Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда под таким выражением понимается сумма членов данного вида, выписанных для всех значенийповторяющегося индекса.В случае присутствия в выражении нескольких пар совпадающихиндексов имеет место многократное суммирование.ПримерПрил. 4.2.5.1°. Квадратичный функционал записывается теперьв видеΦ( x) = ϕ ij ξ i ξ j .499П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисления2°.Система линейных уравнений вида α11ξ1 + α12 ξ 2 + ... + α1n ξ n = β1 2 12 22 n2α1 ξ + α 2 ξ + ... + α n ξ = β .............................................α1n ξ1 + α n2 ξ 2 + ... + α nn ξ n = β nс учетом соглашений о тензорных обозначениях записывается просто какα ik ξ i = β k .Используя соглашения о тензорных обозначениях и принимая вовнимание, что числаσ ij и τ ij (компоненты матриц прямого и обрат-ного перехода между базисами{g1 , g 2 ,..., g n } и {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } )являются также компонентами тензоров типа (1,1), сформулируемОпределениеПрил.
4.2.1.Будем говорить, что в вещественном линейном пространстве Λ определен тензор типа ( q, p ) , q разконтравариантный и p раз ковариантный, если вnΛn задан объект, который в каждом базисе характеp +qризуется упорядоченным набором nчиселj1 j2 ... jqξ i1i2 ...i p (где j m ; m = [1, q] – контравариантныеik ; k = [1, p] – ковариантные), изменяющимся при переходе от базиса {g1 , g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g ′n } по законуиндексы иξ′ ij′i′′j′......i′ j ′ = σ ii′ σ ii′ ...σ ii′ τ jj′ τ jj′ ...τ jj′ ξ iji j......i j1 212qp12p12q12p12q1 212pq.500Аналитическая геометрия и линейная алгебраОпределениеПрил. 4.2.2.Число(q + p ) называется валентностью (или ран-гом) тензораОпределениеПрил.
4.2.3.ξi1ji2j2......i pjq .1Два тензора называются равными, если они одного итого же типа и во всех базисах имеют равные компоненты.Замечания. 1°. Для равенства тензоров одного типа достаточно, что-бы их компоненты были равны лишь в некотором базисе, так как из формул пересчета компонентов следует, что эти тензоры будут иметь равные компоненты и в любом другом базисе.2°. Если объект характеризуется одним числом, причемне зависящим от выбора базиса, то его можно считатьтензором типа (0,0).Таблица Прил.
4.2.1Тип объектавΛnЭлемент xТип тензора и его запись в базисе{g1 , g 2 ,..., g n }Одновалентный (одинраз контравариантный)тензор типа (1,0)Линейныйфункционалf ( x)Изменение компоненттензора при переходе кбазису {g1′ , g ′2 ,..., g ′n }ξ′ j = τ ij ξ iξjОдновалентный (одинраз ковариантный) тензор типа (0,1) φ jφ′j = φ i σ ij501П р и л .
4 . Элементы тензорного исчисленияЛинейныйоператорA$Двухвалентный (одинраз контравариантныйи один раз ковариантный) тензор типа (1,1)α′km = τ mj σ ik α ijα ijДвухвалентный (дважды ковариантный) тензор типа (0,2) β jiβ′km = σ kj σ imβ jiКвадратичныйфункционалДвухвалентный (дважды ковариантный) тензор типа (0,2) ϕ jiϕ′km = σ kj σ im ϕ jiСимволКронекераДвухвалентный (одинраз контравариантныйи один раз ковариантный) тензор типа (1,1)δ′km = τ mj σ ik δ ijБилинейныйфункционалB( x, y )Φ( x)1, i = jδ ij = 0, i ≠ j δ jiТаблица Прил.
4.2.1 содержит описание основных тензорных объектов и правил пересчета их компонентов при замене базиса.Отметим, что последний из приведенных в таблице Прил. 4.2.1тензоров – символ Кронекера – во всех базисах имеет компоненты,совпадающие с компонентами единичной матрицы, если считать, чтоверхний индекс этого тензора есть номер строки, а нижний – столбца.Действительно, по определению Прил. 4.2.1 справедливы соотношения1 , i = j ,δ′km = τ mj σ ik δ ij = τ mj σ kj = 0 , i ≠ j.502Аналитическая геометрия и линейная алгебраПоследнее равенство, очевидно, имеет место, поскольку выражениеτ mj σ kj есть результат произведения двух невырожденных, взаимнообратных матриц, компоненты которых совпадают с компонентамитензоровτ mj и σ kj .Замечания о матричной записи тензоровВ ряде случаев тензоры удобно представлять в виде блочных матриц, то есть матриц, элементами которых являются обычные матрицыс числовыми элементами.
