Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Подсчет значений рангов и модулей сигнатур выполняетсяпутем приведения квадратичного функционала к диагонально-352Аналитическая геометрия и линейная алгебраму виду. Однако для параболы приведение функционалаΨ ( x, y, z ) к диагональному виду матрицей перехода, переводящей плоскостьz = 1 саму в себя, вообще говоря, невоз00 −κ0−κможно, поскольку его матрица имеет вид100 .0В этом случае для подсчета ранга и сигнатуры можно использовать матрицу переходаS =1010−1100 , которая, хо1тя и не обеспечивает выполнение условия перехода плоскостиz = 1 самой в себя, но, как всякая линейная замена координат, сохраняет ранг и сигнатуру. Действительно,Ψg′= STΨgS =−1011= 0101000−κ2κ= 000010 .0 − 2κ0 −κ110 000 −101010 =12°.

Для линий второго порядка на плоскости существуют и другие ортогональные инварианты, например, инвариантами являются числаI 1 = A + C и I 2 = detA B. СправедлиB Cвость этого утверждения показана в § 4.4.Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 3533°. Схема классификации, аналогичная рассмотренной, можетбыть построена и для поверхностей второго порядка в пространстве.§ 9.5.

Экстремальные свойства квадратичныхфункционаловИз теоремы 9.2.1 следует существование в Λ базиса, в которомквадратичный функционал Ф( x ) имеет диагональный вид. Допусnтим, что этот базис {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } построен так, чтоnФ( x) = ∑ λ i ξ′i 2 и λ 1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n −1 ≤ λ n .i =1Тогда справедливаТеорема9.5.1.Для квадратичного функционала Ф( x) в Λnсправедливыλ 1 = minn Ф( x)соотношенияx∈Λиλ n = maxn Ф( x) при условии, что компоненты xx∈Λnудовлетворяют условию∑ ξ′i =12i= 1.Доказательство.nЕсли в рассматриваемом базисеФ( x) = ∑ λ i ξ′i 2 , то в силуi =1соотношенийλ 1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n −1 ≤ λ n будут иметь местонеравенстваnnnni =1i =1i =1i =1∑ λ i ξ′i 2 ≤ λ n ∑ ξ′i 2 и λ1 ∑ ξ′i 2 ≤ ∑ λ i ξ′i 2 .354Аналитическая геометрия и линейная алгебраn∑ ξ′Но посколькуi =1i2= 1 , то будут также справедливы иоценкиnni =1i =1∑ λ i ξ′i 2 ≤ λ n и λ1 ≤ ∑ λ i ξ′i 2 .То есть приx = 0, 0, ...,1x = 1, 0, ..., 0TTдостигается максимум, а при– минимум значений функционала.Теорема доказана.§ 9.6.

Полилинейные функционалыПо аналогии с билинейными функционалами, зависящими от парыэлементов линейного пространства, можно определить нелинейныефункционалы, обладающие аналогичными свойствами, но зависящиеот большего числа аргументов.Определение9.6.1.Пусть в линейном пространстве Λ каждому упорядоченному набору из k элементов { x1 , x 2 ,..., xk }поставлено в соответствие числотак, что для любогоj = [1, k ]Q ( x1, x 2 ,..., xk )Q( x1 ,..., α x ′j + β x ′j′ ,..., x k ) == αQ( x1 ,..., x ′j ,..., x k ) + βQ( x1 ,..., x ′j′ ,..., x k )∀x ′, x ′′ ∈ Λ ∀α, β,тогда говорят, что в Λ задан полилинейный функционал, а именно, k -линейный функционал.Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 355Пример9.6.1.Λ k линейных функционалов F1 ( x ), F2 ( x ), K , Fk ( x ) , то есть1°. Произведение определенных вQ( x1 , x 2 , K, x k ) = F1 ( x1 ) F2 ( x 2 ) K Fk ( x k ) ,являетсяk -линейным функционалом в Λ .2°.

