Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Выяснить, прикаких значениях параметра δ данное множество будетлинейным пространством.Задача7.1.2.Показать, что множество, состоящее из одного нулевогоэлемента, является линейным пространством.Задача7.1.3.Будет ли линейным пространством множество всех положительных чиселR+ ?Решение. Ответ зависит от способа введения операций сложения иумножения на число элементов рассматриваемого множества.1°. Пусть операции вводятся “естественным” образом.В этом случае множество положительных чисел необразует линейного пространства, поскольку в немотсутствует нулевой элемент.2°. Если операцию “сложения” определить как обычное произведение двух чисел, а “умножение начисло λ ” определить как возведение положительного числа в степень λ , то множество положительных чисел будет являться линейным пространством, в котором роль нулевого элемента играетчисло “1”.238Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема7.1.1.Линейное пространство имеет единственный нулевойэлемент.Доказательство.Пусть существуют два различных нулевых элементаo1 и o2 .Тогда, согласно аксиоме 1°(в) из определения 7.1.1 линейногопространства, будут справедливы равенстваo1 + o2 = o1 и o2 + o1 = o2 .Откуда в силу коммутативности операции сложения получаемo1 = o2 .Теорема доказана.Теорема7.1.2.Для каждого элемента x линейного пространстваимеет место равенство 0 x = o .Доказательство.Из аксиоматики линейного пространства имеемx = 1x = (0 + 1) x = 0 x + 1x = 0 x + x.Прибавляя к обеим частям равенства x = 0 x + x элемент y ,противоположный элементу x , получаем, что 0x = o .Теорема доказана.Теорема7.1.3.Для каждого элемента линейного пространства существует единственный противоположный элемент.Доказательство.x существуют два различных противоположных элемента y1 и y 2 .
Тогда, согласно аксиоме 1°(г) лиПусть для элементанейногопространства,будутсправедливыравенстваx + y1 = o и x + y 2 = o . Прибавим к обеим частям первогоравенства элемент y 2 , получим239Г л а в а 7 . Линейное пространствоy 2 + ( x + y1 ) = y 2в силу ассоциативности операции сложения и второго равенства. Но, с другой стороны,y 2 + ( x + y1 ) = ( y 2 + x ) + y1 = o + y1 = y 1 ,то естьy 2 = y1 .Теорема доказана.Теорема7.1.4.Для каждого x ∈ Λ противоположным элементомслужит элемент ( −1) x .Доказательство.Из аксиоматики линейного пространства и в силу теорем 7.1.2–7.1.3 имеемo = 0 x = (1 − 1) x = 1x + (−1) x = x + (−1) x .Это равенство и означает, что противоположный к x элементимеет вид ( −1) x .Теорема доказана.§ 7.2 Линейная зависимость, размерность и базисв линейном пространствеnОпределение7.2.1.1°.
Выражение∑λi =1ixiкомбинацией элементовназываетсялинейнойx1, x2 ,..., x n линейно-го пространства Λ .2°. Элементы x1 , x 2 , ... , x n линейного пространства Λ называются линейно зависимыми, еслисуществуют числа λ1 , λ 2 ,..., λ n , не равные нуnлю одновременно, такие, что∑λi =1ixi = o .240Аналитическая геометрия и линейная алгебра3°. Элементыстваx1 , x 2 , ... , x n линейного простран-Λ называются линейно независимыми, есnли из равенства∑λi =1ixi = o следует, чтоλ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0 .Лемма7.2.1.Для того чтобы некоторое множество элементов линейного пространства было линейно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементовявлялся линейной комбинацией остальных.Доказательство.Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.4.1, в котором слово “вектор” заменено словом “элемент”.Лемма7.2.2.Еслинекотороеподмножествоэлементовx1 , x 2 , ...
