Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Поскольи, вычитая почленно, получим, что ( Aку a – произвольный собственный вектор, то данное соотношение верно и для всей совокупности собственных векторов, а знаE n , так как из собственных векто$ $ − BA$ $ = O$ .ров можно образовать базис. Поэтому ABчит, и для любого элемента вДокажем достаточность.Пусть самосопряженные операторыA$ и B$ коммутируют иAˆ a = λa . Рассмотрим здесь лишь случай, ко$ различны.гда все собственные значения оператора Aпусть, кроме того,Покажем, что элемент евклидова пространствасобственным вектором оператора$ являетсяb = BaA$ . Действительно, в силу$ $ = BA$ $ имеемABAˆ b = Aˆ Bˆ a = Bˆ Aˆ a = Bˆ λa = λBˆ a = λb .$ кратности единица, тоПоскольку все собственные значения Aλ есть его собственное значение, отвечающее a и b одновре$ , также Bˆ a = κa .b = κa и, поскольку b = BaЗначит, a – собственный вектор оператора B$ .менно.

ПоэтомуТеорема доказана.391Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство§ 10.8. Ортогональные операторыОпределение10.8.1.Линейный операторQ$ , действующий в евклидовомпространстве E , называется ортогональным (илиизометрическим), если ∀x , y ∈ E имеет место равенство$ , Qy$ ) = ( x, y) .(QxИз определения 10.8.1 следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы элементов и величины углов между ними.Действительно,Qˆ x = (Qˆ x, Qˆ x) = ( x, x) = x ;cos ψ =(Qˆ x, Qˆ y )( x, y )== cos ϕ ;x yQˆ x Qˆ yx, y ∈ E ,ϕ – величина угла между элементами x и y , а ψ – величина угла$ и Qy$ .между элементами QxгдеТеорема10.8.1.$ имеет сопряженныйЕсли ортогональный оператор Qоператор, то он имеет и обратный оператор, причемQ$ −1 = Q$ + .Доказательство.По определению 10.8.1следует, что$ , Qy$ ) = ( x , y ) , откуда∀x , y ∈ E (Qx$ ) = ( x , y ) или ( x ,( Q$ + Q$ − E$ ) y ) = 0 .( x , Q$ + QyПоследнее равенство в силу леммы 10.6.1 означает, чтоQ$ + Q$ − E$ = O$ .392Аналитическая геометрия и линейная алгебраQ$ + Q$ − E$ = O$ вытекает, что Q$ + Q$ = E$ .

ТогдаQˆ + Qˆ Qˆ + = Eˆ Qˆ + , а в силу того, что единичный оператор комˆ + Qˆ Qˆ + = Qˆ + Eˆ илимутирует с любым другим, получаем Q$ $ + = E$ . Наконец, по определению 8.2.8 приходим кQQИз равенстваQ$ −1 = Q$ + .Теорема доказана.Q̂ + и Qˆ −1 также ортогональные.Следствие10.8.1.ОператорыТеорема10.8.2.Матрица ортогонального оператора в E в каждом ортонормированном базисе ортогональная.nДоказательство.Пусть операторQ$ ортогональный. Тогда из соотношенияQ$ −1 = Q$ + по теореме 10.8.1 и в силу § 8.3 (4°) в ортонормированном базисе справедливы равенстваQ$Но тогдаQ$−1e−1e= Q$ −1 e = Q$ += Q$eT= Q$ e .Te, что и означает, согласно определе-нию 5.1.4, ортогональность матрицыQ$ e .Теорема доказана.Признак ортогональности линейного оператора вТеорема10.8.3.E n даетnДля того чтобы линейный оператор в E был ортогональным, достаточно, чтобы его матрица была ортогональной в некотором ортонормированном базисе.393Г л а в а 1 0 .

