Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Но тогда y − y 0 = 2( x − x0 ) ,a 2 y0a y0и, принимая во внимание, что458Аналитическая геометрия и линейная алгебраx02 y 02−= 1 , окончательно получимa2 b2x0 x y 0 y− 2 =1.a2bНаконец, непосредственно проверяем утверждение теоремыдля точек y 0 = 0 , где уравнения касательных имеют видx = ± a.Теорема доказана.Уравнение гиперболы в полярной системе координатПоместим полюс полярнойсистемы координат в правыйфокус гиперболы, а полярнуюось направим по положительной полуоси Ox (рис.

Прил.1.3.2).Тогда для произвольной точкиA , лежащей на правой ветвигиперболы,ρ = r1 = − a + xε == −a + ε (ρ cos ϕ + aε) =Рис. Прил. 1.3.2= −a + ερ cos ϕ + aε 2 .Откудаρ(1 − εcos ϕ) = a(ε 2 − 1) и окончательноρ=p.1 − ε cos ϕ(Сравните эти формулы с выкладками в § 4.6.)459П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскостиПриложение 1.4. Парабола и ее свойстваОпределениеПрил. 1.4.1.Линия, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет видy 2 = 2 px ; p > 0 ,называется параболой.ОпределениеПрил. 1.4.2.Точкаp2называется фокусом параболы.0Прямаяx=−pназывается директрисой парабо2лы.Числоболы.p называется фокальным параметром пара-Свойства параболы иллюстрирует рис.

Прил. 1.4.1, на котором через α обозначим угол между касательной и фокальным радиусом, ачерез β – угол между касательной и положительным направлениемоси абсцисс.Свойства параболы1°. Парабола – неограниченная кривая, существующая∀x ≥ 0;2°. Парабола L обладает осевой симметрией относительно осиOx , что вытекает из отношенияx∈Ly⇔x∈ L,−yочевидного для канонического уравнения параболы.460Аналитическая геометрия и линейная алгебраРис. Прил. 1.4.13°. Для параболы имеет место монотонное возрастание абсолютной величины ординаты при возрастании абсциссы,причем в нуле касательная к параболе вертикальна.ТеоремаПрил.

1.4.1.ПустьA=xесть точка, принадлежащая параyболе L , заданной каноническим уравнением, тогдаимеют место следующие соотношения:p;21°°.r = x+2°°.ρ( A, F )= 1;ρ( A, D)3°°.ρ( M , F )= 1 ⇒ ∀M , M ∈ L ;ρ( M , D)4°°.| FB | = p ;→5°°.∠α = ∠β .П р и л . 1 . Свойства линий второго порядка на плоскости461Доказательство.1°.Имеемr = (x −p 2) + y 2 , используя каноническое2уравнение, получаемp2p+ 2 px = | x + | ,42pно поскольку x ≥ − , приходим сразу к справедли2r = x 2 − px +вости утверждений 1° и 2°.Справедливость 3° докажите самостоятельно.→| FB |= 2 pp= p.24°.Наконец,5°.Доказательство приводится после доказательства теоремы Прил.

1.4.2.Теорема доказана.Замечания о свойствах параболыКаноническое уравнение параболы вида y = ax , изучаемой вкурсе элементарной математики, получается путем взаимного переименования координатных переменных.Из теоремы Прил. 1.4.1 следует возможность альтернативныхформулировок свойств параболы.2Директориальное свойство параболы: парабола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и равно единице.462Аналитическая геометрия и линейная алгебраОптическое свойство параболы: касательная в любой точкегиперболы образует равные углы с фокальным радиусом точкикасания и положительным направлением оси абсцисс. (Каждыйлуч света, выходящий из фокуса параболы, после отражения отпараболы распространяется параллельно ее оси.)Проведение касательных к параболеA=ПустьТеоремаПрил.1.4.2.x0y0есть точка, принадлежащая пара-боле, заданной каноническим уравнением, тогдауравнение касательной к этой параболе, проходящейчерез точку A , имеет видyy 0 = p( x + x0 ) .Доказательство.Уравнение касательной в точкеA имеет видy − y 0 = y ′( x0 )( x − x0 ) .Для параболы из канонического уравнения получаем2 yy ′ = 2 p , то есть y ′( x0 ) =Но тогдачтоy − y0 =p, y0 ≠ 0 .y0p( x − x0 ) , и принимая во внимание,y0y 02 = 2 px0 , окончательно получимyy 0 = p( x + x0 ) .Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремыдля точки y 0 = 0 , где уравнение касательной x = 0 .Теорема доказана.463П р и л .

