Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Эллипс L обладает осевой симметрией относительно осейOx и Oy , а также центральной симметрией относительноначала координат. Это вытекает из отношений−xy∈L⇔xy∈L⇔x∈ L,−yc−x−y∈ L,очевидных для канонического уравнения эллипса.Рис. Прил. 1.2.1ρ( P, Q) расстояние между геометрическими объектами P и Q , а через α и β обозначим углы между касательной и фокальными радиусами – отрезками F1 A и F2 A .Будем обозначать черезП р и л .
1 . Свойства линий второго порядка на плоскостиТеоремаПрил. 1.2.1.ПустьxA=y447есть точка, принадлежащая эллип-су L , заданному каноническим уравнением, тогдаимеют место следующие соотношения:→1)→r1 = | F1 A | = a − ε x ; r2 = | F2 A | = a + ε x ;→→| F1 A | + | F2 A | = 2a ;ρ( A, F1 ) ρ( A, F2 )3)==ε;ρ( A, D1 ) ρ( A, D2 )2)4)ρ( M , F1 )= ε ⇒ ∀M ∈ L ;ρ( M , D1 )5)| F2 B | = p , где F2 B ортогонален оси Ox ;6)∠α = ∠β .→→Доказательство.1°. Имеем (см. рис.
Прил. 1.2.1)r1 = ( x − aε) 2 + y 2 ; r2 = ( x + aε) 2 + y 2 .Тогда, учитывая каноническое уравнение и определениеэксцентриситета, получаем для i = 1, 2 :b2 2ri = ( x ± aε) + y = ( x ± aε) + 2 (a − x 2 ) =a222= ( x ± aε) 2 + (1 − ε 2 )(a 2 − x 2 ) =448Аналитическая геометрия и линейная алгебра= x 2 ± 2 xaε + a 2 ε 2 + a 2 − a 2 ε 2 − x 2 + x 2 ε 2 == a 2 ± 2 xaε + x 2 ε 2 = | a ± ε x | .Но посколькудовательно,| x | ≤ a и 0 ≤ ε < 1 , то a ± ε x ≥ 0 и, сле→→r1 = | F1 A | = a − ε x ; r2 = | F2 A | = a + ε x.2°.
Утверждение 2° очевидно в силу 1°.3°. Далееρ( A, F1 ) a − xερ( A, F2 ) a + xε== ε;== ε.ρ( A, D1 ) aρ( A, D2 ) a−x+xεε4°. Справедливость 4° докажите самостоятельно.5°. Наконец,→| F2 B | =bbba 2 − a 2ε2 = a 1 − ε2 = b = p .aaa6°. Доказательство приводится после доказательства теоремыПрил. 1.2.2.Теорема доказана.Проведение касательных к эллипсуТеоремаПрил. 1.2.2.ПустьA=x0есть точка, принадлежащая элy0липсу, заданному каноническим уравнением,П р и л . 1 .
Свойства линий второго порядка на плоскости449тогда уравнение касательной к этому эллипсу,проходящей через точку A, имеет видx0 x y0 y+ 2 = 1.a2bДоказательство.A имеет видy − y0 = y ′( x0 )( x − x0 ) .Уравнение касательной в точкеДля эллипса из канонического уравнения получаем2 x 2 yy ′+ 2 = 0,a2bто естьy ′( x0 ) = −Но тогдание, чтоy − y0 = −b 2 x0.a 2 y0b 2 x0( x − x0 ) , и, принимая во внимаa 2 y0x02 y 02+= 1 , окончательно получимa2 b2x0 x y 0 y+ 2 = 1.a2bНаконец, непосредственно проверяем утверждение теоремыдля точек y 0 = 0 , где уравнения касательных имеют видx = ± a.Теорема доказана.Доказательство свойства 6° теоремы Прил. 1.2.1.Пусть касательная к эллипсу проведена через точку касанияA,450Аналитическая геометрия и линейная алгебраимеющую координатыF2 с координатамиx0.
Тогда расстояние d 2 от фокусаy0−c0до касательной равно (см. задачу3.2.1):d2 =1 x 0 ( − c ) y 0 ( 0)1 x0 c+ 2 −1 =+1 =2∆∆ a2abr1=x0 ε + a = 2 , где ∆ =∆a∆aАналогично находим расстояниеx02a2+y 02b2.d 1 от фокуса F1 с координа-cтами0до касательной:d1 =r1 x0 c1−1 =x0 ε − a = 1 .2∆ a∆a∆aα и β острые, то из равенствdd11sin α = 1 =и sin β = 2 =r1 ∆ ar2 ∆ aследует ∠α = ∠β .Поскольку углыСвойство 6° теоремы Прил. 1.2.1 доказано.Из теорем Прил. 1.2.1 и Прил. 1.2.2 следует возможность альтернативных формулировок свойств эллипса.Фокальное свойство эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна и равна 2a .П р и л .
1 . Свойства линий второго порядка на плоскости451Директориальное свойство эллипса: эллипс (исключая случайокружности) есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию доданной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы.Оптическое свойство эллипса: касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами точки касания равныеострые углы.
(Любой луч света, исходящий из одного фокуса,после отражения в эллипсе проходит через другой фокус.)Уравнение эллипса в полярной системе координатПоместим полюс полярной системы координат в левый фокус эллипса, а полярную ось направим по линии, соединяющей его фокусы.Для произвольной точки A , лежащей на эллипсе (рис. Прил. 1.2.1.),имеемρ = r2 = a + xε = a + ε (ρ cos ϕ − aε) = a + ερ cos ϕ − aε 2 .Откудаρ(1 − εcos ϕ) == a(1 − ε 2 )и окончательноρ=p.1 − ε cos ϕ(Сравните эти формулыс выкладками в § 4.6.)Рис. Прил.
