Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Тогда общие решения систем лиAT A by = o иTy = o ,Ty =0совпадают, и для этих систем максимальное число линейно независимых решений одинаково. Поэтому, согласно теоремам 6.7.1и 6.7.2,m − rg ATA= m − rgbTилиrg ATA= rgbT,но поскольку ранг матрицы не меняется при ее транспонировании, то имеет место равенствоrg A = rg A | b , означающеев силу теоремы 6.6.1 совместность системы линейных уравненийAx = b .Теорема доказана.Альтернативное доказательство теоремы Фредгольма приведено вглаве 10 (см.

теоремы 10.6.4 и 10.6.5).227Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений§ 6.8. Элементарные преобразования. Метод ГауссаПрактическое применение теорем 6.7.3 и 6.7.4 затрудняется тем,что заранее, как правило, неизвестно, совместна ли решаемая система.Определение же рангов основной и расширенной матриц независимоот поиска решений оказывается весьма нерациональной (с точки зрения расходования вычислительных ресурсов) процедурой.Более эффективным вычислительным алгоритмом, позволяющимлибо находить общее решение системы (6.6.1), либо устанавливатьфакт ее несовместности, является метод Гаусса.Суть этого метода заключается в приведении расширенной матрицы системы линейных уравнений к наиболее простому виду последовательностью так называемых элементарных преобразований, каждоеиз которых не меняет общего решения системы уравнений.Под “наиболее простым” видом расширенной матрицы мы будемпонимать верхнюю треугольную форму (т.е.

случай, когда α ij = 0при i > j ), для которой возможно рекуррентное нахождение неизвестных путем лишь решения на каждом шаге процедуры линейногоуравнения с одним неизвестным. Ниже приведен пример матрицыразмера m × n ( n > m) , имеющей верхнюю треугольную формуa11a12a13... a1, m − 2a1, m −1a1, ma1, m +1...a1n0a 22a 23...

a 2, m − 2a 2, m −1a 2, ma 2, m +1...a 2n0...0...a 33...... a 3, m − 2......a 3, m −1...a 3, m...a 3, m +1.........a 3n...000...0a m −1, m −1a m −1, m000...00a mm.a m −1, m +1 ... a m −1,na m, m +1...a mnК элементарным преобразованиям матрицы относятся:перестановка строк (перенумерация уравнений);перестановка столбцов основной матрицы (перенумерация неизвестных);228Аналитическая геометрия и линейная алгебраудаление нулевой строки (исключение уравнений, тождественно удовлетворяющихся любыми значенияминеизвестных);умножение строки на ненулевое число (нормированиеуравнений);сложение строки с линейной комбинацией остальныхстрок с записью результата на место исходной строки(замена одного из уравнений системы следствием ееуравнений, получаемым при помощи линейных операций).Решение неоднородной системы уравнений (равно как и ранг еематрицы) не изменится также и при использовании любой комбинации элементарных операций.Непосредственной проверкой можно убедиться, что элементарныепреобразования любой матрицы могут быть выполнены при помощиумножения ее на матрицы следующего специального вида.

Например:--перестановка столбцов с номерамиAразмераi и j матрицыm × n осуществляется путем ее умно-S 1 размера n × n , котораяв свою очередь получается из единичной матрицы n го порядка E путем перестановки в последней i -гои j -го столбцов;жения справа на матрицу-i -й строки матрицыумножениечисло λ ≠Aна некоторое0 осуществляется путем умноженияслева на матрицуной размераAS 2 , которая получается из единич-m × m матрицы E путем замены в по-следней i -го диагонального элемента (равного единице) на λ ;229Г л а в а 6 . Системы линейных уравнений-сложение строк с номерамиi и j матрицы A осу-ществляется путем ее умножения слева на матрицуS 3 размера m × n , которая получается из единич-mной матрицы порядкаEпутем замены в по-следней нулевого элемента, стоящего в i -й строке иj -м столбце, на единицу (при этом результат суммирования окажется на местеA ).рицыцаi -й строки исходной мат-В дальнейшем (см.

