Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Прямая и плоскость→Решение.→1°. Если векторы a1 и a 2 коллинеарны, тогда решениеаналогично приведенному на рис. 3.4.1 и дается формулой→ρ=S=→→→| [r02 − r01 , a1 ] |→| a1 |.| a1 |→→2°. Пусть векторы a1 и a 2 неколлинеарны, тогда построим паруплоскостей, параллельных этимвекторам, одна из которых со→держит точкуr01 , а другая точ-→куr02 (рис. 3.5.3).Объемпараллелепипеда,→строенного на векторах→иРис. 3.5.3по→a1 , a 2→r02 − r01 , равен, с одной сто-роны, произведению площадипараллелограмма, находящегосяв основании, на искомую вели→чину→→ →ρ и (r02 − r01 , a1 , a 2 ) –с другой. Откуда находим, что→ρ=→→→| (r02 − r01 , a1 , a 2 ) |→→| [a1 , a 2 ] |.118Аналитическая геометрия и линейная алгебра→ →Задача3.5.4.Даны плоскость→ →→( n , r ) = δ и прямая [ p, r ] = q .

Найти→R – радиус-вектор точки их пересечения.Решение. Умножив обе части уравнения прямой векторно слева на→→→ →→ →n , получим [ n ,[ p, r ]] = [ n , q ] . Подставляя в это соот→ношение искомый векторприходим к равенству→ → →R и применяя формулу § 2.8,→ → →→ →p ( n , R) − R ( n , p ) = [ n , q ] .→ПосколькуRпринадлежитданной→ →плоскости,то( n , R) = δ , и тогда при естественном ограничении→ →( n , p ) ≠ 0 получаем→R=→→ →δ p − [ n, q ]→ →( n , p).Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве119Глава 4НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫНА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ§ 4.1.

Линии на плоскости и в пространстве→ →Пусть дана система координатвое множествоным).Определение4.1.1.{O, g1 , g 2 } на плоскости и число-Ω, являющееся промежутком (возможно, бесконеч-Будем говорить, что линияL на плоскости задана па→раметрически вектор-функциейкоординатной форме→=rg→r = F (τ) (или вFx (τ),F y ( τ)Fx (τ), Fy (τ) – непрерывные, скалярные функцииаргумента τ , определенные для τ ∈ Ω ), еслигде1)для любого τ ∈ Ω точка→→r = F (τ) ле-жит на L;→2)для любой точкиr0 , лежащей на L, су-ществуетτ 0 ∈ Ω , такое, что выполненоравенствоr0 = F (τ 0 ) .→→120ИногдаАналитическая геометрия и линейная алгебралиниянаплоскостизадаетсяввидеуравненияG ( x , y ) = 0 , которое получается исключением параметра τ из сис x = Fx (τ)темы уравнений , τ∈Ω. y = Fy (τ)Пример4.1.1.1°. Прямая→→линия→задаетсявектор-функцией→→r = r0 + τ a , где a – направляющий вектор, а r0 –одна из точек данной прямой.

Скалярная форма задания прямой в этом случае имеет вид x = x 0 + τa x ,τ ∈ (−∞,+ ∞) , y = y 0 + τa y , Fx (τ) = x0 + τa x ,τ ∈ (−∞, + ∞) ,то есть (),Fτ=y+τay0yAx + By + C = 0 , A + B > 0 , гдеG ( x , y ) = Ax + By + C .или2°. В декартовой ортонормированной системе координат окружность радиусаR с центром в точкев параметрическом виде может быть задана как x = x0 + R cos τ,τ ∈ [0,2π) , то есть y = y 0 + R sin τ, Fx (τ) = x0 + R cos τ,τ ∈ [0,2π) , Fy (τ) = y 0 + R sin τ,или же уравнением( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = R 2 ,222где G ( x , y ) = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) − R .x0y0Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространствеОпределение4.1.2.121Линия называется алгебраической, если ее уравнениев декартовой системе координат имеет видm∑αk =0kxpkyqk= 0 , где p k и q k – целые неотрица-тельные числа, а числаα k не равны нулю одновре-менно.Определение4.1.3.ЧислоN = max { pk + q k } называется порядкомk =[ 0 , m ]алгебраического уравнения, указанного в определении 4.1.2, где максимум находится по всем k , длякоторыхα k ≠ 0 .

Наименьший из порядков алгеб-раических уравнений, задающих данную алгебраическую линию, называется порядком алгебраическойлинии.Пример4.1.2(алгебраические линии).Теорема4.1.1.x + 3y + 2 = 0( N = 1)y − x2 = 0( N = 2)Гиперболаxy − 1 = 0( N = 2)“Декартов лист”x 3 + y 3 − xy = 0( N = 3)ПрямаяКвадратнаяболапара-Порядок алгебраической линии не зависит от выборасистемы координат.Доказательство.Пусть алгебраическая линия L имеет в системе координат→→{O, g1 , g 2 } уравнение G ( x , y ) = 0 и порядок N . Перейдем→→к системе координат {O, g1′ , g 2′ } .

Формулы перехода, согласно соотношениям (1.8.2), имеют вид122Аналитическая геометрия и линейная алгебра x = σ11 x′ + σ12 y′ + β1 , y = σ 21 x′ + σ 22 y′ + β2 ,поэтому уравнение линии L в “новой” системе координат будетG (σ11 x ′ + σ12 y ′ + β1 , σ 21 x ′ + σ 22 y ′ + β 2 ) = 0.Отсюда следует в силу определения 4.1.2, что N ≥ N ′ , то естьпри переходе к “новой” системе координат порядок алгебраической кривой не может повыситься. Применяя аналогичныерассуждения для обратного перехода от системы координат→→→→{O, g1′ , g 2′ } к системе {O, g1 , g 2 } , получим N ≤ N ′ иокончательно N = N ′ .Теорема доказана.фигуры на плоскости можно задавать, используя ограничения типа неравенств.Замечание:Пример4.1.4.1°.В ортонормированной системе координат набор ус- x ≥ 0,ловий y ≥ 0,задает прямоугольный равx + y − 3 ≤ 0нобедренный треугольник, катеты которого лежат наосях координат и имеют длины 3.2°.В ортонормированной системе координат неравенство вида x + y − 4 ≤ 0 определяет круг радиуса 2с центром в начале координат.22Рассмотрим теперь случай линии в пространстве.