Евклидово пространствоДоказательство.Q$ в некотором ортонормиро-1º. Пусть у линейного оператораQˆванном базисеT(Qˆ x, Qˆ y ) = Qˆ x= xTQˆeTeQˆQˆ yeyee−1eT= Qˆ= ( Qˆe= xTex e ) T QˆeQˆ∀x, y ∈ E n. Тогдаe−1eQˆyeyeee= x=Teye= ( x, y ).То есть условие ортогональности выполнено в{e1 , e2 ,..., en } .2º. Перейдем теперь к{e1′ , e′2 ,..., e′n } − некоторому другому ор-тонормированному базису и убедимся, что условие ортогональности при этом переходе не нарушится. Действительно, всилу ортогональности матрицы переходаS , связывающейдва ортонормированных базиса, имеемQˆ−1e′=( S= ST=( SQˆ−1−1TeQˆQˆeS ) −1 = SS = SeTT−1Qˆ ( SS ) T = QˆeTe′Qˆ−1eT TS = S−1TQˆ) =( SQˆeTeS =S )T =.Теорема доказана.В ряде приложений оказывается полезнойТеорема10.8.4(о полярномразложении).Любой линейный операторA$ в E n с det Aˆ ≠ 0может быть единственным образом представлен в$ $ , где оператор Q$ ортогональный, аA$ = QRоператор R$ – самосопряженный и имеющий по-виделожительные собственные значения.394Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство.1°.Покажем вначале, что самосопряженный оператор$+A A$ (см.

пример 10.7.1) имеет только положительные собстˆ + Aˆ f = λ f , тогда, свенные значения. Действительно, пусть Aˆ + Aˆ f , f ) = ( Aˆ f , Aˆ f ) > 0 при f ≠ o , а содной стороны, ( Aдругой–( Aˆ + Aˆ f , f ) = (λ f , f ) = λ ( f , f ) ,тоесть( Aˆ f , Aˆ f ) = λ( f , f ) . Но тогда все λ > 0 в силу определенияˆf =oскалярного произведения, поскольку из допущения Aпри f ≠ o следует, чтоAˆ f = 0 f ⇔ det Aˆ = 0 .{e1 , e2 ,..., en } – ортонормированный базис, состоящий$ + A$ . Рассмотрим множеиз собственных векторов оператора A$ ; i = [1, n] , для которыхство элементов Ae2°.

Пустьi( Aˆ ei , Aˆ e j ) = ( Aˆ + Aˆ ei , e j ) = λ i (ei , e j ) = λ i δ ij ;i, j = [1, n] .Но это означает, что1 ˆAei ; i = [1, n]  – также баei′ =λiзис и притом ортонормированный.Q$ оператор, переводящий ортонормированный базис {e1 , e2 ,..., en } в ортонормированный базис {e1′ , e′2 ,..., e′n } , и убедимся, что в каче$ −1 A$ .стве R$ можно взять оператор Q3°. Примем за искомый ортогональный операторДействительно, во-первых, имеет место равенствоВо-вторых, из соотношений$ $.A$ = QRRˆ ei = Qˆ −1 Aˆ ei = Qˆ −1 λ i ei′ = λ i ei ;i = [1, n]Г л а в а 1 0 .

Евклидово пространство395следует, что базисные элементыei , i = [1, n] суть собствен-R$ , отвечающие положительным собстλ i , а значит, матрица R$ e в базисеные векторы операторавенным значениям{e1 , e2 ,..., en } диагональная и потому симметрическая. Тогдав силу леммы 10.7.1 оператор R$ самосопряженный.4°. Покажем, наконец, единственность разложения.

Во введенныхобозначениях справедливо равенствоA$ + A$ = R$ 2 , поскольку из$ $ и A$ + = R$ + Q$ + следует, чтоA$ = QR$ $ = R$ + Q$ −1QR$ $ = R$ + R$ ,A$ + A$ = R$ + Q$ + QR$ + A$ = R$ 2 .то в силу самосопряженности R$ AПредположим, что существуют два различных самосопряжен-R$1 и R$ 2 с положительными собственными зна$ + A$ = R$ 2 ; A$ + A$ = R$ 2 и R$ 2 − R$ 2 = O$ .чениями, такие, что Aных оператора1212Заметим, что R$1 и R$ 2 по построению (см. 2°) имеют общуюсистему собственных векторов, а потому они коммутируют. Нотогда, согласно § 8.2, справедливы равенстваRˆ12 − Rˆ 22 = Rˆ12 − Rˆ1 Rˆ 2 + Rˆ 2 Rˆ1 − Rˆ 22 == ( Rˆ1 − Rˆ 2 )( Rˆ1 + Rˆ 2 ) = Oˆ .Из невырожденности и линейности R$1 и R$ 2 в силу теоремы8.6.8 оператор R$1 + R$ 2 также невырожденный и поэтому из$ следует R$ − R$ = O$ .равенства ( R$ − R$ )( R$ + R$ ) = O121212Таким образом, R$ – самосопряженный оператор, определяе$ однозначно.

