Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

рис. 4.3.1), но поопределению цилиндрической поверхности→→KM = θ a ,и, следовательно, уравнение цилиндрической поверхности в векторной форме имеет вид→→→r (ϕ, θ) = F (ϕ) + θ a , ϕ ∈ Ω, θ ∈ (−∞, + ∞).Пусть в координатной формеFx (ϕ)→F (ϕ)g= Fy (ϕ)Fz (ϕ)ax→иag= ay ,azθ получаемx − Fx (ϕ) y − Fy (ϕ) z − Fz (ϕ)==.axayazтогда после исключения128Пример4.3.1.Аналитическая геометрия и линейная алгебраПрямая круговая цилиндрическая поверхность, для которой в ортонормированной системе координат-направляющей служит окружность радиуса 3, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси аппликат, с центром в начале координат,- а образующими являются прямые, перпендикулярные этой плоскости, задается сиcтемой условий3 cos ϕ0 x = 3 cos ϕ,→→ y = 3 sin ϕ, поскольку F (ϕ) = 3 sin ϕ ; a = 0 . z = θ,01Заметим, что если из полученных соотношений также исключить ипараметр ϕ, то получится уравнение вида x + y = 9 для любогоz , откуда следует, что порядок данной алгебраической поверхностиN =2.2Рис.

4.3.12Рис. 4.3.2Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве129Проведем через каждую точку направляющей линии прямую (называемую образующей), проходящую через некоторую фиксированную, не принадлежащую направляющей, точку A (называемую верши→ной) с радиусом-вектором r0 .Совокупность всех точек пространства, лежащих наобразующих данного вида, называется коническойповерхностью.Определение4.3.2.Составим уравнение конической поверхности в общем виде.→→→Аналогично рассмотренному выше случаю r = F (ϕ) + KM , нопо определению конической поверхности (см.

рис. 4.3.2)→→→KM = θ(r0 − F (ϕ)) ,и, следовательно, уравнение конической поверхности в векторнойформе имеет вид→→→r (ϕ, θ) = (1 − θ) F (ϕ) + θ r0 , ϕ ∈ Ω, θ ∈ (−∞, + ∞).x0→Пусть в координатахr0gраметра= y 0 , тогда после исключения паz0θ получаемy − Fy (ϕ)x − Fx (ϕ)z − Fz (ϕ)==.x0 − Fx (ϕ) y 0 − Fy (ϕ) z 0 − Fz (ϕ)Пример4.3.2.Прямая круговая коническая поверхность, для которой вортонормированной системе координат-направляющей служит окружность радиуса 3, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси аппликат, с центром в начале координат,130Аналитическая геометрия и линейная алгебра-иобразующими,→проходящимичерезточкуr0 = 0 0 − 1 ,Tзадается системой условий (см.

пример 4.3.1):x − 3 cos ϕ y − 3 sin ϕz==, ϕ ∈ [0,2π) .− 3 cos ϕ− 3 sin ϕ−1Заметим, что если из полученных соотношений исключить также ипараметрϕ, то получится уравнение видато есть N= 2.x2 y2+− ( z + 1) 2 = 0 ,99§ 4.4. Линии второго порядка на плоскостиПусть на плоскости дана ортонормированная система координат→→{O, e1 , e2 } и некоторая линия L .Определение4.4.1.В соответствии с определениями 4.1.2 и 4.1.3 будемговорить, что линия L является алгебраической линией второго порядка, если ее уравнение в данной системе координат может иметь видAx 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0, (4.4.1)где числа A , B и C не равны нулю одновременно, аx и y суть координаты радиуса-вектора точки, принадлежащей L .Поскольку коэффициенты уравнения 4.4.1 зависят от выбора системы координат, при исследовании свойств линий второго порядкацелесообразно предварительно перейти к другой ортонормированнойГ л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве131→ →системе координат {O ′, e1′ , e2′ } , в которой запись уравнения линииоказывается наиболее простой.Теорема4.4.1.Для любой линии второго порядка существует ортонормированная система координат, в которойуравнениеэтойлинииимеет(приa ≥ b > 0, p > 0 ) один из следующих девяти (называемых каноническими) видов:Таблица 4 .4 .1Тип линииВид линииЭллиптический∆>0Пустыемножестваx′ 2 y ′ 2+= −1a2 b2Изолированныеточкиx′ 2 y′ 2+ 2 =0a2bГиперболический∆<0∆=0y ′ 2 = −a 2∀x ′y′2 = 0∀x ′Совпадающиепрямыеx′ 2 y ′ 2y′2 = a 2−=0a2b2∀x ′НесовпадающиепрямыеКривыеПараболическийЭллипсГиперболаx′ 2 y ′ 2+ 2 =1a2bx′2 y′2−=1a2 b2Параболаy ′ 2 = 2 px ′132гдеАналитическая геометрия и линейная алгебра∆ = detA B= AC − B 2 .B CДоказательство.1°.

