Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

ПосколькуΦ(x) = ξ12 + 2ξ1ξ 2 + 3ξ 22 = (ξ1 + ξ 2 ) 2 + 2ξ 22 ,то, выполнив замену переменныхξ = ξ1′ − 1ξ2 =получим ξ1′ = ξ1 + ξ 2или2ξ2ξ′2 =1ξ′22 ,1ξ′22Φ( x) = ξ1′ 2 + ξ′22 и соответственноΨ ( x) = 4ξ1′ 2 + 4 2ξ1′ ξ′2 − 3ξ′22 .3°.Введение в Λ скалярного произведения с единичной матрицей Грама означает, что координаты {ξ1′ ; ξ ′2 } есть координаты2евклидова пространстваΕ2с базисом{e1′ , e′2 } , где428Аналитическая геометрия и линейная алгебраe1′=e′1;0e2′e′Матрица квадратичного функционалаΨe′=42 22 2−3=01.Ψ (x) в этом базисе. Она задает присоединенный самосо-пряженный оператор, имеющий собственные значенияиλ 2 = −4 , а также ортонормированные собственные векторыf1e′=2 23−иf213новый базис {e1′′, e ′2′ } .4°.λ1 = 5e′=13, которые примем за2 23Матрица перехода от ортонормированного базисаортонормированному базису {e1′′, e ′2′ } , в котором{e1′ , e′2 } кΦ(x) = ξ1′′ 2 + ξ′2′ 2 и Ψ (x) = 5ξ1′′ 2 − 4ξ′2′ 2 ,ортогональная и имеет видS =2 21−33.13Откуда окончательно получаем, что2 23Г л а в а 1 2 .

Прикладные задачи линейной алгебры2 21ξ1′ +ξ′2 ξ1′′ =33ξ′′ = − 1 ξ′ + 2 2 ξ′21233⇒4292 2ξ1 + 2 ξ 2 , ξ1′′ =3ξ′2′ = − 1 ξ1 + ξ 2 .3Если в задаче одновременного приведения пары квадратичныхфункционалов, один из которых положительно определенный, соответственно к каноническому и диагональному виду, требуется найтилишь этот вид (а не формулы замены переменных), то можно воспользоваться более простой схемой расчетов.Допустим, что положительно определенный квадратичный функционалΦ(x) приведен при помощи матрицы перехода S к каноTS = E . После того же преобразования матрица квадратичного функционала Ψ (x ) будет иметьSническому виду, то естьвидΨ∗ = STΨΦS .Согласно теореме 12.1.1 в ортонормированном базисе для построения диагонального вида квадратичного функционала Ψ ( x ) достаточно найти собственные числа самосопряженного оператора, матрица которого естьΨ ∗ . Найдем выражение для этой матрицы, учи-тывающее связь между матрицамиΦ иS .Из равенстваSследует, чтоS =( STTΦ S = EΦ ) −1 .

Тогда, используя правила об-ращения и транспонирования произведения матриц, перестановочность обращения и транспонирования, а также симметричность и невырожденность матрицыΦ , имеем430Аналитическая геометрия и линейная алгебраΨ∗ = STΨS =(( S= ( ( Φ ) −1 ( S= S−1( ΦT −1 T)T −1))ΨTΦ ) −1 ) T ΨΨS =S =S = S−1( Φ−1Ψ∗Полученное равенство означает, что матрицаΨ ) S .может рас-сматриваться как результат преобразования матрицы линейного оператораΦ−1Ψпри замене базиса с матрицей переходаS .Поскольку собственные значения линейного оператора не зависят отвыбора базиса, то решение задачи может быть сведено к определениюсобственных значений оператора, имеющего матрицуΦ−1Ψ .Собственные векторы и собственные значения этого оператора находятся согласно § 8.5 из системы линейных уравнений( Φ−1Ψ ) f =λ f ,которую можно преобразовать к виду( Ψ −λ Φ )f = o .Условие существования ненулевых столбцовˆ − λΦˆdet Ψgf :=0– алгебраическое уравнение относительно λ , корни которого и являются искомыми коэффициентами диагонального представления квадратичного функционала Ψ ( x ) .Проиллюстрируем применение данного метода для нахождениядиагонального вида квадратичных форм в задаче 12.1.2.