, x n линейно зависимо, то линейно зависимыи сами элементы x1 , x 2 , ... , x n .Доказательство.Без ограничения общности можно предположить, что линейнозависимое подмножество состоит их первых k < n элементовмножества x1 , x 2 , ... , x n . Тогда существуют не равные нулюλ1 , λ 2 ,..., λ k , такие, чтоодновременно числаk∑λi =1Но это равенство можно записать в видеkni =1i = k +1∑ λ i xi +∑ 0xi=o,что и доказывает линейную зависимость элементовx1 , x 2 , ...
, x n .Лемма доказана.ixi = o .241Г л а в а 7 . Линейное пространствоОпределение7.2.2.Определение7.2.3.Базисом в линейном пространстве Λ называется любой упорядоченный набор его n элементов, если1)эти элементы линейно независимые;2)любое подмножество в Λ , содержащееn + 1 элемент, включая эти n элементов, линейно зависимое.Линейное пространствоΛ называется n-мерным иобозначается Λ , если в нем существует базис, состоящий из n элементов.
Число n называется разnмерностью линейного пространстваетсяТеорема7.2.1.dim( Λn ) .Λn и обознача-Для каждого элемента линейного пространства Λсуществует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов.nДоказательство.линейном пространстве Λ{g1 , g 2 ,..., g n } и произвольный элементПустьnвзаданыбазисx . Тогда по определению базиса система элементов {g1 , g 2 ,..., g n , x} линейно зависима и по лемме 7.2.1 элемент x является линейнойкомбинацией элементов g1 , g 2 ,..., g n .
Существование разложения, таким образом, доказано.Покажем теперь единственность разложения. Допустим, чтосуществуют две различные линейные комбинацииnni =1i =1x = ∑ ξ i gi и x = ∑ ηi gi .Тогда получаем, чтоn∑ (ξi =1i− ηi )gi = o ,242Аналитическая геометрия и линейная алгебрано это означает, что при данном допущении система элементовg1 , g 2 ,..., g n линейно зависима. Полученное противоречиедоказывает единственность.Теорема доказана.В общем случае линейное пространство может не иметь базиса.Таким свойством обладает, например, линейное пространство, состоящее из одного нулевого элемента.
В таблице 7.2.1 приведеныпримеры базисов в линейных пространствах.Таблица 7 .2 .1Примеры базисов в линейных пространствахЛинейное пространствоРазмерностьМножествовсех радиусоввекторовнаплоскости2Упорядоченная пара неколлинеарныхвекторов на плоскости.Множествовсех векторов впространстве3Упорядоченная тройка нормированных,попарно ортогональных векторов.Множествовсех n -компонентныхстолбцовnn cтолбцов вида1000100 ; 0 ; 1 ; ...... ... ...000Пример базиса000 ....1243Г л а в а 7 .
Линейное пространствоМножествовсех алгебраических многочленов степенине выше, чемn +1n + 1 одночлен видаP1 (τ) = 1 ; P2 (τ) = τ;P3 (τ) = τ 2 ; P4 (τ) = τ 3 ;n... ;Pn (τ) = τ n−1 ; Pn+1 (τ) = τ n .Множествовсех матрицразмера m× nМножествовсех функций,непрерывныхна [α, β]Множестворешений однородной системы m линейных уравненийс n неизвестнымиирангом основной матрицы,равным rn⋅m∞n−rn ⋅ m всевозможных различных матрицразмера m× n , все элементы которыхравны нулю, кроме одного, равного 1.Базис не существует10.Нормальная фундаментальная системарешений.10В этом линейном пространстве (вопреки определению 7.2.2) для любогонатурального n можно построить линейно независимый набор, состоящийизn + 1 элемента.
