Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5.1.12°. Если размерразмерC = BA есть 2 × 2 , а размер B – 1× 2 , тоC будет 1× 2 .A = β11β12α 11α 21= α 11β11 + α 21β12α 12=α 22α 12 β11 + α 22 β12 .149Г л а в а 5 . Преобразования плоскости3°.Наконец, пусть размерматрицаA и B есть 2 × 2 , тогдаC будет иметь размер 2 × 2.Замечания об умножении матрицИз определения произведения матриц непосредственно следует,что для матриц подходящих размеров:1)умножение матриц некоммутативно, то есть в общем случае2)AB ≠ Bумножение матриц ассоциативноA ( B3)A ,C )=( AB ) C ,умножение матриц обладает свойством дистрибутивностиA ( B + C )= AB + AC .Отметим еще раз, что произведение двух матриц существует только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числустрок второго.Легко убедиться, что умножение (как справа, так и слева) любойматрицыAна подходящего размера единичную матрицу(см.
§ 1.1) дает в результате ту же самую матрицуОпределение5.1.2.МатрицаматрицеA−1A .называется обратной квадратнойA , если выполнены равенстваA−1EA = AA−1= E .150Аналитическая геометрия и линейная алгебраОбратная матрица существует не для произвольной квадратнойA , необходимоматрицы. Для существования матрицы, обратной кdet A ≠ 0 6.и достаточно, чтобы выполнялось условиеОпределение5.1.3.A , для которой det A = 0 , называетсяМатрицавырожденной, а матрица, для которойdet A ≠ 0 ,– невырожденной.Лемма5.1.1.Если обратная матрица существует, то она единственна.Доказательство.A имеет две об-Предположим, что невырожденная матрицаAратные:−11AA−1Aи−112.
Тогда из равенств= EAиA−12= Eследует, чтоAA−11− AA−1= E − E = O .2Умножая слева обе части данного равенства наA−11, полу-чаемA−11и, учтя, чтоA ( AA−11−11− A−12)= A−11O = OA = E , приходим к равенствуA−11− A−12= O .Лемма доказана.6Правило нахождения определителя квадратной матрицы порядка n приводится в главе 6.151Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиВчастномслучае,A =когда−1det A ≠ 0 , матрица Aα 11α 12α 21α22иеслиимеет видα 22 − α121⋅.(5.1.1)α11det A − α 21Для квадратных матриц порядка n справедливы7 следующие раA−1=венства:B ) = det ( A ) det ( B ) ;det ( Adet AПример5.1.2.−1=1det A, если det A ≠ 0 .Используя матричные операции, систему линейных уравнений α11ξ1 + α12 ξ 2 = β1 , α 21ξ1 + α 22 ξ 2 = β 2можно записать в видеx =ξ1;ξ2x = b , гдеAb =β1β2; A =а ее решение (если существуетx = AПример5.1.3.−1Aα11α 21−1α12,α 22) – в видеb .Формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой (1.8.2) с помощью матричных операций могут быть записаны в видеДля n = 2 эти соотношения проверяются непосредственно по определению 1.1.9, случай произвольного n рассматривается в главе 6.7152Аналитическая геометрия и линейная алгебра→→g1′→g2′ = ST→Теорема5.1.1.ξ2 = Sξ3;→g3′где→g2g3Sξ1′β1ξ ′2 + β 2 ,ξ ′3β3ξ1g1– матрица перехода.Имеет место соотношение( AB )T = BTAT.Доказательство.Будем предполагать, что размеры матрицA и B таковы,что произведения матриц, указанные в формулировке теоремы,существуют.Пусть числаиα ik , β kj , γ i j суть элементы матриц A , BC = AB соответственно.
Тогда, согласно определе-нию 5.1.1,lγ ij = ∑ α ik β kj .k =1Но, с другой стороны, по определению 1.1.8 операции транспонированияlllk =1k =1k =1γ iTj = γ j i = ∑ α j k β k i = ∑ α Tk j β iTk = ∑ β iTk α Tk j ,откуда, учитывая определение 5.1.1, делаем заключение осправедливости утверждения теоремы.Теорема доказана.153Г л а в а 5 .
Преобразования плоскостиЗаметим, что согласно правилу транспонирования произведения→→g1′g1→g2′ = Sматриц равенствоT→→→g 2′→→g 3′ = g 1может быть записано в виде→g3′g1′→g2g3→g2→g3 S .Для дальнейших рассуждений нам будет полезно следующее вспомогательное утверждение.Лемма5.1.2.QПусть произведение квадратной матрицыпроизвольныйнулевойn -компонентный столбецxнаестьn -компонентный столбец, тогда матрицаQ нулевая.Доказательство.ω11ω 21Пусть Q =...ω n1ω12ω 22...ωn2...
