Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть в Λn даны два базиса{g1 , g 2 ,..., g n } и {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } ,Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве281G , а в Λm – два базисасвязанные матрицей перехода{ f 1 , f 2 ,..., f m } и { f 1′, f 2′,..., f m′ }с матрицей переходаÂfgиAˆf ′g ′F . Найдем соотношение, связывающее.В этом случае справедливаТеорема8.3.2.AˆМатрица линейного оператораf ′g ′в базисах{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } и { f 1′, f 2′,..., f m′ } связана с матрицейэтого же оператораÂfgв базисах{g1, g 2 ,..., g n } и{ f 1 , f 2 ,..., f m } соотношениемAˆ′′fg= F−1AˆfgG .Доказательство.{g1, g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } компоненты элементов x – прообраза, и y –По теореме 7.3.1 при переходе от базиса , в этих базисах связаны раи y f = Fy f ′ , гдеобраза при действии операторавенствамиxg= Gxg′ξ1x g=ξ2...ξn; x′g′=ξ1′ξ′2...ξ′n,282Аналитическая геометрия и линейная алгебраyаfη1′η′y f′ = 2 ....η′mη1η= 2 ;...ηmПри этом в рассматриваемых базисах образы и прообразы элементов связаны соотношениямиyf= Aˆfgxyиgf′= Aˆxf ′g ′,g′но поскольку матрица перехода имеет обратную, то из выписанных соотношений последовательно получаемyf′= F−1= F−1y= FfAˆfgG−1xAˆg′xfgg=.Наконец, приходим к равенству(Aˆf ′g ′− F−1AˆfgG ) xg′из которого в силу произвольности столбца= o ,xg′и леммы5.1.2 следует утверждение теоремы.Теорема доказана.Следствие8.3.2.Матрица линейного преобразования при переходе отбазиса{g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } в Λnизменяется по правилуAˆg′= S−1AˆgS .Г л а в а 8 .
Линейные зависимости в линейном пространствеСледствие8.3.3.283Определитель матрицы линейного преобразованияне зависит от выбора базиса вΛn .Доказательство.Из утверждения теоремы 8.3.2 следуетdet Aˆg′= det ( S−1AˆgS ),но посколькуdet ( S−1AˆS ) = (det Sgиаdet S−1=−1)(det Aˆ g )(det S )1det S,det S ≠ 0 , то окончательно получаем, чтоdet Aˆg′= det Aˆ g .Следствие доказано.Отметим, наконец, что в силу теоремы 8.3.2 в любом базисе нулевой оператор будет иметь нулевую матрицу, а единичный оператор –единичную.§ 8.4. Область значений и ядро линейного оператораТрактуя линейный оператор, действующий в линейном пространстве как некоторое обобщение понятия функции, естественно рассмотреть вопрос об области определения и области значений линейных операторов.$ будем пониматьПод областью значений линейного оператора Aмножество образов всех элементов x ∈ Λ , то есть элементов вида$ . В этом случае очевидно, что для любого линейного оператораAxего область определения совпадает с Λ .284Аналитическая геометрия и линейная алгебраОтвет на вопрос: “Что представляет собой область значений линейного оператора?” даетТеорема8.4.1.A$ – линейный оператор, действующий в линейном пространстве Λ .
ТогдаПусть1°°. Множество элементовстранство вÂx ∀x ∈ Λ есть подпро-Λ.Λ = Λn с базисом{g1 , g 2 ,..., g n } ,2°°. Если, кроме того,то размерность этого подпространства равнаrg Âg.Доказательство.ПустьΛ∗ есть множество элементов вида$ и пустьAxy1 , y 2 ∈ Λ∗ . Тогда существуют x1 ∈ Λ и x 2 ∈ Λ , такие, что$ = y и Ax$ = y . По свойству линейности оператораAx1122A$ имеемy1 + y 2 = Aˆ x1 + Aˆ x 2 = Aˆ ( x1 + x 2 ) ∈ Λ∗ .ˆ x = Aˆ (λ x) ∈ Λ∗ и потому Λ∗ естьАналогично λ y = λ Aподпространство Λ .Λ = Λn с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } . Посколькукаждый элемент x ∈ Λ есть линейная комбинация базисныхПусть теперьэлементов, то соответственно в силу линейности каждый эле-A$ есть та же линейная комбинаˆ g , Aˆ g ,..., Aˆ g , то есть Λ∗ − линейнаяция элементов A12nˆˆˆ g }.оболочка множества { Ag , Ag ,..., Aмент из области значений12nГ л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеВыделим из множества285{ Aˆ g1 , Aˆ g 2 ,..., Aˆ g n } максимальноеподмножество линейно независимых элементов, и пусть числоих оказалось равным k.Тогда, применяя теорему 7.4.1, приходим к заключению, чторазмерность Λ* есть k, а из теоремы 7.5.2 следует, что иrg A$g=k.Теорема доказана.Определение8.4.1.$ вРангом линейного оператора Aразмерность его области значений.Ранг линейного оператораСледствие8.4.1.rg Aˆ = rg AˆgΛn называетсяA$ обозначается как rg  .≤ n и не зависит от выбора бази-са.Следствие8.4.2.Размерность области значений линейного оператораA$ , действующего на некотором подпростран-стве линейного пространстваходитΛ∗ ⊆ Λ , не превос-dim(Λ∗ ) .Доказательство.∗Поскольку подпространство Λ является линейным пространством, то к нему применима теорема 8.4.1.Следствие доказано.Теорема8.4.2.$ иРанг произведения линейных операторов Aпревосходит ранга каждого из этих операторов.B$ не286Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство.$ $ .
