Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Полученное противоречие показывает ошибочностьпредположения о том, что k < p .4°.Аналогичными рассуждениями показываем, что невозможнои соотношение k > p . Поэтому приходим к заключению, чтоk = p.5°.По теореме 9.3.1Теорема доказана.m = q , и потому k − m = p − q .Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 343Для исследования знака значений квадратичного функционалавведем в рассмотрение понятие его знаковой определенности.Определение9.3.3.1°. Квадратичный функционал Ф( x ) называется положительно определенным на подпространствеΩ + ⊂ Λ , если Ф( x) > 0 для любого ненулевогоx ∈Ω + .2°.
Квадратичный функционал Ф( x ) называется отрицательно определенным на подпространствеΩ − ⊂ Λ , если Ф( x) < 0 для любого ненулевогоx ∈Ω − .+−3°. Если же Ω (или Ω ) совпадает с Λ , то говорят, что квадратичный функционал Ф( x ) является положительно (отрицательно) определенным.4°. Если же Ф( x ) ≥ 0 ( Ф( x ) ≤ 0 ) для всех x ∈ Λ ,то говорят, что квадратичный функционал является положительно (отрицательно) полуопределенным.Теорема9.3.3.Максимальная размерность подпространствав Λn , на котором квадратичный функционалположительно (отрицательно) определен, равняется положительному (отрицательному)индексу инерции этого функционала.Доказательство.Следует из теоремы 9.3.2 и очевидного равенства числа положительных (отрицательных) элементов матрицы квадратичногофункционала в диагональном представлении размерности подпространстваΩ + ( Ω − ).344Аналитическая геометрия и линейная алгебраВ ряде прикладных задач оказывается необходимым проведениеисследования знаковой определенности квадратичного функционалабез приведения его к диагональному виду.
Удобное необходимое идостаточное условие положительной определенности квадратичногофункционала даетТеорема9.3.4(КритерийСильвестра).Для положительной определенности квадратичного функционала в Λn необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры его матрицы, имеющие видϕ11ϕdet 21...ϕ k1ϕ12ϕ 22...ϕk 2... ϕ1k... ϕ 2 k; k = [1, n] ,... ...... ϕ kkбыли положительными.Доказательство достаточности.1°. Воспользуемся методом математической индукции.Для k = 1 достаточность очевидна.
Допустим, что из положительности главных миноров матрицы квадратичногофункционала порядка до k = n − 1 включительно следуетвозможность приведения квадратичного функционала отn − 1 переменных к видуn −1Ф( x) = ∑ ξ i2 .i =12°.
Покажем, что в этом случае достаточность будет иметь местои для квадратичных функционалов, зависящих от n переменных. В выражении для квадратичного функционала, зависящего от n переменных, выделим слагаемые, содержащие ξ n :Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 345n −1 n −1n −1k =1 i =1k =1Ф( x) = ∑ ∑ ϕ ki ξ k ξ i + 2∑ ϕ kn ξ k ξ n + ϕ nn ξ 2n .Двойная сумма в правой части этого равенства есть квадратич∗ный функционал Ф ( x ) , зависящий от n − 1 переменной,причем его главные миноры совпадают с главными минорамиФ( x) до порядка n − 1 включительно, которые, по предположению индукции, положительны.