При этом примем следующие соглашения:1°.Тензор типатипа(1, 0) записывается матрицей-столбцом. Тензор(0,1) записывается матрицей-строкой.2°.Элементы матриц, используемых для записи тензоров, нумеруются нижними индексами, порядок следования индексовопределен выше, в правиле 2° "Запись тензоров". Обратитевнимание, что при этом запись тензоров валентности большей, чем 1, не будет отражать тип тензора.3°.Первый индекс определяет номер строки в числовой матрице,второй индекс – номер столбца. Третий индекс определяетномер строки в блочной матрице, состоящей из числовыхматриц, четвертый индекс соответственно – номер столбца вблочной матрице.Приведем для иллюстрации общий вид матричной записи тензорачетвертой валентности в двумерном пространстве:α1111α 2111α1121α 2121α1211α 2211α1221α 2221α1112α 2112α1122α 2122α1212α 2212.α1222α 2222503П р и л .
4 . Элементы тензорного исчисленияЗадачаПрил. 4.2.1.x и y линейного пространства Λ сопоставляется число f ( x , y ) , определяеКаждой паре элементов4мое через компоненты этих элементовξ1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 и η1 , η2 , η3 , η 4в стандартном базисе {g1 , g 2 , g 3 , g 4 } по формулеf ( x, y ) = ξ1η 3 + 3 ξ 2 η 4 .Показать, что данное сопоставление определяет тензор, найти его тип, выписать его компоненты в данном базисе.Решение.1°. Очевидно, что данное сопоставление линейно покаждому из аргументов. Найдем закон измененияего компонентов при замене базиса.
Пусть4g i′ = ∑ σ ik g kk =1при переходе от базиса{g1 , g 2 , g 3 , g 4 } к базису{g1′ , g 2′ , g 3′ , g ′4 } . Тогда в силу линейности сопоставления44k =1l =1f ( g i′ , g ′j ) = f (∑ σ ik g k , ∑ σ lj g l ) =44= ∑∑ σ ik σ lj f ( g k , g l ) .k =1 l =1Поскольку компоненты исследуемого объекта в новом базисе выражаются линейно через компонентыв старом, а коэффициентами служат попарные произведения элементов матрицы переходаS , то поопределению Прил.
4.2.1 этот объект является тензором типа (0, 2).504Аналитическая геометрия и линейная алгебраf ( g k , g l ) в исходном2°. Найдем компоненты этого тензорабазисе1g1g=00; g20g=001; g30g=000; g410g=0.01По условию задачиf ( g1 , g 3 ) = 1 ; f ( g 2 , g 4 ) = 3 и f ( g k , g l ) = 0в остальных случаях. Таким образом, искомая матрицатензора имеет вид0 0 1 00 0 0 30 0 0 0.0 0 0 0Приложение 4.3.
Операции с тензорамиВводимые ниже операции с тензорами во всех случаях требуютобоснования того, что результатом каждой из них является также тензор.В рамках данного курса эти утверждения предлагаются в качествеупражнений.Сложение тензоровОпределениеПрил. 4.3.1.Пусть даны два тензора типаβ i11i2 2...i p qj j ...
j. Тензор типа( q, p )1 2q(q, p ) α i1i2 ...i p иj j ... jγ iji j......i j1 212pqназывается505П р и л . 4 . Элементы тензорного исчислениясуммой тензоровα i11i2 2...i p qj j ... jиβ i11i2 2...i p qj j ... j, если в каждомбазисе имеет место равенствоγ i11i2 2...i p q = α i11i2 2...i p q + β i11i2 2...i p q .j j ... jПримерПрил. 4.3.1.j j ... jj j ... jСумма двух линейных операторовα ij и βij , являющих-ся тензором типа (1,1), есть также линейный оператор и,следовательно, тензор типа (1,1)γ ij ,для компонентовкоторого справедливы соотношенияγ ij = α ij + β ij .Умножение тензоров на числоОпределениеПрил.4.3.2.Пусть дан тензор типаТензор типа(q, p ) α i11i2 2...i p q и число λ .j j ... j1 2q(q, p ) γ i1i2 ...i p называется произведе-нием тензораj j ... jα i11i2 2...i p qj j ...
jнаλ , если в каждом базисеимеет место равенствоγ i11i2 2...i p q = λα i11i2 2...i p q .j j ... jЗамечание:j j ... jнетрудно показать, что множество тензоров типа(q, p ) с операциями сложения и умножения на числоявляется линейным пространством размерностиnq + p .Тензорное произведениеОпределениеПрил. 4.3.3.Пусть даны два тензора типа(q, p ) α i11i2 2...i p q и типаj j ... j506Аналитическая геометрия и линейная алгебраβ lk11lk2 2......lskr(r , s )γ i11i2 2...i pl1ql21...2lsj j ... j k k ... k rα i11i2 2...i p qj j ...