ω1n... ω 2 n. Выберем в качестве... ...... ω nn0...столбец вида1 , где единица стоит в строке с номером i....0x154Аналитическая геометрия и линейная алгебраQТогдаω1i00.........1 = ωii = 0 и в силу произвольности i при.........ω ni00ходим к заключению о справедливости утверждения леммы.Лемма доказана.Теорема5.1.2.Для невырожденных одинакового размера квадрат-A и B справедливо соотношениеных матриц−1B ) −1 = B( AA−1.Доказательство.1°.
Пусть произведение матрицыB ) −1 на некото-( Aрый n-компонентный столбецx есть столбец c . То-B ) −1 x = cили, что то же самое,гда( Ax = ABc(см. определения 5.1.1 и 5.1.2).2°. С другой стороны, из последнего равенства получаем, чтоAи аналогичноB−1−1x = BA−1cx = c .3°. Вычитая почленно равенства( AB ) −1 x = cиB−1A−1x = c ,155Г л а в а 5 .
Преобразования плоскостив силу дистрибутивности матричного произведения приходим к соотношениюB ) −1 − B(( A−1A−1) x = o ,которое по лемме 5.1.2 ввиду произвольности столбцаx означает, что матрица( AB ) −1 − B−1A−1нулевая.Теорема доказана.Задача5.1.1.Проверить тождество( A−1 T) = ( A T ) −1 .Невырожденная квадратная матрицаОпределение5.1.4.ройQ−1Q , для кото-T= Q , называется ортогональной.Свойства ортогональных матриц, играющих важную роль во многих приложениях, можно сформулировать в виде следующих теорем.Теорема5.1.3.Для ортогональной матрицыствоQ справедливо равен-det Q = ±1 .Доказательство.Умножая равенствослева наниюQQ−1= QTпоследовательно справа иQ , в силу определения 5.1.2 приходим к соотношеTQ = Q Qdet 2 Q = 1 , посколькуT= E .
Откуда находим, что156Аналитическая геометрия и линейная алгебра-определитель произведения квадратных матрицодинакового размера равен произведению определителей сомножителей;-определитель матрицы не меняется при ее транспонировании;det E = 1 .-Теорема доказана.Теорема5.1.4.Каждая ортогональная матрица второго порядкадля которойвидеQ ,det Q = 1 , может быть представлена вcos ϕ − sin ϕ, где ϕ – некоторое число, а каsin ϕcos ϕждая ортогональная матрица сcos ϕsin ϕdet Q = −1 – в видеsin ϕ.− cos ϕДоказательство.Q =Пусть матрицаω11ω 21ω12ω 22ортогональная, тогдадолжны быть справедливы равенстваQ QT=ω11ω 21ω12 ω11ω 22 ω12ω 21= Eω 22и, следовательно,22ω11+ ω12ω11ω 21 + ω12 ω 221 0ω11ω 21 + ω12 ω 22=.220 1ω 21 + ω 22Г л а в а 5 .
Преобразования плоскости157Последнее матричное равенство может быть записано в видесистемы скалярных условий22 ω11+ ω12=1, ω11ω 21 + ω12 ω 22 = 0 , ω2 + ω2 = 1 ,22 21причем из этих равенств, как было показано при доказательстветеоремы 5.1.3, следует, чтослучайdet Q = ±1 . Рассмотрим вначалеdet Q = 1 .Если из суммы первого и третьего уравнений системы вычестьудвоенное равенство ω11ω 22 − ω12 ω 21 = 1 , то мы получим22(ω11+ ω12) + (ω 221 + ω 222 ) − 2(ω11ω 22 − ω12 ω 21 ) = 0или(ω11 − ω 22 ) 2 + (ω12 + ω 21 ) 2 = 0 , откуда следует, что ω11 = ω 22 ,ω12 = −ω 21 .22ω11+ ω12= 1 ; ω 221 + ω 222 = 1 имеем22оценки 0 ≤ ω11 ≤ 1 ; 0 ≤ ω 21 ≤ 1 , которые позволяют ввестиНаконец, из условийобозначенияматрицыQ , поскольку из полученных соотношений такжеследует, чтоСлучайω11 = cos ϕ, приводящие к требуемому виду ω 21 = sin ϕ2ω11+ ω 221 = 1 .det Q = −1 рассматривается аналогично.Теорема доказана.158Аналитическая геометрия и линейная алгебраМатрица перехода от одного ортонормированногобазиса на плоскости к другому ортогональная.Следствие5.1.1.Доказательство.В § 1.8 было показано, чтоS – матрица перехода от однойортонормированной системы координат на плоскости к другой − может иметь один из двух следующих видов:cos ϕ − sin ϕcos ϕsin ϕили,sin ϕcos ϕsin ϕ − cos ϕгдеϕ – угол между первыми базисными векторами.