Но Qˆ = Aˆ Rˆ −1 и, значит, также опремый по A$.деляется однозначно по AТеорема доказана.396Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема о полярном разложении является обобщением теоремы 5.5.2 о возможности представленияаффинного преобразования плоскости в виде произведения двух операторов, первый из которых ортогональный, а второй – сжатие по двум взаимноперпендикулярным направлениям, матрица которого диагональная.Замечания. 1°.$ разложение,В случае вырожденного оператора Aаналогичное указанному в теореме 10.8.2, с неотрицательными собственными значениями самосопря-2°.женного операторавенно.Задача10.8.1.R$ существует, но не единст-В некотором ортонормированном базисе воператор2A$ имеет матрицу Aˆ e0 =E 2 линейный−102.

Найтиего полярное разложение.Решение.1°.Выполним искомое разложение по схеме, использованной вA$ + A$ в ис00ходном (стандартном) ортонормированном базисе {e1 , e2 }доказательстве теоремы 10.8.2. Матрица оператораимеет видAˆ + Aˆ=2−1e0= Aˆ +02e020Aˆe0= AˆTe0Aˆe0=−12 − 2=.− 223397Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоСобственные значения и собственные векторы этого оператораравны соответственноλ1 = 1 ; λ 2 = 4 ; f1e02=1; f2e0=−1,2поэтому (сохраняя обозначения, использованные в доказательстве теоремы 10.8.2) получим координатные представления в{e10 , e20 } для элементов, образующих ортонормированные базисы {e1 , e2 } :e1 =иf1f1=2313−f2; e2 =f213=,23{e1′ , e′2 } :e1′ =1 ˆA e1 =λ1=1 22 013;e2′ =13−1 ˆA e2 =λ223−12−23=23.133982°.Аналитическая геометрия и линейная алгебраОбозначив через23G =−13и1313F =23−232313соответственно матрицы перехода от исходного (стандартного)базиса {e1 , e2 } к базисам {e1 , e2 } и {e1′ , e′2 } и рассуждая также, как при решении задачи 7.5.2, получим для матрицы орто00гонального оператораQ$ выражениеQˆe0= F G−1.Действительно, в рассматриваемом случае преобразованиеQˆ{e1 , e2 } → {e1′ , e′2 }может быть представлено как произведение (последовательноевыполнение) преобразованийGˆ −1{e1 , e2 } → {e10 , e20 }Следовательно,Qˆe0= FˆFˆ{e10 , e20 } → {e1′ , e2′ } .иe0Gˆ −1e0.Наконец, в силу определений (8.3.1) и (7.4.2), а также равенстваGˆ −1e0= Gˆ−1e0получаем, чтоУчитывая, что матрицаQˆe0= F G−1.G ортогональная (как матрица пе-рехода, связывающая два ортонормированных базиса), находимматрицуQˆe0= FG−1= FGT=399Г л а в а 1 0 .

Евклидово пространство13=23−232313−13132 23=−13,23132 23которая в исходном ортонормированном базисе ортогональная.3°.ПосколькуRˆe0=R$ = Q$ −1 A$ , то= Qˆ −1e02 23−Aˆe01313Aˆ−1=2202 23−1e0= Qˆe0Te0= Qˆ43−Aˆe0=23,−2353и, следовательно, искомое полярное разложение имеет видAˆe0= Qˆe0Rˆe0=2 23−1343−23.132 23−2353400Аналитическая геометрия и линейная алгебраГлава 11УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО§ 11.1. Определение унитарного пространстваОпределение11.1.1.Пусть в комплексном линейном пространстве Uкаждой упорядоченной паре элементов a и b поставлено в соответствие комплексное15 числоab ,называемое их скалярным произведением, так, чтовыполнены аксиомы:1°.ab = ba ;2°.λa b =λ a b3°.a1 + a 2 b = a1 b + a 2 b ;4°.a a – вещественное неотрица-;тельное число, причемa a =0 ⇔ a =o,тогда говорят, что задано унитарное пространство.Для обозначения скалярного произведения в унитарном пространстве используются не круглые скобки, принятые в евклидовом пространстве, а скобки типа “брэкет”.Замечание: вид аксиомы 1° позволяет избежать проблемы, котораявозникает в случае использования евклидовского правила коммутативности скалярного произведения для комплексных линейных пространств.15Определение и основные свойства комплексных чисел приводятся в приложении 3.401Г л а в а 1 1 .

Характеристики

Список файлов книги