В этом случаеΦ =1 11 3иΨ =4 8, то есть для определения коэф8 6фициентов диагонального представления квадратичного функционалаΨ ( x) необходимо решить уравнение431Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебрыdet (4 88 3−λ1 11 3) = 0 или det4−λ8−λ8 − λ 3 − 3λ= 0.λ 1 = 5 и λ 2 = −4 , то22искомый диагональный вид для Ψ ( x ) будет Ψ ( x ) = 5ξ1′ − 4ξ′2 , в22то время как очевидно, что Φ ( x ) = ξ1′ + ξ′2 .Поскольку данное уравнение имеет корни§ 12.2. Классификация поверхностей второго порядкаПусть в евклидовом пространстве1E 3 с базисом {e1 , e2 , e3 } , где00e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0 ,001дано уравнение поверхностиα11ξ12 + 2α12 ξ1ξ 2 + α 22 ξ 22 + 2α13 ξ1ξ 3 + α 33 ξ 32 ++ 2α 23 ξ 2 ξ 3 + 2α14 ξ1 + 2α 24 ξ 2 + 2α 34 ξ 3 + α 44 = 03второго порядка (k∑∑ αk =1 i =1ik> 0 ).Квадратичную часть данного уравнения можно рассматривать как3квадратичный функционал в E . Приведем его к диагональному видуортогональным оператором по схеме, изложенной в § 12.1.

Получимуравнение′ ξ1′ + 2α ′24 ξ′2 + 2α ′34 ξ ′3 + α ′44 = 0,λ 1 ξ1′ 2 + λ 2 ξ ′22 + λ 3 ξ′32 + 2α 14λ1 + λ 2 + λ 3 > 0 ,для которого рассмотрим три следующих случая.432I.Аналитическая геометрия и линейная алгебраЦентральный случай:λ 1λ 2 λ 3 ≠ 0 или, что в силу теоремы8.6.8 то же самое,α11α12α13det α 21α 31α 22α 32α 23 ≠ 0 .α 33После переноса начала координат, устраняющего линейные слагаемые, получаем уравнение′ = 0,λ 1 ξ1′′ 2 + λ 2 ξ′2′ 2 + λ 3 ξ′3′ 2 + α ′44для которого можно выделить следующие варианты:если′ ≠0α′441) мнимый эллипсоидпри sgn(λ i )2) эллипсоидпри′ ) , i = 1, 2, 3 ;= sgn(α ′44′ ) , i = 1, 2, 3 ;sgn(λ i ) = − sgn(α ′443) однополостный гиперболоидпри sgn(λ 1 ) = sgn( λ 2 )=′ );= − sgn(λ 3 ) = − sgn(α ′444) двуполостный гиперболоидпри sgn(λ 1 ) = − sgn( λ 2 )=′ );= − sgn(λ 3 ) = − sgn(α ′44если′ =0α ′445) мнимый конуспри sgn( λ1 ) = sgn( λ2 ) = sgn( λ3 ) ;6) конусприsgn( λ1 ) = sgn( λ2 ) = − sgn( λ3 ) .Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебрыII.Первый нецентральный случай:433λ 1 ≠ 0, λ 2 ≠ 0, λ 3 = 0 .После переноса начала координат приходим к уравнению′ = 0 , для которого выделяемλ 1ξ1′′ 2 + λ 2 ξ′2′ 2 + 2α ′34′ ξ ′3′ + α ′44варианты:еслиα ′34′ ≠ 0 , то уравнение приводится к′′ ξ′3′′ = 0 ,λ 1ξ1′′′ 2 + λ 2 ξ′2′′ 2 + 2α ′34и тогда имеем:7) эллиптический параболоидпри sgn(λ 1 ) = sgn( λ 2 ) ;8) гиперболический параболоидпри sgn( λ 1 ) = − sgn(λ 2 ) ;если′ ≠ 0 , то имеем:α ′34′ = 0, α ′449) мнимый эллиптический цилиндр′ ), iпри sgn(λ i ) = sgn(α ′4410) эллиптический цилиндр′ )при sgn(λ i ) = − sgn(α ′44= 1, 2 ;, i = 1, 2 ;11) гиперболический цилиндрпри sgn(λ 1 ) = − sgn( λ 2 ) ;если же′ = 0 , то имеем:α ′34′ = 0, α ′4412) пару мнимых пересекающихся плоскостейпри sgn( λ i ) = sgn(λ 2 ) ;13) пару пересекающихся плоскостейпри sgn(λ i ) = − sgn( λ 2 ) .434Аналитическая геометрия и линейная алгебраIII.