Отсюда следует, что квадра∗тичный функционал Ф ( x ) положительно определенный, идля него существует невырожденная замена переменныхn −1ξ k = ∑ σ ki ηi ; k = [1, n − 1] ,i =1n −1приводящая его к каноническому видуФ ∗ ( x) = ∑ ηi2 .i =1Выпишем представление квадратичного функционалановых переменных:n −1n −1i =1i =1Ф( x) вФ( x) = ∑ ηi2 + 2∑ ϕ′in ηi ξ n + ϕ nn ξ 2nи выделим в нем полные квадраты:n −1Ф( x) = ∑ (ηi2 + 2ϕ′in ηi ξ n + ϕ′in2 ξ 2n ) +i =1n −1n −1i =1i =1′ ξ 2n ,+ (ϕ nn − ∑ ϕ′in2 )ξ 2n = ∑ ζ i2 + ϕ′nnгдеn −1′ = ϕ nn − ∑ ϕ′in2 ; ζ i = ηi + ϕ′in ξ n ; i = [1, n − 1] .ϕ′nni =1В матричном виде эту замену переменных можно записатькак346Аналитическая геометрия и линейная алгебраζ1η11 0 L 0 ϕ1′,nζ20 1 L 0 ϕ 2, n η 2L = L L L L LL ,ζ n−10 0 0 1 ϕ′n −1,n η n −1ξnξn0 0 0 01и поскольку определитель ее матрицы отличен от нуля, то этазамена невырожденная.3°.
Наконец, в силу следствия 9.1.1 определитель матрицы квадратичного функционала сохраняет знак при замене базиса.Знак определителя матрицы квадратичного функционала висходном базисе положительный, поскольку этот определитель имеет видϕ11ϕdet 21...ϕ n1ϕ12ϕ 22...ϕn2... ϕ1n... ϕ 2 n... ...... ϕ nnи является главным минором порядка n . Но тогда из выражения для Ф( x ) в конечном базисе мы получаем, что определитель матрицы квадратичного функционалаПоэтому′ .Ф( x) равен ϕ′nn′ > 0 и можно сделать замену переменныхϕ′nn′ , приводящую к каноническому виду функциоζ n = ξ n ϕ′nnnналΦ( x) = ∑ ζ i2 .i =1Следовательно, квадратичный функционал Φ ( x ) положительно определен для числа переменных n , а значит, в силу математической индукции, для любого числа переменных.Достаточность доказана.Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 347Доказательство необходимости критерия Сильвестра положительной определенности квадратичного функционала приводится в разделе “Евклидово пространство” § 10.3.Исходя из критерия Сильвестра для положительной определенности квадратичного функционала, можно получить аналогичный критерий отрицательной определенности квадратичного функционала.Следствие9.3.1.Для отрицательной определенности квадратичного функционала в Λn необходимо и достаточно, чтобы главные миноры четного порядка матрицы функционала были положительны, а нечетного порядка – отрицательны.Доказательство.Ф( x) отрицательно определенный, тогда функционал − Ф( x) будет, очевидно, положиПусть квадратичный функционалтельно определенным.
Применяя к нему критерий Сильвестраположительной определенности, получим для главного минораk -го порядка, использовав линейное свойство определителя, условиеdet− ϕ11− ϕ12... − ϕ1k− ϕ 21...− ϕ 22...... − ϕ 2 k=......− ϕ k1− ϕk 2... − ϕ kk= (−1) k detϕ11ϕ12... ϕ1kϕ 21ϕ 22... ϕ 2 k......ϕ k1ϕk 2......> 0 ∀k = [1, n] .... ϕ kkОткуда и следует доказываемое утверждение.Следствие доказано.348Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 9.4.
Инварианты линий второго порядкана плоскостиНезависимость значений ранга и сигнатуры квадратичного функционала от выбора базиса позволяет выполнить классификацию линийвторого порядка на плоскости способом, отличным от приведенного втеореме 4.4.1.Рассмотрим линию второго порядка на плоскости Oxy в базисе{g1 , g 2 } и с началом координат в точке O.
Эта линия в общем случаезадаетсясогласноопределению4.4.1уравнениемвидаAx + 2 Bxy + Cy + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 , где числа A, B, C, D, F22и E произвольны с одним лишь ограничением, что A, B и C не равнынулю одновременно (A + B + C > 0 ).Нетрудно проверить, что при замене начала координат коэффициенты A, B и C не меняются, а при смене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичного функционала (см. теорему 9.1.1).