ПоРассмотрим область значений линейного оператора ABследствию 8.4.2 это подпространство имеет размерность небольшую, чем размерность области значений оператораС другой стороны, область значений оператора$ $ содержитABA$ , и, следовательно, размер-ся в области значений оператораность области значенийB$ .$ $ не превосходит размерности обABA$ .ласти значенийТеорема доказана.A невырожденная, то дляТеорема Если квадратная матрица8.4.3.Bлюбой квадратной матрицыrg ( AB ) = rg ( Bтого же размераA ) = rg B .Доказательство.A и B как координатные$ и B$ в некотором бапредставления линейных операторов AБудем рассматривать матрицызисе.Еслиdet A ≠ 0 , то существует8.4.2 имеем, с одной стороны,другой –rg B = rg ( AПоэтомуrg( AТеорема доказана.−1Arg ( A−1и в силу теоремыB ) ≤ rg B , но сAB ) ≤ rg ( AB ) = rg( BA ) = rg B .B ).Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеЗамечания.
1°. Если матрицаBне квадратная, но существуетодно из произведенийdet A ≠ 0приABBилитакжеверныA , торавенстваB ) = rg B или соответственноrg ( AA ) = rg B .rg ( BВ этом можно убедиться, заменив матрицурицей287B∗B мат-, являющейся дополнением нулевымистолбцами или нулевыми строкамиB до квадрат-ной так, чтобы существовалиAB∗B∗илиA , ибо очевидно, чтоrg B∗= rg B .2°. Ранг произведения матриц может быть меньше рангов каждого из сомножителей.
Например:1 00 00 00 1=0 00 0.Другой важной характеристикой линейного оператора является совокупность элементов линейного пространства Λ , называемая ядромлинейного оператора и обозначаемаяОпределение8.4.2.ker  .Ядро линейного оператора$ = o.x ∈Λ, таких, что AxA$ состоит из элементов288Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема8.4.4.Λ = Λn и rg Aˆ = r , то ker A$ есть подпространˆ) = n− r .ство и dim( ker AЕслиДоказательство.Непосредственной проверкой можно убедиться, что длявыполняются условия определения 7.4.1.ker A${g1 , g 2 ,..., g n } оператор  имеет матрицу$ = r для любого. По следствию 8.4.1 rg AgПусть в базисеAˆg= α ijбазиса. Тогда в координатной форме условие принадлежностиx ∈ Λn с xнекоторого элементаA$ имеет видn∑αj =1ijgξ1ξ= 2 ядру оператора...ξnξ j = 0 ; i = [1, n].С другой стороны, поскольку каждое решение однородной системы линейных уравненийn∑αj =1ijξ j = 0 ; i = [1, n]$ , то размерность ядраявляется элементом ядра оператора Aесть максимальное число линейно независимых решений этойсистемы уравнений, которое, согласно теореме 6.7.1, равноn − rg A$g= n−r.Теорема доказана.Г л а в а 8 .
Линейные зависимости в линейном пространстве289Типы линейных отображенийКак было отмечено в § 8.1, в тех случаях, когда область значенийоператора не принадлежит области определения, следует говорить оботображении.В § 7.5 было использовано понятие взаимно однозначного отображения, называемого иногда биекцией. Для отображений также выделяются специальные случаи так называемых инъективных и сюръективных отображений. Рассмотрим эти случаи подробнее.Определение8.4.3.Отображениеy = Aˆ x ,x ∈ Ω,екцией), если из условияВслучаеy = Aˆ x ,x1 = x2 ,x1 , x2 ∈Ω .инъекциимножествоx ∈ Ω,Определение8.4.4.y ∈ Θ множестваΩ в множество Θ называется инъективным (или инъ-всехAˆ x1 = Aˆ x 2 вытекаетзначенийоператораy ∈ Θ может не совпадать с Θ .y = Aˆ x , x ∈ Ω, y ∈ Θ множестваΩ на множество Θ называется сюръективным (илисюръекцией), если каждый элемент из Θ имеет прообраз в Ω .ОтображениеВ случае сюръекции прообраз любого элемента из Θ всегда существует в Ω , но, вообще говоря, он не единственен.
В таблице 8.4.1для сравнения приведены примеры отображений различных типов.A$ отображает элементы Λ в элементы Λ с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } , тоЗаметим, что в частном случае, когда линейный операторnnесть является преобразованием в Λ , оказывается возможным следующее дополнение к определению 8.3.1.n290Аналитическая геометрия и линейная алгебраТаблица 8.4.1Примеры отображений различных типовТип отображенияИнъективноеНеинъективноеСюрьективноеНесюрьективноеОпределение8.4.5.Квадратная матрицаÂgпорядкаn , столбцы кото-рой есть координатные представления элементовAˆ g1 , Aˆ g 2 ,..., Aˆ g nв базисе {g1 , g 2 ,..., g n } , называется матрицей ли$ в базисе {g , g ,..., g }.нейного преобразования A12nОтметим также, что в конечномерном случае сюръективность ото-Aˆ : Λn → Λm означает выполнение условия Θ = Λm , аˆ = { o } .
Откуда следует, что справединъективность – условия ker AбраженияливаГ л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеТеорема8.4.5.291Ранг матрицы линейного оператора, являющегосясюръективным отображением, равен числу ее строк, аранг матрицы инъективного отображения равен числуее столбцов.Доказательство.1º. Пусть в базисахAˆ : Λ → Λmниеrg AˆAˆ{g1 , g 2 ,..., g n } и { f 1 , f 2 ,..., f m } отображе-nfgfgxg= yffgпричем,∀ yпо теореме 6.6.1 (Кронекера−Капелли)f∈ Λm , поскольку для ее расширеннойrg Aˆ y = m .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