Второй нецентральный случай:λ1 ≠ 0 и λ 2 = λ 3 = 0 .После переноса начала координат приходим к уравнению′ ξ ′2′ + 2α ′34′ ξ ′3′ + α ′44′ = 0,λ 1ξ1′′ 2 + 2α ′24для анализа которого целесообразно перейти к новому ортонормированному базису по формуламξ1′′′ = ξ1′′ ; ξ′2′′ =′ ξ′2′ + α ′34′ ξ′3′α ′24α ′′ + α ′′224234; ξ′3′′ =′ ξ′3′α ′34′ ξ′2′ − α ′24′ 2 + α ′34′ 2α ′24(что, очевидно, является поворотом в плоскостиOξ 2 ξ 3 ).В итоге получаем уравнение′ 2 + α ′34′ 2 )ξ′2′′ + α ′44′ =0λ 1ξ1′′′ 2 + 2( α ′24и соответствующие ему варианты:если′ ≠ 0 или α ′34′ ≠ 0 , то после переноса начала коордиα′24нат имеем:14) параболический цилиндр;если′ = α ′34′ = 0 , то имеем:α ′2415) пару мнимых параллельных плоскостей′ );при sgn( λ 1) = sgn(α ′4416) пару параллельных плоскостей′ );при sgn(λ 1) = − sgn(α ′44если′ = α ′34′ = α ′44′ = 0 , то имеем:α ′2417) пару совпадающих плоскостей.Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебры435Замечания.

1°. Для классификации конкретной поверхности второгопорядка необходимо сделать преобразование квадратной части уравнения к диагональному виду и выполнить переносы начала координат.2°. Схема исследования кривых второго порядка наплоскости аналогична случаю, рассмотренному дляповерхностей второго порядка.§ 12.3. Аппроксимация функций многочленамиЗадача построения наилучшего (в некотором смысле) приближения заданной на [ a, b] функции f ( τ) линейной комбинацией некоторых других функцийg 0 (τ), g1 (τ), g 2 (τ), ..., g n (τ), ... ,определенных и обладающих более привлекательными (с точки зрения удобства их исследования по сравнению с f ( τ) ) свойствами наτ ∈ [a, b] , достаточно часто встречается в различных приложениях.Ввиду большого разнообразия постановок задач этого класса мыограничимся рассмотрением лишь двух из них, имея целью толькопроиллюстрировать на примере их решения, использование методовлинейной алгебры.Рассмотрим в качестве объекта аппроксимации непрерывную на[−1,1] функцию f (τ) , а в качестве аппроксимирующих функцийвыберем одночлены вида{g k (τ) = τ k , k = [0, n]} .Задача состоит в отыскании алгебраического многочлена, степениnне вышеn , Pn (τ) = ∑ ξ k τ k , который наилучшим образом прибли-жает функциюf ( τ) .k =0Предварительно заметим, что множество непрерывных нафункций образует линейное пространство[−1,1]Λ , элементами которого436Аналитическая геометрия и линейная алгебраg k (τ) , причем Λ∗ – линейная оболочка сово-являются и функции{g k (τ) = τ k , k = [0, n] } есть (n + 1) -мерноеподпространство пространства Λ , в качестве базиса которой можнокупности элементоввзять набор элементов{ g k = g k (τ), k = [0, n] }.Для количественной оценки качества аппроксимации одной функции другой введем в Λ скалярное произведение по формуле1( x , y ) = ∫ x ( τ ) y ( τ ) dτ−1и превратим его тем самым в евклидово пространство E .

Тогда мераблизости элементов x ( τ) и y ( τ) может быть оценена величиной1ρ = x − y = ( x − y, x − y ) =∫ ( x(τ) − y (τ))2dτ−1(называемой обычно расстоянием между x (τ) и y (τ) в E ), которая в силу свойств определенных интегралов равна нулю только вслучае x ( τ) = y ( τ) ∀τ ∈ [−1,1] .Далее для краткости будем опускать аргументы элементов в E , тоесть будем обозначать функцию f (τ) как f ∈ E . Квадрат расстояnния между элементамиf и∑ξk =0nkg k в E равенnρ2 = ( f − ∑ ξk g k , f − ∑ ξk g k ) .k =0Подберем значения коэффициентовk =0ξ k , k = [0, n] так, чтобы вели-чина ρ оказалась минимальной. В силу билинейности скалярногопроизведения получаем2437Г л а в а 1 2 . Прикладные задачи линейной алгебрыnnρ2 = ( f − ∑ ξk gk , f − ∑ ξk gk ) =k =0k =0nnn= ( f , f ) − 2∑ ξ k ( f , g k ) + ∑∑ ξ k ξ i ( g k , g i ),k =0k =0 i =0а из условий равенства нулю частных производных отρ 2 по всем ξ kk = [0, n] , то есть из системы линейных уравненийn∑ξi =0∗i( g k , g i ) = ( f , g k ),k = [0, n] ,находятся оптимальные значения коэффициентов(12.3.1)ξ ∗k , k = [0, n] , прикоторых ρ минимально.

Характеристики

Список файлов книги