Поэтомуможно считать, что многочлентичный функционалAx 2 + 2 Bxy + Cy 2 задает квадра-Φ( x, y ) = Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2A Bс матрицейв исходном базисе {g1 , g 2 } .B Crg Φ – ранг иsgn Φ – сигнатура квадратичного функционала Φ( x, y ) не зависятНа основании теорем 9.2.2 и 9.3.1 заключаем, чтоот выбора системы координат и, следовательно,rg Φ и sgn Φявляются инвариантами линии второго порядка на плоскости. Использование модуля сигнатуры необходимо, поскольку одновременноеизменение знаков всех коэффициентов уравнения линии второго порядка изменит, естественно, само уравнение, хотя линия при этом останется той же.Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 349Поскольку в запись уравнения линии второго порядка на плоскости входят также и коэффициенты D, F и E, то следует выяснить, несуществуют ли дополнительные инварианты, образованные из всейсовокупности коэффициентов A, B, C, D, F и E.
Для этого рассмотримвспомогательный квадратичный функционал вΛ3 видаΨ ( x, y, z ) = Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dxz + 2 Eyz + Fz 2A B Dс матрицей B C E в базисе {g1 , g 2 , g 3 } .D EFЗаметим, что совокупность всех точек вΛ3 , для которыхΨ ( x, y,1) = 0 , есть рассматриваемая нами линия второго порядка,расположенная в пространстве на плоскости z = 1 . Пусть в Λ выполняется замена базиса, при которой плоскость z = 1 переходит сама в себя. Найдем для этой замены базиса правило изменения коэффициентов квадратичного функционала Ψ ( x, y , z ) .3Лемма9.4.1.перехода от базиса {g1, g 2 , g 3 } кбазису {g1′ , g ′2 , g 3′ } , для которой плоскость z = 1переходит сама в себя, имеет видМатрицаSσ11σ12σ13S = σ 210σ 220σ 23 .1Доказательство.Замена координат в плоскостиламOxy выполняется по форму- x = σ11 x ′ + σ12 y ′ + σ13 , y = σ 21 x ′ + σ 22 y ′ + σ 23 ,350Аналитическая геометрия и линейная алгебраz = 1 и z ′ = 1 , тоxσ11 σ12 σ13 x′y = σ 21 σ 22 σ 23 y′ .1001 1но поскольку при этомНевырожденность матрицывияdetσ11σ 21S следует из очевидного усло-σ12≠ 0.σ 22Лемма доказана.Поскольку ранг и сигнатура квадратичного функционала не меняются при любых заменах базиса, то это будет верным и для замен,переводящих плоскость z = 1 саму в себя.
Поэтому rg Ψ и sgn Ψсохраняются при таких заменах, а числаrg Ψ и sgn Ψ являютсяинвариантами уравнения линии второго порядка. Таким образом, доказанаТеорема9.4.1.При любых заменах декартовой системы координат на плоскости Oxy числа rg Φ , rg Ψ , sgn Φи sgn Ψ являются инвариантами линии второгопорядка.Подсчитаем значения чиселrg Φ , rg Ψ , sgn Φ и sgn Ψдля девяти видов линий второго порядка на плоскости, приведенных вформулировке теоремы 4.4.1, результаты поместим в таблицу 9.4.1 изкоторой следует, что каждый вид линии второго порядка на плоскостиимеет свой, уникальный набор значений инвариантов, который можетбыть принят за признак принадлежности некоторой линии второгопорядка к конкретному виду.Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 351Таблица 9.4.1Видлинии1Эллипс2Мнимыйэллипс3Точка4Гипербола5Пересек.прямые6Парабола7ПараллельныепрямыеПара мнимых прямыхСовпадающиепрямые89Каноническоеуравнениеx′2 y′2+ 2 =1a2brg Ψsgn Ψrg Φsgn Φ31223322222231202020y ′ 2 = 2 px ′3111y′2 = a22011y ′ 2 = −a 22211y′2 = 01111x′2 y′2+ 2 = −1a2b2x′y′2+=0a2b2x′2 y′2− 2 =1a2bx ′2a2−y′2b2=0В заключение отметим, что1°.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