Предварительно заметим, что без ограничения общности можно считать выполненными условия: B ≥ 0 и A ≥ C .Действительно, если B < 0 , то можно изменить знаки всех коэффициентов в уравнении 4.4.1. Если же A < C , то, перейдя кновой ортонормированной системе координат, для которой→→→→→→e1′ = e2 ; e2′ = e1 ; OO′ = o , мы получим желаемое соотношение, поскольку при таком переходе имеют место равенстваx = y ′; y = x ′ в силу утверждений § 1.8.

Заметим также, что∆ не меняется, посколькуC BA Bdet= det=∆.B AB Cпри этой заменеB = 0 , то переходим к пункту 4° на с. 135. Если жеB > 0 , то выбираем новую ортонормированную систему коор-2°. Если→ →{O′, e1′ , e′2 } , получаемую из исходной поворотом противчасовой стрелки вокруг точки O на угол 0 < α ≤ π / 4, такой,чтобы коэффициент при произведении x ′y ′ оказался равнымдинатнулю. Выведем правило выбора этого угла. Рассмотрим поворот (см. § 1.8):→ →′ →e=ecosα+e112 sin α , →→→ e2′ = − e1 sin α + e2 cos α,→ →′OO=o,→ →тогда формулы перехода отиметь вид→ →{O, e1 , e2 } к {O′, e1′ , e′2 } будутГ л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве133 x = x ′ cos α − y ′ sin α , y = x ′ sin α + y ′ cos α .Подставляя выражения “старых” координат через “новые”, получаем уравнение 4.4.1 в видеA( x ′ cos α − y ′ sin α) 2 ++ 2 B( x ′ cos α − y ′ sin α)( x ′ sin α + y ′ cos α) ++ C ( x ′ sin α + y ′ cos α) 2 + 2 D( x ′ cos α − y ′ sin α) ++ 2 E ( x ′ sin α + y ′ cos α) + F = 0,или жеA ′x ′ 2 + 2 B ′x ′y ′ + C ′y ′ 2 + 2 D ′x ′ + 2 E ′y ′ + F ′ = 0 .Откуда находим, чтоA′ = A cos 2 α + 2 B cos α sin α + C sin 2 α ,2 B ′ = −2 A sin α cos α + 2 B cos 2 α −− 2 B sin 2 α + 2C sin α cos α ,C ′ = A sin 2 α − 2 B sin α cos α + C cos 2 α .Из условияB ′ = 0 следует, что2 B cos 2α − ( A − C ) sin 2α = 0,и окончательноtg 2α =2B12B; α = arctg, при A > C ,A−C2A−Cπпри A = C , то есть искомый угол найден.