jи.Тензортипа(q + r , p + s )называется произведением тензоровβ lk11lk2 2......lskr, если в каждом базисе имеетместо равенствоγ i11i2 2...i pl1ql21...2lsj j ... j k k ... k r= α i1i2 ...i pj1 j2 ... jqβ lk11lk2 2......lskr.Иногда тензорное произведение обозначают символом ⊗.ПримерПрил. 4.3.2.Мы видели, что элементы линейного пространства Λявляются один раз контравариантными тензорами.Найдем их произведение по определению Прил. 4.3.3.nПолучаем, чтоантный тензор.Заметим, x ⊗x ⊗ y = ξ k ηi есть дважды контравариy ≠ y ⊗ x .
Дело в том, что хотя иξ η = η ξ , но упорядочивание компонентов этихkiikтензоров выполняется по-разному. Следовательно, тензорное произведение некоммутативно.ЗадачаПрил. 4.3.1.Определить тип и матрицу тензора ca – тензор типа ( 0,3) с матрицей= a ⊗ b , если1 23 45 67 8тензор типа( 0,1) с матрицей9 10 .и b –507П р и л . 4 .
Элементы тензорного исчисленияРешение.По определению тензорного произведения c есть тензор типа ( 0,4) с матрицей, составленной (с учетомсоглашения о порядке индексов) из поэлементных произведений вида α ijk β l , где α ijk и β l – компонентытензоровa и b соответственно.Таким образом, матрица тензора1⋅ 92 ⋅ 9 1 ⋅ 102 ⋅ 10c имеет вид918 10 203 ⋅ 9 4 ⋅ 9 3 ⋅ 10 4 ⋅ 1027 36 30 40=.5 ⋅ 9 6 ⋅ 9 5 ⋅ 10 6 ⋅ 1045 54 50 607 ⋅ 9 8 ⋅ 9 7 ⋅ 10 8 ⋅ 1063 72 70 80Свертывание тензоровОпределениеПрил. 4.3.4.1 2q(q, p ) α i1i2 ...i p , причемj j ... jПусть дан тензор типаq ≥ 1 и p ≥ 1 . Выберем один верхний (например,jr ) и один нижний (например, i s ) индексы и в записи тензора заменим их обозначения одним и тем жесимволом (например, m ). Тензор типа (q − 1, p − 1)β i11i2 2...i p −q1−1j j ... jназывается сверткой тензорасамα i11i2 2...is ...r i p qj j ...
j ... jпо индек-jr и i s , если в каждом базисе имеет место ра-венствоβ i11i2 2...i p −q1−1j j ... j=α i11i2 2...m...i p q .j j ...m ... j508Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗаметим, что в последнем равенстве правая часть – это сумма nслагаемых, где m – индекс, по которому выполняется суммирование,а само данное тензорное равенство равносильно ( q − 1)( p − 1) скалярным равенствам.ПримерПрил.
4.3.3.Свертка тензора типаоператором(1,1) , являющегося линейнымα , есть тензор типа (0, 0) , то есть инjiвариант относительно замены базиса, имеющий единственный компонент, равныйα mm = α11 + α 22 + ... + α nn .Данное выражение есть сумма диагональных элементов матрицы линейного оператора, которая не меняется при замене базиса. Заметим, что данным свойствомне обладает, например, матрица билинейного функционала.Операция свертки часто комбинируется с операцией умножениятензоров.
Например, результатом произведения один раз ковариантного тензора на один раз контравариантный с последующей сверткойявляется инвариант, представляющий значение линейного функционала вΛn . Действительно, f ( x) = φ i ξ i . В этом случае говорят, чтотензорφi свертывается с тензором ξ k .ЗадачаПрил. 4.3.2.Даны тензоры:a – типа (1,1) с элементами α ij и матрицей1 2 34 5 6 ;7 8 9509П р и л . 4 . Элементы тензорного исчисленияb – типа (1, 0) с элементами β j и матрицей2−3 ;4c – типа (0,1) с элементами γ i и матрицей2 −3 4 .Найти сверткиРешение.1°.α ij β j и α ij γ i .α ij β j –По определению операции свертывания,3тензор типа(1, 0) с компонентами δ i = ∑ α ij β j .j =1Поэтомуδ1 = α 11β1 + α 12 β 2 + α 13 β 3 = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ (−3) + 3 ⋅ 4 = 8,δ 2 = α 12 β1 + α 22 β 2 + α 32 β 3 = 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ (−3) + 6 ⋅ 4 = 17,δ 3 = α 13β1 + α 32 β 2 + α 33β 3 = 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ (−3) + 9 ⋅ 4 = 26.2°.Аналогично,α ij γ i – тензор типа (0,1) с компо3нентамиϕ j = ∑ α ij γ i .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