теорему 8.4.3) будет показано, что если матриS квадратная и невырожденная и возможно умножение матри-цыS на матрицу A , то справедливо равенствоrg ( S A ) = rg A .Посколькурангdet S1= −1 , det S2= λ ≠ 0 и det S3= 1 , тоA при рассмотренных выше преобразованиях не меняется.Проверьте самостоятельно, что будут также справедливы следующие теоремы.Теорема6.8.1.Последовательное применение нескольких элементарных преобразований есть новое преобразование, которое имеет матрицу, являющуюся произведением матриц данных элементарных преобразований.Теорема6.8.2.Если умножение матрицыматрицуSнад строкамиSTA слева на квадратнуюреализует некоторое преобразованиеA , то умножениеAсправа нареализует то же самое преобразование матрицыA , но выполненное над ее столбцами.230Аналитическая геометрия и линейная алгебраОтмеченные свойства элементарных преобразований позволяют вряде случаев упрощать вычислительные процедуры с матричными∗Sвыражениями. Пусть, например,есть матрица преобразования,Aпереводящего невырожденную матрицупреобразование с матрицей∗Sв единичную.

Тогдапереведет единичную матрицу−1E в матрицу A , поскольку в силу E = Sрожденности A справедливы равенстваEA−1= S∗AA−1Aили−1∗= SA и невы∗E .Из этих соотношений следует, что вычисление произведения квадратных матрицA−1B может быть сведено к последовательностиA | B (то есть матрицы,элементарных преобразований матрицыB к матрице A ),образованной добавлением столбцов матрицыA к единичной. В результате искомоеприводящих подматрицупроизведение оказывается на месте подматрицыB .Проиллюстрируем применение метода Гаусса на примере решенияследующей системы линейных уравнений.Задача Решить систему уравнений:6.8.1. ξ13ξ 15ξ1+ξ2+ξ3+ξ4+ξ5=+ 2ξ 2+ξ3+ξ4− 3ξ 5= − 2,ξ2+ 4ξ 2+ 2ξ 3+ 3ξ 3+ 2ξ 4+ 3ξ 4+ 6ξ 5− ξ5==7,23,12.231Г л а в а 6 . Системы линейных уравненийРешение.1°.Составляем расширенную матрицу системы1 1 1 1173 2 1 1 −3 −2.0 1 2 2 6 235 4 3 3 − 1 122°.Приводим ее к верхнему треугольному виду.

Для этогоа)преобразуем в нули все элементы первого столбца, кромеэлемента, стоящего в первой строке. Например, для зануления элемента, стоящего во второй строке первого столбца, заменим вторую строку матрицы строкой, которая является суммой первой строки, умноженной на ( − 3 ), ивторой строки. Аналогично поступаем с четвертой строкой: ее заменяем линейной комбинацией первой и четвертой строк с коэффициентами ( − 5 ) и 1 соответственно.Третью, естественно, не меняем: там уже имеется необходимый для треугольного вида ноль. В итоге матрица приобретает вид1 111170 − 1 − 2 − 2 − 6 − 23;0 1226230 − 1 − 2 − 2 − 6 − 23б)выполняем теперь операцию зануления элементов второгостолбца, стоящих в его третьей и четвертой строках.

Дляэтого третью строку матрицы заменяем суммой второй итретьей, а четвертую – разностью второй и четвертой. Получаем232Аналитическая геометрия и линейная алгебра1111170 − 1 − 2 − 2 − 6 − 23;0 000000в)00000поскольку в данном конкретном случае элемент, расположенный в четвертой строке третьего столбца, оказалсяравным нулю, то приведение расширенной матрицы кверхнему треугольному виду завершено.3°. Полученная матрица является расширенной матрицей системылинейных уравнений, равносильной исходной системе. Ранг этойматрицы совпадает с рангом исходной. Потому заключаем, чтоа) система совместна, поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен 2 (по теореме 6.6.1 Кронекера–Капелли);б) однородная система уравнений будет иметь по теореме6.7.1n − rg A = 5 − 2 = 3 линейно независимых ре-шения.4°.

