; sin ϕ =ρ = x + y + z ; cos ϕ =22xy+zcos θ =.2x + y2 + z2yx + y22;Цилиндрическая система координатВ тех случаях, когда исследуемый пространственный объект обладает осевой симметрией, может оказаться удобнымприменениецилиндрическойсистемы координат.Положение точки в пространстве в этой системе однозначнозадается при помощи упорядоченной тройки чисел {ρ, ϕ, h}(рис.

4.6.5), где→→→ρ = OM , ϕ = ∠(Ox, OP) ,Рис. 4.6.5удовлетворяющие ограничениямρ ≥ 0 ; 0 ≤ ϕ < 2π ; h ∈ (−∞, + ∞).Формулы перехода от ортонормированной декартовой системыкоординат к цилиндрической и обратно имеют следующий вид: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = h, cos ϕ =ρ = x2 + y2 ;xx2 + y2; sin ϕ =yx2 + y2; h = z.147Г л а в а 5 .

Преобразования плоскостиГлава 5ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ§ 5.1. Произведение матрицОпределение5.1.1.МатрицаC размера m × n с элементамиγ ji ∀i = [1, n] , ∀j = [1, m]называется произведением матрицыAразмераm × l с элементамиα jk ∀j = [1, m] , ∀k = [1, l ]B размера l × n с элементамиβ ki ∀k = [1, l ] , ∀i = [1, n] , гдена матрицуlγ ji = ∑ α jk β ki ∀i = [1, n] , ∀j = [1, m] .k =1Результат умножения матриц – матрицаC – есть матрица раз-m × n при любом натуральном l , которая обозначается какC = A B . Правило нахождения компонентов произведения померакомпонентам сомножителей матричного произведения иллюстрируетрис. 5.1.1.Пример5.1.1.Приведем результаты умножения матриц, имеющих не более чем пару строк или столбцов.1°. Пусть размерA есть 2 × 2 , а размер B –2 × 1 , тогда размер C будет 2 × 1 .148Аналитическая геометрия и линейная алгебраC = A=B =α11α12β11α 21α 22β 21=α11β11 + α12β 21α 21β11 + α 22β 21β11 β12...β1i...β1nβ21 β22...β2i...β2nα11 α12...............α1lα21 α22...............α2l.....................................................................αjl.....................................................................αml.....................βli...βln......αj1 αj2......αm1 αm2βl1 βl 2=γ11 γ12...γ1i...γ1nγ21 γ22...γ2i...γ2n...............γ ji...γ jn...............γmi...γmn......γ j1 γ j2......γm1 γm2.=lγji =∑αjk βkik=1Рис.

Характеристики

Список файлов книги