1.2.2452Аналитическая геометрия и линейная алгебраПриложение 1.3. Гипербола и ее свойстваОпределениеПрил. 1.3.1.Линия, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет видx2 y2−= 1 ; a > 0, b > 0,a2 b2называется гиперболой.ОпределениеПрил. 1.3.2.ε=Числоa2 + b2aназывается эксцентрисите-том гиперболы.Точки± εaназываются фокусами гиперболы.0x=±Прямыеaназываются директрисами гиперεболы.Числоp=b2называется фокальным параметромaгиперболы.Свойства гиперболы1°. Гипербола – неограниченная кривая, существующая для| x| ≥ a, что следует из записи канонического уравнения вформеy=±bx2 − a2 ;aП р и л .
1 . Свойства линий второго порядка на плоскости4532°. Гипербола L обладает осевой симметрией относительноосей Ox и Oy , а также центральной симметрией относительно начала координат. Это вытекает из отношений−x∈Ly⇔x∈Ly⇔x∈ L,−yc−x∈ L,−yочевидных для канонического уравнения гиперболы.Через α и β обозначим углы между касательной и фокальнымирадиусами (рис. Прил. 1.3.1).ОпределениеПрил. 1.3.3.y = u x + v называется асимптотой для линии y = f (x ) при x → ∞ , еслиf ( x)u = limи v = lim( f ( x ) − u x ) .x →∞x →∞xПрямая3°. Гипербола обладает асимптотами видаy=±bx . Дейстabbx 2 − a 2 = ± и, кроме того,x → ±∞ axabbbv = lim (x2 − a2 m x ) =lim ( x 2 − a 2 m x ) =x → ±∞xaaa →±∞вительно,=u = limb(x2 − a 2 ) − x21lim= − ab lim= 0.x → ±∞a x →±∞ x 2 − a 2 ± xx2 − a2 m x454Аналитическая геометрия и линейная алгебраСвойства гиперболы иллюстрирует рис.
Прил. 1.3.1.Рис. Прил. 1.3.1ТеоремаПрил.1.3.1.ПустьA=xyесть точка, принадлежащая гипер-боле L , заданной каноническим уравнением, тогдаимеют место следующие соотношения:1°°. Для правой ветви→r1 = | F1 A | = − a + ε x ;→r2 = | F2 A |= a + ε x( x > a) .Для левой ветви→r1 = | F1 A | = a − ε x ;→r2 = | F2 A | = − a − ε x2°°.| r1 − r2 | = 2a ;( x < −a) ;П р и л .
1 . Свойства линий второго порядка на плоскости3°°.ρ( A, F1 )ρ( AF2 )==ε;ρ( A, D1 ) ρ( A, D2 )4°°.ρ( M , F1 )= ε ⇒ ∀M , M ∈ L;ρ( M , D1 )5°°.| F2 B |= p ;6°°.∠α = ∠β .455→Доказательство.1°.Доказательство аналогично доказательству теоремы Прил.1.2.1, поэтому ограничимся здесь лишь нахождением величинr1 = ( x − aε) 2 + y 2 ;r2 = ( x + aε) 2 + y 2 ,используя каноническое уравнение и определение эксцентриситета. Для i = 1, 2 получаемri = ( x ± aε) 2 + y 2 = ( x ± aε) 2 +b2 2(a − x 2 ) =a2= ( x ± aε) 2 + (1 − ε 2 )(a 2 − x 2 ) == x 2 ± 2 xaε + a 2 ε 2 + a 2 − a 2 ε 2 − x 2 + x 2 ε 2 == a 2 ± 2 xaε + x 2 ε 2 = | a ± ε x | .Но поскольку для гиперболывой ветви→| x | ≥ a и ε > 1 , то для пра→r1 = | F1 A | = − a + ε x ; r2 = | F2 A | = a + ε x,456Аналитическая геометрия и линейная алгебраа для левой соответственно→→r1 = | F1 A | = a − ε x ; r2 = | F2 A| = − a − ε x.Откуда и следует 2° и 3°.Справедливость 4° докажите самостоятельно.5°.
Наконец,→| F2 B | =bbba 2ε2 − a 2 = a ε2 − 1 = b = p .aaa6°. Докажите это утверждение самостоятельно по аналогии сдоказательством свойства 6° теоремы Прил. 1.2.1, используятакже теорему Прил. 1.3.1.Теорема доказана.Замечание о свойствах гиперболыКаноническое уравнение изучаемой в курсе элементарной математики гиперболыy=aполучается путем следующей замены коордиxнат:1x=x′ −21y =x′ +21y ′,21y ′.2Из теорем Прил. 1.3.1 и Прил. 1.2.2 следует возможность альтернативных формулировок свойств гиперболы.Фокальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний откоторых до двух фокусов постоянна и равна 2a .П р и л .
1 . Свойства линий второго порядка на плоскости457Директориальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых доданной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы.Оптическое свойство гиперболы: касательная в любой точкегиперболы образует с фокальными радиусами точки касанияравные углы. (Изображение точечного источника света, расположенного в одном из фокусов, есть мнимое и находится в другом фокусе гиперболы.)Проведение касательных к гиперболеТеоремаПрил. 1.3.2.ПустьA=x0y0есть точка, принадлежащая ги-перболе, заданной каноническим уравнением, тогдауравнение касательной к этой гиперболе, проходящей через точку А, имеет видx0 x y 0 y− 2 =1.a2bДоказательство.Уравнение касательной в точкеA имеет видy − y 0 = y ′( x0 )( x − x0 ) .Для гиперболы из канонического уравнения получаем2 x 2 yy ′− 2 = 0,a2bто есть y ′( x 0 ) =b 2 x0b 2 x0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