Поскольку общее решение неоднородной системы есть общеерешение однородной плюс частное решение неоднородной, тонам достаточно найти три любых линейно независимых решенияоднородной системы и какое-нибудь одно решение неоднородной.Перепишем исходную систему в преобразованном виде, принявпервое и второе неизвестные за основные, а третье, четвертое ипятое – за свободные:ξ 1+ ξ2ξ2= 7 − ξ3= 23 − 2ξ 3− ξ4− 2ξ 4− ξ5 ,(6.8.1)− 6ξ 5 .233Г л а в а 6 .

Системы линейных уравненийВторое уравнение для удобства вычислений умножим на (−1 ) , атретье и четвертое уравнения отбросим как удовлетворяющиесятождественно.Положив в системе (6.8.1) свободные неизвестные равными ну-− 1623лю, находим частное решение неоднородной системы0 .00Значения основных неизвестных определяются из легко решаемой системы линейных уравнений ξ1+ ξ2ξ2= 7,= 23.Для однородной системыξ 1+ ξ2ξ2= 0 − ξ3= 0 − 2ξ 3− ξ4− 2ξ 4− ξ5 ,− 6ξ 5строим нормальную фундаментальную систему решений по схеме, использованной при доказательстве теоремы 6.7.1.

Первое1−2независимое решение1 находится из системы00ξ 1+ ξ2ξ2= −1,= − 2.234Аналитическая геометрия и линейная алгебра1−2Аналогично получаются015−6и000– второе и третье ре-1шения.Окончательно общее решение исходной неоднородной системы в матричном виде может быть записано как:ξ11ξ2−2ξ 3 = λ1 1ξ40ξ50Замечание:+ λ215−2−60 + λ3 01001− 1623+000∀λ1 , λ 2 , λ 3 .поскольку существует свобода выбора как частногорешения неоднородной системы, так и линейно независимых решений однородной, то общее решение неоднородной системы может быть записано в различных,но, естественно, равносильных формах.235Г л а в а 7 .

Линейное пространствоГлава 7ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО§ 7.1. Определение линейного пространстваОпределение7.1.1.Множество Λ , состоящее из элементов x, y , z ,K ,для которых определена операция сравнения8, называется линейным пространством, если1°.Каждой паре элементов x, y этого множествапоставлен в соответствие третий элемент этогоже множества, называемый их суммой и обозначаемый x + y , таким образом, что выполнены аксиомыа) x + y = y + x ;б) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ;в) существует нулевой элемент o , такой, что для любого x ∈ Λ имеетместо x + o = x ;г) для каждого x существует противоположный элемент (− x ) , такой, что8x + (− x ) = o .Эта операция дает возможность устанавливать факты «равенства( x = y)или «неравенстваxтов принадлежащих множествуи y»Λ.( x ≠ y)x и y»для любой пары двух элемен-236Аналитическая геометрия и линейная алгебра2°.3°.Для любого элемента x и любого числа λ существует такой принадлежащий Λ элемент,обозначаемый λ x и называемый произведением числа на элемент, что выполнены аксиомы:а) 1x = x ;б) (λµ ) x = λ (µ x ) .Для операций сложения элементов и умноженияэлемента на число выполнены аксиомы дистрибутивности:а) (λ + µ) x = λ x + µ x ;б)Замечания.1°.2°.Пример7.1.1.λ( x + y ) = λ x + λ y ∀x, y ∈ Λ ; идля любых чисел λ, µ .Под “числами” в аксиомах второй и третьейгрупп подразумеваются действительные иликомплексные числа.Первая группа аксиом равносильна требованию, чтобы Λ являлось абелевой группой относительно операции сложения (см.

§ 5.6).Линейным пространством является 9:1°. Множество всех векторов на плоскости.2°. Множество всех векторов в пространстве.3°. Множество всехn -компонентных столбцов.4°. Множество всех многочленов степени не выше,чем n .5°. Множество всех матриц размера9m× n .Предполагается, что операции сложения и умножения на число выполняются в соответствии с ранее данными определениями.237Г л а в а 7 .

Линейное пространство6°.C[α, β] – множество всех функций, непрерывныхна [α, β] .7°. Множество всех решений однородной системылинейных уравнений с n неизвестными.Задача7.1.1.mПоказать, что в общем случае множество радиусов→ →векторов точек, принадлежащих плоскости ( n , r ) = δ ,не является линейным пространством.

Характеристики

Список файлов книги