Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тензорыв ортонормированном базисеСовпадение ковариантных и контравариантных индексов в ортонормированных базисах евклидова пространства позволяет ввести врассмотрение упрощенный класс тензоров, определенных только втаких базисах и называемых евклидовыми тензорами.Два евклидовых тензора считаются одинаковыми, если один изних может быть преобразован во второй операциями опускания илиподнятия индексов. Поэтому можно в дальнейшем рассматривать евклидовы тензоры как имеющие лишь нижние индексы.
При этом, правда, придется допустить суммирование по паре совпадающих ковариантных индексов.При помощи евклидовых тензоров удобно продемонстрироватьсвязь методов тензорного исчисления и аппарата векторной алгебры в3обычном трехмерном векторном пространстве E .Введем предварительно в рассмотрение трехвалентный дискриминантный тензор ε ijk , определяемый во всех ортонормированных базисах по правилуε ijk = (−1) Б(i , j ,k ) , если среди чисел i , j , k нет равных,ε ijk = 0 – в остальных случаях.Б(l , m, n), как и раньше, обозначает число беспорядков в перестановке чисел {l , m, n} (см.
§ 6.1).Всего у тензора ε ijk , антисимметричного по любой паре индексов,Здесь27 компонентов, из которых только шесть ненулевых: три равные 1 итри равные − 1.П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисленияУбедимся вначале, что объект521ε ijk преобразуется при переходе от3одного ортонормированного базиса в E к другому как трижды ковариантный тензор. Запишем выражения для компонентов в новом базисе в явном виде:ε′lmn = σ li σ mj σ nk ε ijk = σ l1σ m 2 σ n 3 + σ l 2 σ m 3 σ n1 + σ l 3 σ m1σ n 2 −− σ l1σ m3 σ n 2 − σ l 2 σ m1σ n3 − σ l 3 σ m 2 σ n1 =σ l1σl 2σl3= det σ m1σ n1σ m2σn2σ m3 ,σ n3что в свою очередь по свойствам определителя даетε′lmn = (−1) Б(l ,m,n ) , если среди чисел l , m, n нет равных,ε′ lmn = 0 – в остальных случаях,поскольку матрицаσ11σ12σ13σ 21σ 31σ 22σ 32σ 23σ 33ортогональная (как матрица перехода от одного ортонормированногобазиса к другому) и ее определитель равен ±1.Но если объект ε ijk в новом произвольном ортонормированномбазисе имеет (при использованных правилах преобразования) те жекомпоненты, что и в исходном, то мы приходим к заключению, чтоэто трехвалентный евклидов тензор.522Аналитическая геометрия и линейная алгебраТензоры и произведения векторовПокажем теперь связь тензорного произведения элементов про3странства E и произведений векторов, введенных в данном пособии(см.
§ 2.2 и § 2.4). Все базисы по-прежнему ортонормированные.Рассмотрим два одновалентных ковариантных тензора ξ i и η k ,которые в аналитической геометрии (что было показано ранее) интер→→претируются как обычные геометрические векторы a и b . Их тензорное произведение ξ i η k есть дважды ковариантный евклидов тензор, имеющий 9 компонентов, записываемых обычно в виде матрицыследующего вида:ξ1η1ξ1η 2ξ1η 3ξ 2 η1ξ 3 η1ξ 2η2ξ 3 η2ξ 2 η3 .ξ 3 η3Согласно правилам сложения тензоров и умножения их на число,данный тензор можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров:ξi ηk =11(ξ i η k + ξ k η i ) + ( ξ i η k − ξ k η i ) ,22или в матричном виде:ξ1η1ξ1η 2ξ 2 η1ξ 2 η2ξ 3 η1ξ3 η2ξ1 η 3ξ1η1 + ξ1η11ξ 2 η3 =ξ 2 η1 + ξ1η 22ξ 3 η3ξ 3 η1 + ξ1η301+ ξ 2 η1 − ξ1η 22ξ 3 η1 − ξ1η3ξ1η 2 + ξ 2 η1ξ1η3 + ξ 3 η1ξ 2 η2 + ξ 2 η2ξ 2 η3 + ξ 3 η 2 +ξ 3 η 2 + ξ 2 η3ξ 3 η3 + ξ 3 η3ξ1η 2 − ξ 2 η1ξ1η3 − ξ 3 η10ξ 2 η3 − ξ 3 η 2 .ξ 3 η 2 − ξ 2 η3Рассмотрим теперь каждое слагаемое по отдельности.0523П р и л .
