Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 29
Текст из файла (страница 29)
α nn − λg= 0 называется характе-уравнением,g(8.5.2)аопределитель– характеристическим многочленомA$ , действующего в Λ n .Характеристический многочлен линейного операторане зависит от выбора базиса вΛn .Доказательство.Заметим, что операторAˆ − λ Eˆ , очевидно, линейный в силулинейности операторов Â и Ê . Тогда, согласно следствию8.3.3, определитель его матрицы не меняется при замене базиса.Поэтому при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } имеем:det Aˆ − λ EˆТеорема доказана.g′= det Aˆ − λ Eˆg.Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве303Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n -й степени относительно λ , что следует из определения детерминанта 6.1.2 и формулы (8.5.2).Таким образом, мы получаем универсальный для Λ алгоритмвычисления собственных значений и соответствующих им собственных векторов:nРешив характеристическое уравнение (8.5.2), из однородной системы уравнений (8.5.1) можно найти собственные векторы, соответствующие последовательно подставляемым в основную матрицу этой системы,найденным собственным значениям.Примеры использования данного алгоритма в Λ иллюстрируютрешения задач 8.6.1 и 8.6.2.
В случае же линейных пространств, неимеющих базиса, задача отыскания собственных значений и построения собственных векторов может оказаться значительно сложнее. Например, в линейном пространстве функций, имеющих на некотороминтервале производную любого порядка, линейный оператор дифференцирования имеет бесконечно много собственных векторов видаf (τ) = α e λτ (где α – произвольная ненулевая константа) и соотnветствующих им собственных значенийλ , находимых из дифферен-dfциального уравнения=λf .dτ§ 8.6. Свойства собственных векторови собственных значенийТеорема8.6.1.В комплексном линейном пространстве Λ всякийлинейный оператор имеет хотя бы один собственныйвектор.n304Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство.Поскольку характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n -й степени относительно λ , то к нему при11менима основная теорема высшей алгебры , утверждающая,что такое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень.Теорема доказана.В случае вещественного линейного пространства теорема 8.6.1 неверна.
Например, линейный оператор поворота плоскости Oxy вокруг начала координат на угол ϕ ≠ kπ не имеет ни одного собственного вектора. Действительно, характеристическое уравнение для этогооператора имеет вид (см. § 5.5):detcos ϕ − λ− sin ϕsin ϕcos ϕ− λ= 0 или λ2 − 2λcos ϕ+ 1 = 0 ,то есть λ = cos ϕ ± i sin ϕ . Откуда следует, что при ϕ ≠ kπ вещественных решений данное характеристическое уравнение не имеет.Теорема8.6.2.В вещественном линейном пространстве Λ всякийлинейный оператор имеет либо хотя бы один собственный вектор, либо двумерное инвариантное подпространство.nДоказательство.Если характеристическое уравнение имеет вещественный корень,то из системы (8.5.1) находим собственный вектор.Пусть характеристическое уравнение имеет комплексный корень λ = α + β i, тогда, решив систему (8.5.1), получим соответствующий ему комплекснозначный собственный векторf = u + w i , где u и w – элементы Λn , представляемые вещественными n -компонентными столбцами.11Доказывается, например, в курсе ТФКП.Г л а в а 8 .
Линейные зависимости в линейном пространстве305u и w линейно независимые. Допустим противное:u = κw . Тогда из соотношения Aˆ f = λ f имеем, чтоAˆ (( κ + i ) w) = λ( κ + i )w , или Aˆ w = λ w , то есть λ – веще-Покажем,ственное, что противоречит предположению о невещественности собственного значения.Подставим выражения для собственного значения и собственного вектора в их определение:Aˆ f = λ f .
ПолучаемAˆ (u + wi ) = (α + β i )(u + w i ) ,$или в силу линейности A( Aˆ u ) + ( Aˆ w) i = (αu − βw) + (βu + α w) i,и из равенства действительных и мнимых частей находим, что Aˆ u = αu − βw,ˆ Aw = βu + α w.$ имеет двумерное инвариНо это и означает, что оператор Aантное подпространство, совпадающее с двумерной линейнойоболочкой элементов u и w, посколькуAˆ (ξu + ηw) = ξ Aˆ u + η Aˆ w = ξ(αu − βw) + η(βu + αw) == (ξα + ηβ)u + (ηα − ξβ) w.Теорема доказана.Задача8.6.1.Найти собственные значения и собственные векторы$ , действующего в пространстве трехмероператора Aных столбцов и заданного матрицей−1 − 2 2− 2 −1 2 .−3 −2 3306Аналитическая геометрия и линейная алгебраРешение:$ действует в ком1°.
Рассмотрим сначала случай, когда оператор Aплексном линейном пространстве. Будем искать собственныезначения по формулам (8.5.1) – (8.5.2). Воспользовавшись правилом разложения определителя по первой строке (см. теорему1.1.1), получим−1− λ−22det − 2−1− λ2 =−3−23−λ= − (1 + λ )(λ − 1) 2 + 2(2λ − 6 + 6) + 2(4 − 3 − 3λ ) == −λ3 + λ2 − λ + 1 = −(λ2 + 1)(λ − 1).Откуда следует, что из трех собственных значений одно– вещественное и дваженные12.λ1 = 1λ 2 = i и λ 2 = −i – комплексно сопря-2°. Найдем теперь собственные векторы. Пустьпо формулам (8.5.2) имеем− 2 − 2 2 ξ1λ = λ 1 = 1 , тогда,0− 2 − 2 2 ξ2 = 0 .− 3 − 2 2 ξ30Преобразовав матрицу построенной системы линейных уравнений, получим компоненты собственных векторов ξ1 , ξ 2 и ξ 3 из1условий112См.
