Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Тогдаi =1ϕ1 = α 11 γ 1 + α 12 γ 2 + α 13 γ 3 = 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( −3) + 7 ⋅ 4 = 18,ϕ 2 = α 12 γ 1 + α 22 γ 2 + α 32 γ 3 = 2 ⋅ 2 + 5 ⋅ ( −3) + 8 ⋅ 4 = 21,ϕ 3 = α 13 γ 1 + α 32 γ 2 + α 33 γ 3 = 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ ( −3) + 9 ⋅ 4 = 26.510Аналитическая геометрия и линейная алгебраТранспонирование тензоровКак уже отмечалось ранее, перестановка местами любой пары ковариантных (или пары контравариантных) индексов у тензора, то естьтранспонирования тензора, вообще говоря, приводит к его изменению, поскольку в определении тензора говорится об упорядоченнойсистеме индексов. При этом новый тензор будет того же типа, что иисходный.В общем случае для группы, состоящей из N верхних (или нижних) индексов, существует N! различных способов перестановок.Это означает, что, переставляя данные индексы, можно построить N!новых тензоров.1 2ЗадачаПрил.
4.3.3.Тензорα ijk задан матрицей3 45 6.7 8Найти матрицу транспонированного тензора.Решение.Данный тензор можно транспонировать по паре контравариантных индексов i и j. После перестановкисоответствующих элементов получаем тензор с матрицей1 32 45 7.6 8Симметрирование и альтернирование тензоровОпределениеПрил. 4.3.5.Тензор называется симметричным относительногруппы (верхних или нижних) индексов, если он неП р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления511меняется при перестановке любых двух индексов,принадлежащих данной группе.ОпределениеПрил.
4.3.6.Тензор называется антисимметричным (или кососимметричным) относительно группы индексов, еслион меняет, в смысле указанного выше определенияравенства тензоров, свой знак на противоположныйпри перестановке любых двух индексов, принадлежащих данной группе.Выделим у тензора группу, состоящую из N индексов (либо верхних, либо нижних), построим путем перестановок индексов даннойгруппы N! всевозможных новых тензоров и возьмем их среднееарифметическое.
В результате мы получим тензор, симметричный повыбранной группе индексов.Данная операция называется симметрированием тензора по группе индексов. Группа индексов, по которой выполняется симметрирование тензора, выделяется круглыми скобками.ПримерПрил. 4.3.4.N =1ξ ( i1 ) = ξ i1 ,N =2ξ ( i1 ,i2 ) =N =3ξ (i1 ,i2 ,i3 ) = {ξ i1 ,i2 ,i3 + ξ i3 ,i1 ,i2 + ξ i2 ,i3 ,i1 +12!(ξ i1 ,i2 + ξ i2 ,i1 ),13!+ ξ i2 ,i1 ,i3 + ξ i3 ,i2 ,i1 + ξ i1 ,i3 ,i2 }......512Аналитическая геометрия и линейная алгебраОперация симметрирования часто комбинируется с умножением,причем имеет место следующий порядок действий: сначала умножение, а потом симметрирование.ПримерПрил. 4.3.5.ξ (i η j ) .Выделим у тензора группу, состоящую из N индексов (либо верхних, либо нижних), построим путем перестановок индексов даннойгруппы N! всевозможных новых тензоров, приписав каждому из них(−1) Б (k 1 , k 2 ,...,k N ) , где Б(k1 , k 2 ,..., k N ) – число беспорядков вперестановке чисел {1,2,..., N } , и возьмем их среднее арифметичезнакское.