Смешанное произведение трех векторов в трехмерном геометрическом пространстве является трилинейным функционалом.n -го порядка есть полилинейныйnфункционал от n элементов в Λ в случае, когда ко-3°. Определительординатные представления этих элементов являютсястолбцами данного определителя.356Аналитическая геометрия и линейная алгебраГлава 10ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО§ 10.1.

Определение и основные свойстваВ произвольном линейном пространстве отсутствуют понятия“длины”, “расстояния”, “величины угла” и других метрических характеристик. Однако их использование становится возможным, если влинейном пространстве дополнительно ввести специальную, определяемую ниже операцию.Определение10.1.1.Пусть в вещественном линейном пространстве каждой упорядоченной паре элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число ( x, y ), называемое скалярным произведением, так, что выполненыаксиомы:1)( x, y ) = ( y, x );2)3)4)(λx, y ) = λ( x, y );( x1 + x 2 , y ) = ( x1, y ) + ( x 2 , y );( x, x ) ≥ 0 , причем( x, x ) = 0 ⇔ x = o ,тогда говорят, что задано евклидово пространство E.Замечание: аксиомы 1–4 в совокупности означают, что скалярноепроизведение есть билинейный (что следует из аксиом 2 и3) и симметричный (следует из аксиомы 1) функционал,который, кроме того, порождает положительно определенный квадратичный (следует из аксиомы 4) функционал.

Любой билинейный функционал, обладающий данными свойствами, может использоваться в качестве скалярного произведения.357Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоПример10.1.1.1°.Трехмерное геометрическое пространство со скалярным произведением, введенным по правилам§ 2.2, является евклидовым.2°.Пространство n-мерных столбцовξ1ξx= 2 ; y=...ξnη1η2...ηnсо скалярным произведением, определяемым поnформуле( x, y ) = ∑ ξ i ηi , есть евклидово проi =1странство.3°.Евклидовым будет пространство непрерывных на[α, β] функций со скалярным произведениемβ( x, y ) = ∫ x(τ) y (τ)dτ .αЗадача10.1.1.Можно ли в трехмерном пространстве скалярное произведение определить как произведение длин векторов накуб косинуса угла между ними?Решение.Нет, нельзя, так как не будет выполняться аксиома 3 определения 10.1.1.Определение10.1.2.В евклидовом пространстве1)E назовемнормой (или длиной) элементаx числоx = ( x, x) ;2)расстоянием между элементамичислоx− y .x и y358Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗамечание: использование для обозначения нормы элемента ограни-чителей вида...

не приводит к каким-либо конфлик-там с введенными ранее обозначениями, поскольку длялинейного пространства вещественных чисел норма числа, очевидно, совпадает с его абсолютной величиной,для комплексного числа норма совпадает с его модулем,а для линейного пространства геометрических векторов– с длиной вектора.Теорема10.1.1(неравенствоКоши–Буняковского).Для любыхx, y ∈ E имеет место неравенство( x, y) ≤ x y .Доказательство.Для ∀x, y ∈ E и вещественного числа τ элементСогласно аксиоме 4 из определения 10.1.1x − τy ∈ E .0 ≤ ( x − τ y, x − τ y ) = ( x, x) − 2( x, y )τ + ( y, y )τ 2 == x − 2( x, y )τ + y τ 2 ∀τ.22Полученный квадратный трехчлен неотрицателен для любого τтогда и только тогда, когда его дискриминант неположителен, тоесть( x, y ) 2 − x y ≤ 0 .22Теорема доказана.Задача10.1.2.Показать, что неравенство Коши–Буняковского превращается в равенство тогда и только тогда, когдаэлементы x и y линейно зависимы.Следствие10.1.1(неравенствотреугольника).Для любыхx, y ∈ E имеет место неравенствоx+y ≤ x + y .359Г л а в а 1 0 .