Но тогдаматрица переходаS ортогональная в силу теоремы 5.1.4.Следствие доказано.§ 5.2. Операторы и функционалы. Отображенияи преобразования плоскостиВводимое в курсе математического анализа понятие функции (какправила, устанавливающего однозначное соответствие между числом,принадлежащим области определения, и числом, принадлежащиммножеству значений) может быть естественным образом обобщено наслучай, когда область определения и область значений не являютсячисловыми множествами.Определение5.2.1.Будем говорить, что задан оператор  , действующий на множестве Ω со значениями в множестве Θ , если указано правило, по которому каждомуэлементу множества Ω поставлен в соответствиеединственный элемент из множества Θ .159Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиСимволически результат действия оператораy = Aˆ x, обозначается так:x ∈ Ω,y ∈ Θ . Элемент y в этом случае называетсяобразом элемента x , элемент x – прообразом элемента y .Определение5.2.2.Если Θ – область значений некоторого оператора –является числовым множеством, то говорят, что намножестве Ω задан функционал.Функционалы обычно обозначаются так же, как и функции: например, y = Φ ( x ), x ∈ Ω .→Пример5.2.1.1°.Если каждому векторуx в пространстве постав→лен в соответствие векторy , являющийся ортого→нальной проекцией вектора x на некоторую ось l ,то говорят, что в пространстве задан оператор→Λ→y = Pr l x ортогонального проектирования векторов на ось l .
В этом случае символически можноΛзаписать, что2°.Aˆ = Pr l .Каждой дифференцируемой на[α, β] функцииf (τ) можно поставить в однозначное соответствие f ′(τ) – ее производную функцию, поэтомуможно говорить об операторе дифференцированияdf (τ) , символически обозначаемомdτd.как Â =dτf ′(τ) =160Аналитическая геометрия и линейная алгебра→Каждому вектору3°.x в пространстве можно поста→вить в однозначное соответствие числоx – егодлину. Очевидно, что данная зависимость являетсяфункционалом, заданным на множестве векторов.Для каждой непрерывной на4°.[α, β] функции f (τ)βсуществует интеграл∫ f (τ)dτ ,который можноαβрассматривать как функционалФ ( f ) = ∫ f (τ)dταна множестве функций, непрерывных наОпределение5.2.3.[α, β] .Оператором Â , отображающим плоскость (илипросто отображением плоскости) P на плоскостьQ, называется правило, по которому каждой точкеплоскости P поставлена в соответствие единственнаяточка плоскости Q .Отображение плоскости принято обозначать следующим образом:Aˆ : P → Q .
Если точка M плоскости P отображается в точку M ∗∗ˆ M (что иногда заплоскости Q, то это представляется как M = Aписывают в видезом точкиM ∗ = Aˆ ( M ) ), при этом точка M ∗ является обра-M , а точка M – прообразом точки M ∗ .Определение5.2.4.Aˆ : P → Q называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости Q имеет проОтображениеобраз и притом единственный.161Г л а в а 5 . Преобразования плоскостиОпределение5.2.5.Отображение  плоскостипреобразованием плоскостиP в саму себя называетсяP.Определение5.2.6.Последовательное выполнение преобразованийM ∗ = Aˆ M и M ∗∗ = Bˆ M ∗называется произведением (или композицией) этихпреобразований.∗∗ˆ M.Произведение операторов записывается в виде M = Bˆ AЗаметим, что в общем случае это произведение не коммутативно, ноассоциативно.Определение5.2.7.Преобразованием, обратным взаимно однозначномуAˆ : P → P , называется операторAˆ : P → P , такой, что для каждой точки Mплоскости P имеет местоAˆ −1 ( Aˆ M ) = M .преобразованию−1Определение5.2.8.Точка плоскостиP , переводимая преобразованием сама в себя, называется неподвижной точкой для .
Множество на P , состоящее из неподвижныхточек для  , называется неподвижным для  .Множество точек P , переходящее при  само в себя, называется инвариантным множеством преобразования .§ 5.3. Линейные операторы на плоскостиПусть→наплоскостисдекартовойсистемойкоординат→{O, g1 , g 2 } каждой ее точке M поставлена в однозначное соответ∗ствие точка M , то есть согласно определению 5.2.6162Аналитическая геометрия и линейная алгебра∗ˆ M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