1 . Свойства линий второго порядка на плоскостиДоказательство свойства 5° теоремы Прил.1.4.1.A естьНаправляющий вектор касательной к параболе в точкеy0p, а вектор фокального радиуса –x0 −p2 . Поэтомуy0p) + py 02=p 22( x0 − ) + y 02y 0 ( x0 −cos α =y +p202Но, с другой стороны, косинус углаy0y 02 + p 2β между векторами10выражается той же формулой. Поскольку углыТеорема доказана.Уравнение параболы в полярной системе координатρ = x+p=2Рис. Прил.1.4.2y0иpα и βострые, то они равны.Поместим полюс полярнойсистемы координат в фокуспараболы, а полярную ось направим по линии, перпендикулярной директрисе и проходящей через ее фокус (рис. Прил.1.4.2).

Для произвольной точкиA , лежащей на параболе,.464Аналитическая геометрия и линейная алгебра=Откудаpp+ ρ cos α + = p + ρ cos ϕ .22ρ(1 − cos ϕ) = p и окончательноpρ=.1 −cos ϕ(Сравните эти формулы с выкладками в § 4.6.)П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка465Приложение 2СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙВТОРОГО ПОРЯДКАВ теореме 4.5.1 были перечислены конкретные типы поверхностейвторого порядка, различие между которыми сохраняется при переходеиз одной декартовой системы координат в другую.

В данном приложении будут рассмотрены основные свойства поверхностей этих типов.Приложение 2.1. Вырожденные поверхностивторого порядкаК вырожденным поверхностям второго порядка относятся типы,указанные в первой части таблицы формулировки теоремы 4.5.1.В первых двух столбцах этой таблицы перечислены типы пустыхмножеств, а также объекты точечно-линейного типа, исследованиекоторых полностью аналогично случаям, рассмотренным в приложении 1, в ортонормированной, канонической системе координат→→→{O, e1 , e2 , e3 } .Первые три типа поверхностей, содержащиеся в третьей колонкетаблицы, являются частными случаями цилиндрической поверхности,образующая которых параллельна прямой x = 0,а направляющими y = 0,служат плоские кривые – эллипс, гипербола и парабола, соответственно расположенные в плоскости Oxy .466Аналитическая геометрия и линейная алгебраОписание свойств невырожденных поверхностей второго порядкабудет также выполнено в ортонормированной системе координат→→→{O, e1 , e2 , e3 } .В общем случае можно показать, что в сечении поверхности второго порядка плоскостью получается кривая второго порядка.

Однакодля описания основных свойств невырожденных поверхностей второго порядка достаточно рассмотреть сечения, параллельные координатным плоскостям.Приложение 2.2. ЭллипсоидОпределениеПрил. 2.2.1.Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением видаx2 y2 z2++= 1 , a > 0, b > 0, c > 0,a2 b2 c2называется эллипсоидом.Свойства эллипсоида1°.

Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что | x | ≤ a ; | y | ≤ b ; | z | ≤ c .2°. Эллипсоид обладает:-центральной симметрией относительно начала координат;-осевой симметрией относительно координатных осей;-плоскостной симметрией относительно координатныхплоскостей.3°. В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осейкоординат, получается эллипс. Например, рассматривая секущуюП р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядкаплоскость467z = z 0 , где z 0 < c , получаем следующее уравнениелинии сечения:x2y2+= 1,z 02 2z 02 2 (a 1 − 2 )(b 1 − 2 )ccz = z0 ,являющейся эллипсом. (Рис. Прил. 2.2.1.)Рис.