Евклидово пространствоДоказательство.Из аксиом евклидова пространства и неравенства Коши–Буняковского имеемx+ y2= ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + 2( x , y ) + ( y , y ) ≤≤ x +2 x y + y22= ( x + y )2 ,x + y и x + y по-откуда в силу неотрицательности чиселлучаем неравенство треугольника.Следствие доказано.Отметим, что неравенства Коши–Буняковского и треугольника дляевклидова пространства из примера 10.1.1 (2°) имеют видn∑ ξ i ηi ≤i =1n∑ (ξi =1+ ηi ) 2 ≤inn∑ ξ 2j∑ηj =1k =1n∑ξj =12j2k∀ξ i ,ηi , i = [1, n] ;n+∑ηk =12k∀ξ i ,ηi , i = [1, n] ,в то время как для евклидова пространства из примера 10.1.1 (3°) соответственно:β|∫ x(τ) y(τ)dτ | ≤αβ2∫ ( x(τ) + y(τ)) dτ ≤αβ2∫ x (τ)dταββ∫y(τ)dτ ;α2∫ x (τ)dτ +α2β∫yα2(τ)dτ .360Аналитическая геометрия и линейная алгебраОпределение10.1.3.В евклидовом пространстве E величиной угла междуненулевыми элементами x и y назовем числоα ∈ [0, π] , удовлетворяющее соотношению( x, y )cos α =.x yИз неравенства Коши–Буняковского (теорема 10.1.1) следует, чтовеличина угла существует для любой пары ненулевых элементов в E .Определение10.1.4.E элементы x и y называются ортогональными, если ( x , y ) = 0 .В евклидовом пространствеОткуда следует, что нулевой элемент евклидова пространства ортогонален любому другому элементу.§ 10.2.

Ортонормированный базис.Ортогонализация базисаОпределение10.2.1.nВ конечномерном евклидовом пространстве E базис {e1 , e2 ,..., en } называется ортонормированным,если(ei , e j ) = δ ij ∀i, j = [1, n].Теорема Во всяком евклидовом пространстве10.2.1ортонормированный базис.(Грама–Шмидта).Доказательство.E n существуетE n дан некоторый, вообще говоря, неортогональный{g1, g 2 ,..., g n } .Построимвначалебазис{e1′ , e ′2 ,..., e n′ } из попарно ортогональных элементов. После-1°. Пусть вбазисдовательное построение этих элементов будем называть процессом ортогонализации базиса.361Г л а в а 1 0 .

Евклидово пространствоe1′ = g1 . Элемент e2′ будем искать в видеe2′ = g 2 + α 21 e1′ , где α 21 – некоторая константа. Подберемα 21 так, чтобы (e1′ , e2′ ) = 0 , для этого достаточно, чтобыВозьмем(e1′ , e2′ ) = (e1′ , g 2 + α 21e1′ ) == (e1′ , g 2 ) + α 21 (e1′ , e1′ ) = 0 ; α 21 = −(e1′ , g 2 ).(e1′ , e1′ )e′2 ≠ o . Действительно, изo = e2′ = g 2 + α 21 e1′ = g 2 + α 21 g1следует линейная зависимость g1 и g 2 , что противоречитЗаметим, чтоусловию принадлежности этих элементов базису (см.

лемму7.2.2).2°. Допустим теперь, что нам удалось ортогонализовать k − 1элемент, и примем в качестве e k′ элементk −1e′k = g k + ∑ α k j e′j .j =1(ek′ , ei′ ) = 0 ∀i = [1, k − 1] , но тогда в силу(e′j , ei′ ) = 0 ; j = [1, k − 1] имеемПотребуем, чтобыk −1(ei′ , e′k ) = (ei′ , g k + ∑ α kj e′j ) = (ei′ , g k ) + α ki (ei′ , ei′ ) = 0 ;j =1α ki = −(ei′ , g k );(ei′ , ei′ )i = [1, k − 1] .Покажем теперь, что в этом случае e k′ ≠ o . Допустим проk −1тивное:ek′ = g k + ∑ α k j e′j = o . Однако поскольку все элеj =1362Аналитическая геометрия и линейная алгебраментыei′ , i = [1, k − 1] по построению есть некоторые ли-g i ;i = [1, k − 1] , мы приходим к линейной зависимости g i ; i = [1, k ] , что противоречит условию теоремы.