В результате мы получим тензор, антисимметричный по выбранной группе индексов.Данная операция называется альтернированием тензора по группеиндексов. Группа индексов, по которой выполняется альтернированиетензора, выделяется квадратными скобками.ПримерПрил. 4.3.6.N =1ξ[i1 ] = ξ i1 ,1N =2ξ [i1 ,i2 ] =N =3ξ[i1 ,i2 ,i3 ] =...2!{ξ i1 ,i2 − ξ i2 ,i1 },1{ξ i ,i ,i + ξ i3 ,i1 ,i2 + ξ i2 ,i3 ,i1 −3! 1 2 3− ξ i2 ,i1 ,i3 − ξ i3 ,i2 ,i1 − ξ i1 ,i3 ,i2 }...513П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисленияОперация альтернирования часто комбинируется с умножением,причем имеет место следующий порядок действий: сначала умножение, а потом альтернирование.ПримерПрил. 4.3.7.ξ[ i η j ] .Заметим, что как симметрирование кососимметричного тензора,так и альтернирование симметричного дает нулевой тензор.1 2ЗадачаПрил. 4.3.4.Тензорα ijk задан матрицей3 45 6. Найти мат-7 8рицы тензоровРешение.1°.
Тензорα (ij ) k , α i ( jk ) и α i[ jk ] .β ijk = α jik , транспонированный к данномупо паре индексов i и j , имеет матрицу1 32 45 7(см. задачу Прил. 4.3.3).6 8Тензорγ ijk = α ikj , транспонированный к данномупо паре индексов j и k , будет иметь матрицу1 53 72 64 8,514Аналитическая геометрия и линейная алгебрав которой элементы первых столбцов блочныхматриц исходного тензора записаны в первойблочной строке.2°.Тогда тензорα (ij ) k имеет матрицу1+12+323+224+452221524=тензор,5+56+727+628+81322251328α i ( jk ) – матрицу1+12+523+324+7221372112=а тензор,5+26+6727+428+8211222α i[ jk ] – матрицу68515П р и л .
4 . Элементы тензорного исчисления1−12−523−324−72200−−3232=.5−26−6327−428−82322200Приложение 4.4. Тензорыв евклидовом пространствеВ случае евклидова пространства тензоры обладают дополнительными специфическими свойствами, обусловленными тем фактом, чтоскалярное произведение есть билинейный функционал, а потому является дважды ковариантным тензором, компоненты которого в любомбазисе совпадают с компонентами матрицы Грама.
Этот ковариантный тензор иногда называют фундаментальным метрическим тензором.Поясним эти свойства следующим примером. Пусть дан базис{g1 , g 2 ,..., g n } в E n и его некоторый элемент x , являющийся одξ i . Свернемiфундаментальный метрический тензор γ ij = ( g i , g j ) с тензором ξ ,новалентным, один раз контравариантным тензоромполучимξ j = γ ij ξ i = ( g i , g j )ξ i = ( g i ξ i , g j ) = ( x, g j ) .Данное равенство означает, что элементзуется в каждом базисеnx однозначно характери-E также и компонентами один раз ковариан-516тного тензораАналитическая геометрия и линейная алгебраξ j .
Числа ξ j называются ковариантными компонен-тами элементаx в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } , и они однозначно опре-деляются обычными контравариантными компонентами элемента x всилу невырожденности матрицы Грама из системы уравненийξ j = γ i j ξi .Таким образом, в евклидовом пространстве исчезает принципиальная разница между ковариантными и контравариантными индексами тензоров. Более того, в ортонормированном базисе ковариантные и контравариантные компоненты элемента x совпадают (см.
теорему 10.3.2).Операция опускания индексаОпределениеПрил. 4.4.1.Пусть в1 2qE n задан тензор типа (q, p ) α i1i2 ...i p , гдеj j ... j• j ... j2qq ≥ 1 . Тензор типа (q − 1, p + 1) β i0i1i2 ...i p называет-ся результатом операции опускания контравариантного индекса1 2qj1 у тензора α i1i2 ...i p , если в каждомj j ... jбазисе имеет место равенство• j ... jβ i0i12i2 ...iqp = γ i0 j1 α i11i2 2...i p q .j j ... jЗаметим, что использование точек для указания порядка следования индексов в этой операции оказывается необходимым, чтобы сделать ее однозначной. Иначе непонятно, куда следует опустить индекс.Операция поднятия индексаОпределениеПрил.