Прил. 2.2.1Приложение 2.3. Эллиптический параболоидОпределениеПрил. 2.3.1.Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением вида468Аналитическая геометрия и линейная алгебраx2 y2+= 2 z , a > 0, b > 0,a2 b2называется эллиптическим параболоидом.Свойства эллиптического параболоида1°. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что z ≥ 0 ипринимает сколь угодно большие значения.Рис. Прил. 2.3.12°. Эллиптический параболоид обладает- осевой симметрией относительно оси Oz ;- плоскостной симметрией относительно координатныхплоскостей Oxz и Oyz .П р и л .

2 . Свойства поверхностей второго порядка4693°. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz , получается эллипс, а плоскостями, ортогональнымиосям Ox или Oy – парабола. Например, рассматривая секущуюплоскостьz = z 0 > 0 , получаем следующее уравнение плоскойлинии:x2y2+= 1, (a 2 z 0 ) 2 (b 2 z 0 ) 2z = z0 ,являющейся эллипсом. (Рис. Прил. 2.3.1.) С другой стороны, сечение плоскостью y = y 0 приводит к уравнению линии 2y2 x = 2a 2 ( z − 02 ),2by = y0 ,являющейся параболой. Для случая сечения плоскостьюx = x0уравнение сечения имеет аналогичный вид: 2x2 y = 2b 2 ( z − 0 2 ),2ax = x0 .Приложение 2.4.

Гиперболический параболоидОпределениеПрил. 2.4.1.Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением видаx2 y2−= 2 z , a > 0, b > 0,a2 b2называется гиперболическим параболоидом.470Аналитическая геометрия и линейная алгебраСвойства гиперболического параболоида1°. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность,поскольку из его канонического уравнения следует, что z – любое.Рис. Прил. 2.4.12°. Гиперболический параболоид обладает- осевой симметрией относительно оси Oz ;- плоскостной симметрией относительно координатныхплоскостей Oxz и Oyz .3°.

В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox или Oy , – парабола. (Рис.Прил.2.4.1.)Например, рассматривая секущую плоскость z = z 0 > 0 , получаем следующее уравнение линии сечения:П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядка471x2y2−= 1, (a 2 z 0 ) 2 (b 2 z 0 ) 2z = z0 ,являющейся гиперболой.

Приz 0 < 0 уравнение гиперболы бу-дет иметь видx2y2−= −1, (a − 2 z 0 ) 2 (b − 2 z 0 ) 2z = z0 .С другой стороны, при сечении гиперболического параболоидаплоскостью x = x 0 получаем плоскую кривую: 2x2 y = −2b 2 ( z − 0 2 )2a ,x = x0являющуюся параболой.Для случая сечения плоскостьюy = y 0 уравнение аналогич-но и имеет вид 2y2 x = 2a 2 ( z + 02 ),2by = y0 .Из полученных уравнений следует, что гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдольдругой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы,а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.4°. Гиперболический параболоид имеет два семейства прямолинейных образующих.472Аналитическая геометрия и линейная алгебраЕсли записать уравнение данной поверхности в видеxyxy( a + b )( a − b ) = 2 z ,то можно прийти к заключению, что при любых значениях параметра α точки, лежащие на прямых x y x y a + b = 2α, a − b = 2α,и  x yx yα ( − ) = z α ( + ) = z , a b a bтакже принадлежат и гиперболическому параболоиду, посколькупочленное перемножение уравнений плоскостей, задающих этипрямые, дает уравнение гиперболического параболоида.Заметим, что для каждой точки гиперболического параболоида,существует пара прямых, проходящих через эту точку и целикомлежащих на гиперболическом параболоиде.

Характеристики

Список файлов книги