Следовательно, e′k ≠ o .нейные комбинации элементов3°. Процесс ортогонализации продолжается до исчерпания множества элементов g i ; i = [1, n] , после чего достаточно пронормировать полученные элементыei′ ; i = [1, n] , чтобыполучить искомый ортонормированный базисгдеek ={e1 , e2 ,..., en } ,ek′; k = [1, n] .ek′Теорема доказана.Процесс ортогонализации Грама–Шмидта может быть применен клюбой, в том числе и к линейно зависимой, системе элементов евклидова пространства.

Если ортогонализуемая система линейно зависима,то на некотором шаге мы получим нулевой элемент, после отбрасывания которого можно продолжить процесс ортогонализации.§ 10.3. Координатное представление скалярногопроизведенияПолезным инструментом исследования свойств некоторого набораэлементов { f 1 , f 2 ,..., f k } в евклидовом пространстве является матрица Грама.Определение10.3.1.В евклидовом пространстве E матрицей Грама системы элементов { f 1 , f 2 ,..., f k } называется симметрическая матрица вида363Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоΓf( f 1 , f 1 ) ( f1 , f 2 )( f 2 , f1 ) ( f 2 , f 2 )=LL( f k , f1 ) ( f k , f 2 )L ( f1 , f k )L ( f2 , fk ).LLL ( fk , fk )E n дан базис {g1 , g 2 ,..., g n } .

Скалярное произведениеПусть вэлементов x =nni =1j =1∑ ξ i g i и y = ∑ η j g j , согласно определению10.1.1, представляется в видеnni =1j =1nnnn( x, y ) = (∑ ξ i g i , ∑ η j g j ) = ∑∑ ξ i η j ( g i , g j ) = ∑∑ γ ij ξ i η j ,i =1 j =1i =1 j =1где γ i j = ( g i , g j ) ∀i, j = [1, n] – компоненты матрицыΓg, на-зываемой базисной матрицей Грама.Заметим, что эта матрица симметрическая, в силу коммутативности скалярного произведения (см. аксиому 1 в опр. 10.1.1), являетсяматрицей симметричного билинейного функционала, задающего скалярное произведение. Тогда (принимая во внимание опр. 9.1.2) координатное представление скалярного произведения может быть записано так:( x, y ) = x= ξ1ξ2TgΓg... ξ nyg=( g 1 , g1 ) ( g 1 , g 2 )( g 2 , g1 ) ( g 2 , g 2 )......( g n , g1 ) ( g n , g 2 )...

( g1 , g n )... ( g 2 , g n )......... ( g n , g n )η1η2,...ηn364гдетовАналитическая геометрия и линейная алгебраxgиyg– координатные представления (столбцы) элемен-x и y в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } . Очевидно, что эта формула со-гласуется с § 2.3 и § 9.2.Заметим, наконец, что в ортонормированном базисеΓe= E ,и, следовательно, формула для скалярного произведения принимаетвид ( x, y ) =Теорема10.3.1.xnTyg= ∑ ξ i ηi .gi =1ΓДля базисной матрицы Грамаdet Γgв любом базисеg> 0.Доказательство.Из определения 10.1.1 следует, что скалярное произведениеесть билинейный, симметричный функционал, поэтому при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } (сS ) по теореме 9.1.1 для матрицы Грамаматрицей переходаимеют место равенстваΓгдеg′= STΓgS ; det Γg′= det Γg(det S ) 2 ,det S ≠ 0 .Откуда следует, что значение sgn ( det Γg) инвариантно, тоесть не изменяется при замене базиса.

Характеристики

Список файлов книги