4 . Элементы тензорного исчисленияВо-первых, отметим, что из симметричности матричного представления для первого слагаемого следует существование ортонормированного базиса, в котором эта матрица диагональна.Теперь покажем, что свертка этого слагаемого есть инвариант, тоесть она не зависит от выбора базиса.Действительно, учитывая, что ξ i и η k суть одновалентные ковариантные тензоры, и используя свойства матрицы переходаS , по-лучим следующее правило преобразования их свертки:ξ′k η′k = σ ki ξ i σ kj η j = σ ikT σ kj ξ i η j = δ ij ξ i η j = ξ i ηi ,что и означает инвариантность этой свертки относительно заменыбазиса.Отсюда следует важный вывод: любой паре элементов (векторов)→→a и b , имеющих соответственно компоненты ξ i и η k в E 3 , мож-но поставить в соответствие не зависящее от выбора ортонормированного базиса число ξ i η i = ξ1η1 + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3 . (См.
также § 2.9.)Выясним геометрический смысл этого инварианта, обозначаемого→→ →→( a , b ) = δ ki ξ i η k . Каковы бы ни были векторы a и b , всегда найдется ортонормированный базис, в котором их координатные представления соответственно имеют вид→b cos ϕ→a→00иb sin ϕ ,0524Аналитическая геометрия и линейная алгебра→где→ϕ – угол между a и b . Тогда значение инварианта равно→ →→ →( a , b ) = a b cos ϕ , и мы приходим к формуле скалярного произведения векторов, которая обычно принимается за его определение.Рассмотрим теперь второе слагаемое. Как нетрудно видеть, матрица0ξ1η 2 − ξ 2 η1ξ1η 3 − ξ 3 η1ξ 2 η1 − ξ1η 2ξ 3 η1 − ξ1η30ξ 3 η 2 − ξ 2 η3ξ 2 η3 − ξ 3 η20имеет только три независимых компонента, из чего следует, что паре→векторов→a и b в E 3 может быть поставлен в соответствие третий→вектор, обозначаемый как→[ a , b ] , с компонентамиξ 2 η3 − ξ 3 η 2ξ 3 η1 − ξ1η3 .ξ1η 2 − ξ 2 η1Исследуем его свойства.
Во-первых, заметим, что число независимых компонентов у кососимметричной части тензорного произведения элементов в случае размерности пространстваn равно(n − 1)n,2поскольку это есть число компонентов, стоящих в матрице над ееE 3 это число3совпадает с размерностью пространства, и только в E произведе-главной диагональю. Отсюда следует, что только внию двух элементов можно подобным образом ставить в соответствиетретий элемент.525П р и л .
4 . Элементы тензорного исчисленияВо-вторых, убедимся, что имеют место соотношения→ →[ a , b ]i = ε ijk ξ j η k .Действительно, например, дляi = 1:ε1 jk ξ j η k = ε111ξ1η1 + ε112 ξ1η 2 + ε113 ξ1η3 ++ ε121ξ 2 η1 + ε122 ξ 2 η 2 + ε123 ξ 2 η3 ++ ε131ξ 3 η1 + ε132 ξ 3 η 2 + ε133 ξ 3 η3 == ξ 2 η3 − ξ 3 η 2 .В-третьих, покажем инвариантность тензораκ i = ε ijk ξ j η k при3переходе от одного ортонормированного базиса к другому в E .Пусть это соотношение в новом ортонормированном базисеκ′i = ε′ijk ξ′j η′k , тогда в исходном базисе будут справедливы равенстваσ is κ s = ε ′ijk σ jm σ kl ξ m ηl . Умножив обе части последнего равенствана тензорσ qi и свернув произведения по индексу i, получимσ qi σ is κ s = σ qi σ jm σ kl ε′ijk ξ m ηl ,ноσ qi σ is κ s = δ qs κ s = κ q , а ε qml = σ qi σ jm σ kl ε′ijk , поскольку тен-зорε ijk инвариантен при переходе от одного ортонормированногобазиса к другому.