Пусть дана про→странственная система координат→→{O, g1 , g 2 , g 3 } .Г л а в а 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространствеОпределение4.1.4.Будем говорить, что линия123L в пространстве задана→параметрически вектор-функциейкоординатной форме→r = F (τ) (или вFx (τ)xy = Fy (τ) ,zFz (τ)где Fx ( τ), Fy ( τ), Fz ( τ) – непрерывные, скалярныефункции отτ , определенные для τ ∈ Ω ), если→1) для любого→τ ∈ Ω точка r = F (τ) ле-жит на L,→2) для любой точкиществуетr0 , лежащей на L, су-τ 0 ∈ Ω , такое, что выполнено→равенство r0→= F (τ 0 ) .Иногда линия в пространстве задается системой уравненийG ( x, y, z ) = 0, H ( x, y, z ) = 0,которая получается исключением параметра x = Fx (τ), y = Fy (τ), z = F (τ),zτ из соотношенийτ∈Ω,или же равносильным уравнением, например, видаG 2 ( x, y , z ) + H 2 ( x, y , z ) = 0 .Пример4.1.3.1°.

В декартовой системе координат алгебраическая линиявторого порядкаx 2 + y 2 = 0 ∀z является прямой.124Аналитическая геометрия и линейная алгебра2°.В ортонормированной системе координат винтоваялиния радиуса R с шагом 2πa может быть задана вследующем параметрическом виде: x = R cos τ, y = R sin τ , τ ∈ (−∞,+∞) , z = aτz x = R cos a ,или же z y = R sin .a§ 4.2. Поверхности в пространствеПусть→→имеетсяпространственнаясистемакоординат→{O, g1 , g 2 , g 3 } и Ω – множество упорядоченных пар чисел ϕ, θ ,заданное условиями: α ≤ ϕ ≤ β, γ ≤ θ ≤ δ .Определение4.2.1.Будем говорить, что в пространстве поверхностьзадана параметрически вектор-функцией→S→r = F (ϕ, θ) (или в координатной формеFx (ϕ, θ)→rg= Fy (ϕ, θ) ,Fz (ϕ, θ)Fx (ϕ, θ), Fy (ϕ, θ), Fz (ϕ, θ) – непрерывныескалярные функции двух аргументов ϕ, θ , определенные для ϕ, θ ∈ Ω ), еслигдеГ л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве1)125для любой упорядоченной пары чисел→→ϕ, θ ∈ Ω точка r = F (ϕ, θ) лежит на S,→2)для любой точки r0 , лежащей на S, существуетупорядоченнаяпарачиселϕ 0 , θ 0 ∈ Ω, таких, что выполнено равен→ство r0→= F (ϕ 0 , θ 0 ) .Иногда поверхность в пространстве задается в виде уравненияG ( x , y , z ) = 0 , которое получается исключением ϕ и θ из системыуравнений x = Fx (ϕ, θ), y = Fy (ϕ, θ), ϕ, θ ∈ Ω . z = F (ϕ, θ).zПример4.2.1.В ортонормированной системе координат сфера радиусаx0R с центром в точкеy0 может быть параметрическиz0задана в виде x = x0 + R cos ϕ sin θ, y = y 0 + R sin ϕ sin θ, z = z + R cos θ,00 ≤ ϕ < 2π,0 ≤ θ ≤ π,а ее уравнение в координатах( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = R 2 .126Аналитическая геометрия и линейная алгебраОпределение4.2.2.Поверхность называется алгебраической, если ееуравнение в декартовой системе координат имеет видm∑αk =0kxpkqy kzrk= 0 , где p k , q k и rk – целыенеотрицательные числа, а числаα k не равны нулюодновременно.Определение4.2.3.ЧислоN = max { pk + q k + rk } называется порядk =[ 0 ,m ]ком алгебраического уравнения, (указанного в определении 4.2.2), где максимум находится по всем k,для которых α k ≠ 0 .

Наименьший из порядков алгебраических уравнений, задающих данную алгебраическую поверхность, называется порядком алгебраической поверхности.Пример4.2.2(алгебраические поверхности).Теорема4.2.1.Прямой круговой цилиндрx2 + y2 −1 = 0( N = 2)x2 + y2 + z2 − R2 = 0( N = 2)СфераПорядок алгебраической поверхности не зависит отвыбора системы координат.Доказательство.Аналогично доказательству теоремы 4.1.1.Замечание: тела в пространстве можно задавать, используя ограни-чения типа неравенств.Г л а в а 4 .

Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве127§ 4.3. Цилиндрические и конические поверхности→Пусть в пространстве заданы система координат→→→{O, g1 , g 2 , g 3 }→и некоторая линия r = F (ϕ) , ϕ ∈ Ω , которую будем называть направляющей. Проведем через каждую точку направляющей линиипрямую, называемую образующей, параллельно некоторому ненуле→вому векторуОпределение4.3.1.a.Совокупность всех точек пространства, лежащих наобразующих данного вида, называется цилиндрической поверхностью.Составим уравнение цилиндрической поверхности в общем виде.→→→Во введенных обозначениях r = F (ϕ) + KM (см.

Характеристики

Список файлов книги