4.4.2.Дважды контравариантный тензор, компоненты которого в любом базисе евклидова пространстваE n сов-517П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисленияпадают с матрицей, обратной матрице Грама, называется контравариантным метрическим тензором.Убедимся вначале, что матрица, обратная матрице Грама, задает в(2, 0) . Имеем Γкаждом базисе тензор типаg′T= SΓgS .Исходя из этого соотношения, получаем следующее правило преобразования обратной матрицы Грама при замене базиса:Γ−1g′=( S= Sпоскольку изΓT−1ΓE = EggS ) −1 = S( ST−1 T) =( SΓgT −1( S)=−1 T) ,=( SSдует, что для невырожденной матрицы( S−1−1 T−1 T) =( SS)STсле-справедливо равенствоT −1) .
А это и означает, что обратная матрицаГрама определяет во всех базисах дважды контравариантный тензорγij .По аналогии с операцией опускания индекса дадимОпределениеПрил. 4.4.3.Пусть в1 2qE n дан тензор типа (q, p ) α i1i2 ...i p , гдеj j ... j0 1 2p ≥ 1 . Тензор типа (q + 1, p − 1) β • i2 ...i pj j j ... jqназыва-ется результатом поднятия ковариантного индекса1 2qi1 у тензора α i1 i 2 ...i p , если в каждом базисе имеетj j ...
jместо равенствоβ •0i21...2i p q = γ i1 j0 α i11i2 ...2 i p q .j j j ... jj j ... j518ЗадачаПрил. 4.4.1.Аналитическая геометрия и линейная алгебраE 2 с фундаментальным метрическим тензором2 3iтензор α • jk задан матрицейγ ij =3 5В3 45 72 5.1 3Найти матрицы тензоровРешение.1°.α ijk и α ijk• .Для опускания первого индекса воспользуемсяформулойα ijk = γ im α •mjk . Получаем2α111 = γ 11α111 + γ 12 α11= 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 = 21,2α112 = γ 11α112 + γ 12 α12= 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 7,α121 = γ 11α121 + γ 12 α 221 = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 7 = 29,α122 = γ 11α122 + γ 12 α 222 = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 3 = 19,2α 211 = γ 21α111 + γ 22 α11= 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 5 = 34,2α 212 = γ 21α112 + γ 22 α 12= 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 = 11,α 221 = γ 21α121 + γ 22 α 221 = 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 = 47,α 222 = γ 21α122 + γ 22 α 222 = 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 3 = 30.Следовательно, матрица тензора21 2934 4771911 30.α ijk имеет вид519П р и л . 4 .
Элементы тензорного исчисления2°.Для поднятия второго индекса следует применитьформулуα ij•• k = α i•mk γ mj , где γ ij – контравари-антный метрический тензор, матрица которого обратна матрице тензора γ ij и имеет вид2 33 5−1=5 −3−32.Поэтомуα11= α1•11 γ 11 + α1• 21 γ 21 = 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 3,• •1α12= α1•11 γ 12 + α1•21 γ 22 = −3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 = −1,• •1α •21•1 = α •211 γ 11 + α •221 γ 21 = 5 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 = 4,α •22•1 = α •211 γ 12 + α •221 γ 22 = 5 ⋅ (−3) + 7 ⋅ 2 = −1,α11= α 1•12 γ 11 + α1• 22 γ 21 = 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 5 = −5,• •2α12= α 1•12 γ 12 + α1•22 γ 22 = 2 ⋅ (−3) + 5 ⋅ 2 = 4,• •2α •21•2 = α •212 γ 11 + α •222 γ 21 = 1 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−3) = −4,α •22•2 = α •212 γ 12 + α •222 γ 22 = 1 ⋅ (−3) + 3 ⋅ 2 = 3.Таким образом, тензорα ijk• имеет матрицу3−14−1−54−43.В ортонормированном базисе очевидно, чтоγ i j = γ i j = δ ij , тоесть между ковариантными и контравариантными индексами нет520Аналитическая геометрия и линейная алгебраникакой разницы, что также следует из равенстваS−1= ST,верного в ортонормированном базисе, и определения тензоров.Приложение 4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