приложение 3.10−10ξ10ξ2 = 0 .ξ30Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве307Следовательно, собственный вектор f 1 , отвечающий собственному значению λ1 = 1 , имеет видξ10ξ2 = µ 1ξ313°. Пусть теперь(8.5.1)λ = λ2 = i ,−1− i−2−3∀µ ≠ 0 .тогда систему линейных уравнений−22−1− i2− 2 3−iξ10ξ2 = 0ξ30можно упростить, разделив13 обе части первого уравнения на1 + i .
Заметим, что в полученной таким образом системе−1 −1+ i 1− iξ1− 2 −1− i2−3 −2 3−iξ2 = 0ξ300третье уравнение оказывается суммой первых двух и его можноотбросить как линейно зависимое.Заменив затем второе уравнение разностью удвоенного первого ивторого, получим−1 −1+ i 1− i0 − 1 + 3 i 2i13ξ10ξ2 = 0 .ξ30Правило деления комплексных чисел приведено в приложении 3.308Аналитическая геометрия и линейная алгебраИ наконец, после умножения обеих частей второго уравнения на( −i ) приходим к−1 −1+ i 1− i0 3+i −2ξ10ξ2 = 0 .ξ30Полагая значение свободного неизвестногоξ 3 = 3 + i , находимвторой собственный вектор:ξ12f2 = ξ2 = µ 2ξ33+i∀µ ≠ 0 .4°. Проведя аналогичные вычисления, найдем, что собственный вектор, отвечающий собственному значению λ 3 = −i , имеет видξ12f3 = ξ2 = µ 2ξ33−i∀µ ≠ 0.(Покажите самостоятельно, что комплексная сопряженность f 2и f 3 не случайна, то есть если λ 2 и λ 3 комплексно сопряжены,то будут комплексно сопряжены и собственные векторы f 2 иf 3 .)$ действует в вещественном линейном про5°.
Если оператор A$ имеет собственный векстранстве, то согласно теореме 8.6.2 Aтор01 , отвечающий собственному значению λ 1 = 1 ,1Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве309и инвариантное подпространство, являющееся линейной оболоч-20кой элементов u = 2 и w = 0 , то есть которое будет со31стоять из элементов видаξ120ξ 2 = µ1 2 + µ 2 0 ; ∀µ1 , µ 2 .ξ331Заметим, что при необходимости искомое инвариантное подпространство может быть задано и в видеα 1 ξ1 + α 2 ξ 2 + α 3 ξ 3 = 0(см., например, решение задачи 8.4.1).Теорема8.6.3.Совокупность собственных векторов, отвечающихнекоторому собственному значению линейного опера-$ , дополненная нулевым элементом линейноготора Aпространства Λ , является инвариантным подпро-$.странством оператора AДоказательство.Aˆ f 1 = λ f 1 и Aˆ f 2 = λ f 2 .
Тогда для любых, не равных нулю одновременно чисел α и β :Aˆ (α f 1 + β f 2 ) == α Aˆ f 1 + β Aˆ f 2 = αλ f 1 + βλ f 2 = λ(α f1 + β f 2 ),Пустьчто и показывает справедливость утверждения теоремы.Теорема доказана.310Аналитическая геометрия и линейная алгебраОпределение8.6.1.Подпространство, состоящее из собственных векторов, отвечающих некоторому собственному значению,дополненных нулевым элементом, называется инвариантным собственным (или просто собственным)$.подпространством линейного оператора AТеорема8.6.4.Всякое инвариантное собственное подпространстволинейного оператора Â является также инвариантным подпространством линейного оператора B̂ , еслиоператоры Â и B̂ коммутируют.Доказательство.Λ∗ – инвариантное собственное подпространство опера∗тора Â , то есть Â f = λ f ∀f ∈Λ .ˆ f = Bˆ (λf ) , а в силу комНо тогда справедливо равенство Bˆ AПусть$ и B$ будет верно имутируемости и линейности операторов A∗Aˆ ( Bˆ f ) = λ ( Bˆ f ) при ∀f ∈ Λ .B̂ f ∈ Λ∗ при ∀f ∈ Λ∗ , то∗есть Λ – инвариантное подпространство оператора B$ .Последнее условие означает, чтоТеорема доказана.Теорема8.6.5.Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейнонезависимы.Доказательство.Один собственный вектор линейно независим как ненулевой.Пусть имеются m линейно независимых собственных векторовf 1 , f 2 , ...
, f m оператора A$ , отвечающих различным собственным значениям.Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве311Покажем, что в этом случае будут линейно независимы иm + 1 собственных векторов f 1 , f 2 , ... , f m , f m+1 , если онитакже отвечают различным собственным значениям.Предположим противное: существует нетривиальная и равнаянулевому элементу линейная комбинация собственных векторов f 1 , f 2 , ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