Например, множество функций вида{ 1, τ, τ 2 , K, τ n } .244Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 7.3. Подмножества линейного пространстваПодпространствоОпределение7.3.1.Непустое множество Ω , образованное из элементовлинейного пространстваΛ , называется подпространством этого линейного пространства, если длялюбых x , y ∈ Ω и любого числа λ1) x + y ∈ Ω ,2) λx ∈ Ω .Замечание:Пример7.3.1.из определения 7.3.1 следует, что множество Ω самоявляется линейным пространством, поскольку для него,очевидно, выполняются все аксиомы операций в линейном пространстве.1°. Множество радиусов-векторов всех точек, лежащих на некоторой плоскости, проходящей черезначало координат, является подпространством вомножестве радиусов-векторов всех точек трехмерного геометрического пространства.2°.
Множество всех многочленов степени не выше,чем n , есть подпространство в линейном пространстве непрерывных функций C[α, β] .3°. В пространстве n -мерных столбцов совокупностьрешений однородной системы линейных уравненийс n неизвестными и с основной матрицей ранга rобразует подпространство размерности n − r .4°. Подпространством любого линейного пространствабудет:а) само линейное пространство;б) множество, состоящее из одного нулевогоэлемента.245Г л а в а 7 . Линейное пространствоОпределение7.3.2.Пусть даны два подпространствапространства Λ . ТогдаΩ1 и Ω 2 линейногоΩ1 и Ω 2 называется множество элементов x ∈ Λ , таких,что x ∈ Ω1 либо x ∈ Ω 2 . Объединение подпространствΩ1 и Ω 2 обозначаетсяΩ1 ∪ Ω 2 .1°.
Объединением подпространствΩ1 и Ω 2 называется множество элементов x ∈ Λ , принадлежащих Ω1 и Ω 2 одновременно. Пересечение подпространств Ω1 и Ω 2 обозначается Ω1 ∩ Ω 2 .2°. Пересечением подпространствΩ1 и Ω 2 называетсясовокупность всех элементов x1 + x 2 ∈ Λпри условии, что x1 ∈ Ω1 и x 2 ∈ Ω 2 . Суммаподпространств Ω1 и Ω 2 обозначаетсяΩ1 + Ω 2 .3°. Суммой подпространств4°. Прямой суммой подпространств Ω1 и Ω 2 называетсясовокупностьвсехэлементовx1 + x 2 ∈ Λ при условии, что x1 ∈ Ω1 иx2 ∈ Ω 2 и Ω1 ∩ Ω 2 = {o} . Прямая суммаобозначается Ω1 ⊕ Ω 2 .Покажите самостоятельно, что справедлива246Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема7.3.1.Как сумма, так и пересечение подпространствТеорема7.3.2.Размерность суммы подпространствравнаΩ 2 в Λ суть также подпространства в Λ .Ω1 иΩ1 и Ω 2dim(Ω1 + Ω 2 ) == dim(Ω1 ) + dim(Ω 2 ) − dim(Ω1 ∩ Ω 2 ).Доказательство.1°.
ПустьΩ1 ∩ Ω 2подпространствоимеетбазис{g1 , g 2 ,..., g k } и соответственно размерность k. Дополним этот базис элементами {g1′ , g ′2 ,..., g l′ } до базиса в′′ } до базиса в Ω 2 . ВΩ1 и элементами {g1′′, g ′2′ ,..., g mэтом случае каждый элемент x ∈ Ω1разложен по системе элементов+ Ω 2 может быть′′ }.{g1, g 2 ,..., g k , g1′ , g ′2 ,..., g l′ , g1′′, g ′2′ ,..., g m2°. Покажемтеперь,чтонаборэлементов{g1, g 2 ,..., g k , g1′ , g ′2 ,..., g l′ , g1′′, g ′2′ ,..., g ′m′ } линейно независим в Λ .Рассмотрим некоторую, равную нулевому элементу, линейную комбинацию этих элементов:lkmi =1j =1p =1~x = ∑ λ ′i g i′ + ∑ λ j g j + ∑ λ ′p′ g ′p′ = o .mЗаметим, что по построению∑ λ ′′ g ′′ ∈ Ωp =1pp2,(7.3.1)247Г л а в а 7 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