Следовательно,κ i = ε iml ξ m ηl , что и означает ин-вариантность этого элемента относительно замены базиса.→Выясним, наконец, геометрический смысл вектора→тим, что для любых векторов3→[ a , b ] . Заме-→a и b можно выбрать ортонормиро-ванный базис в E , в котором их координатные представления имеютвид соответственно526Аналитическая геометрия и линейная алгебра00→→a0→гдеиb cos ϕ ,→b sin ϕ→ϕ – угол между a и b .→Тогда значение первого компонента→→ →[ a , b ] есть a b sin ϕ , вто время как остальные компоненты нулевые, и получилась формулавекторного произведения, принимаемая обычно за его определение.Таким образом, можно заключить, что введенные в курсе векторной алгебры операции скалярного и векторного произведений базируются не только на “их полезности для приложений”, но и отражаютинвариантные свойства тензорного произведения элементов евклидова пространства при переходах между ортонормированными базисами.В заключение покажем, что тензорная символика может быть эффективно использована и для более сложных конструкций векторнойалгебры.
Например:1°.Смешанное произведение трех векторов (см. § 2.6) представимо в виде→ → →→→ →→ →(a , b , c ) = ( a , [ b , c ] ) = ξ i [ b , c ]i = ξ i ε ijk η j κ k = ε ijk ξ i η j κ k .2°.Выражение для двойного векторного произведения трехвекторов (см. § 2.8) может быть получено следующим образом:→→ →→ →[a , [ b , c ] ]i = ε ijk ξ j [ b , c ] k = ε ijk ξ j ε klm ηl κ m == ε ijk ε klm ξ j ηl κ m .527П р и л . 4 .
Элементы тензорного исчисленияПринимая во внимание достаточно легко проверяемуюформулу ε ijk ε klm = δ il δ jm − δ im δ jl , приходим к равенству→→ →[a , [ b , c ] ]i = ε ijk ξ j ε klm ηl κ m = (δ il δ jm − δ im δ jl )ξ j ηl κ m =→ →→ →= ηi ξ m κ m − κ i ξ j η j = ηi (a , c ) − κ i (a , b ) ,или, окончательно,→→ →→ → →→ → →[a , [ b , c ] ] = b (a , c ) − c (a , b ) .528Аналитическая геометрия и линейная алгебраЛИТЕРАТУРА1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейнойалгебры. 10-е изд., испр.
М.: Физматлит, 2005.2. Чехлов В. И. Лекции по аналитической геометрии и линейнойалгебре. М.: МФТИ, 2005.3. Мальцев А. М. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1976.4. Постников М. М. Лекции по геометрии. М.: Наука, 1979.5. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.М.: Наука, 1983.6. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств.
М.:Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956.7. Волков Т. Ф. Тензоры и векторы: учебное пособие. М.: МФТИ,1976.8. Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2001.Предметный указательПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬААлгебраическая линия § 4.1.Алгебраическая поверхность § 4.2.Алгебраическое дополнение элемента матрицы § 6.3.Альтернирование тензоров Прил. 4.3.Аппроксимация функций многочленами § 12.3.Аффинное преобразование плоскости § 5.4.ББазис § 1.5.Базис в пространстве § 1.5.Базис линейного пространства § 7.2.Базис на прямой § 1.5.Базис на плоскости § 1.5.Базисная строка матрицы § 6.5.Базисный минор § 6.5.Базисный столбец матрицы § 6.5.Билинейная форма § 9.1.Билинейный функционал § 9.1.Биортогональный базис § 8.7.ВВектор, множество векторов § 1.3.Векторное произведение векторов § 2.4, Прил. 4.5.Взаимно однозначное отображение § 5.2.529530Аналитическая геометрия и линейная алгебраВзаимно однозначное соответствие (биекция) § 8.4.Взаимный базис § 2.5, § 8.7.Вторичное двойственное (вторичное сопряженное) пространство§ 8.7.Выражение векторного произведения векторов в координатах§ 2.5.Выражение векторного произведения векторов в ортонормированной системе координат § 2.5.Выражение скалярного произведения векторов в координатах§ 2.3.Выражение смешанного произведения векторов в координатах§ 2.7.Выражение скалярного произведения векторов в ортонормированной системе координат § 2.3.Выражение смешанного произведения векторов в ортонормированной системе координат § 2.7.Вырожденная матрица § 5.1.Вырожденные линии второго порядка Прил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