За4метим, что угол α также может быть найден из равносильногоили жеα=уравненияtg 2 α +ибо еслиA−Ctg α − 1 = 0, B ≠ 0,BB = 0 , то поворота не требуется.134Аналитическая геометрия и линейная алгебра3°. Проверим, что при такой замене координат величиныA + C не изменятся. Действительно, из соотношений1 + ctg 2 2α = 1 + (и неравенстваsin 2α =0<α≤A−C 21=)2Bsin 2 2απполучаем42B4B 2 + ( A − C ) 2∆ и; cos 2α =A−C4B 2 + ( A − C ) 2A ′ и C ′ имеем1 + cos 2α1 − cos 2αA′ = A+ B sin 2α + C=22A+C A−CA+C=+cos 2α + B sin 2α =+222A−CA−C2B++B=24B 2 + ( A − C) 24B 2 + ( A − C ) 2Из предыдущих соотношений для значений=A+C 1+4B 2 + ( A − C ) 2 .22Аналогично получаем, чтоC′ =A+C 1−4B 2 + ( A − C ) 2 .22Теперь находим∆ ′ = detA′00C′=A+C21− (4 B 2 + ( A − C ) 2 ) =4A B= AC − B 2 = det= ∆,B C= A′C ′ =()2.Г л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве135то есть величина ∆ не меняется при выполняемой замене системы координат. Также очевидно, что при этом иA′ + C ′ = A + C .4°. В дальнейших рассуждениях будем полагать, что B = 0 , и рассмотрим отдельно случаи ∆ ≠ 0 и ∆ = 0 для уравнения видаAx 2 + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 .Пусть ∆ ≠ 0 .

Это означает, что A ≠ 0 и C ≠ 0 и уравнениелинии может быть переписано в видеD 2E 2 D2 E 2+C y+=+−F.ACACD2 E 2+− F , тогда, перейдя к новой ортоОбозначим P =ACA x+(())нормированной системе координат→→′e=eD11,′x=x−,→→Ae2′ = e2 ,E y = y′ − , →D→ E →COO ′ = − e1 − e2 , AC22получим Ax ′ + Cy ′ = P , и откуда следует, что±(±x′2P| |A2x′| C |2±) (2±y′2| A |2y′2P| |C= ±1 ;)P ≠ 0,2= 0;P = 0,и мы приходим, таким образом, к одному из шести следующихуравнений:136Аналитическая геометрия и линейная алгебраx′2 y′ 2+ 2 = 0;a2b2x′y′2− 2 = 0;a2bx′2 y′2+ 2 = 1;a2b2x′y′2−= 1;a2 b2x′ 2 y′ 2+ 2 = −1 для ∆ > 0,a2b2x′y′2−= −1 для ∆ < 0.a2 b2Первые пять из этих случаев содержатся в формулировке теоремы (табл.

4.4.1), а шестой сводится к пятому умножениемобеих частей уравнения на − 1 с последующим взаимным переобозначением переменных x ′ и y ′ .5°. Пусть ∆ = 0 . Это означает, что AC = 0 , то есть либо A = 0 ,либо C = 0 (но не вместе!). Пусть A = 0 (если это не так, товзаимно переобозначим переменные x ′ и y ′ ), тогда уравнение линиивидеCy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 может быть записано вECC y+(При)2=E2− F − 2 Dx, C ≠ 0.CD = 0 получаемC y+(EC)2=E2−F,Cто есть одно из трех уравненийy ′ 2 = a 2 ; y ′ 2 = 0; y ′ 2 = − a 2 .D ≠ 0 , то уравнение можно привести к видуE 22D1 E2y+=−x−−F ,CC2D C22и, таким образом, либо y ′ = 2 px ′ , либо y ′ = −2 px ′ , гдеp > 0.Если же()(())Г л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве137Первый из этих случаев указан в формулировке теоремы(табл. 4.4.1), а второй сводится к первому заменой координат:→ →′e=−e1 → → 1, x = − x ′, e2′ = e2 , → y = y ′. →′OO=o,Теорема доказана.Замечания.1°. В теореме 4.1.1 было показано, что порядок алгебраической линии, в том числе и для рассматриваемых в теореме 4.4.1 случаев, не меняется при замене системы координат.2°. Из доказательства теоремы также следует, что поворот и параллельный перенос ортонормированнойсистемы координат не допускают перемещенияуравнения линии второго порядка из одной строкитаблицы, приведенной в формулировке теоремы4.4.1, в другую.

Характеристики

Список файлов книги