Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Уравнения этих прямых могут быть получены (с точностью до некоторого общегоненулевого множителя) путем подбора конкретных значений параметра α .Приложение 2.5. Однополостный гиперболоид\ОпределениеПрил. 2.5.1.Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением видаx2 y2 z2+−= 1, a > 0, b > 0, c > 0,a2 b2 c2называется однополостным гиперболоидом.Свойства однополостного гиперболоида1°. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность,поскольку из его канонического уравнения следует,П р и л . 2 .

Свойства поверхностей второго порядкачто473z ∈ (−∞, + ∞) .Рис. Прил. 2.5.12°. Однополостный гиперболоид обладает (рис. Прил. 2.5.1)- центральной симметрией относительно начала координат;- осевой симметрией относительно всех координатныхосей;- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.3°. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz , получается эллипс, а плоскостями,ортогональными осям Ox или Oy – гипербола.

Вывод уравнений для линий сечения аналогичен рассмотренным ранее случаям.4°. Однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Записав уравнение данной поверхности в виде474Аналитическая геометрия и линейная алгебраx z x zy2+−=1−( a c )( a c ) b 2 ,можно прийти к заключению, что при любых не равных нулюодновременно α и β , точки, лежащие на прямыхy x z x zα( a + c ) = β(1 − b ),α( a + c ) = β(1 +и  x zyx z β( − ) = α(1 + )β( − ) = α(1 −b a c a cy),by),bбудут принадлежать и однополостному гиперболоиду, посколькупочленное перемножение уравнений плоскостей, задающих этипрямые, дает уравнение однополостного гиперболоида. То естьдля каждой точки однополостного гиперболоида существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих наоднополостном гиперболоиде. Уравнения этих прямых могутбыть получены путем подбора конкретных значений α и β .Приложение 2.6.

Двуполостный гиперболоидОпределениеПрил. 2.6.1.Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат уравнением видаx2 y2 z2−−= 1 , a > 0, b > 0, c > 0,a2 b2 c2называется двуполостным гиперболоидом.Свойства двуполостного гиперболоида1°. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, чтоне ограничен сверху.x ≥a иП р и л . 2 .

Свойства поверхностей второго порядка475Рис. Прил. 2.6.12°. Двуполостный гиперболоид обладает- центральной симметрией относительно начала координат;- осевой симметрией относительно всех координатныхосей;- симметрией относительно всех координатных плоскостей.3°. В сечении двуполостного гиперболоида плоскостью, ортого-Ox , при x > a получается эллипс, аплоскостями, ортогональными осям Oy или Oz , – гипербола.нальной оси координат(Рис. Прил. 2.6.1.)Приложение 2.7. Поверхности вращенияПусть некоторая кривая, расположенная в плоскости Oxz , имеетуравнение F ( x , z ) = 0 .

Если вращать эту кривую вокруг оси Oz , токаждая ее точка будет описывать окружность.476Аналитическая геометрия и линейная алгебраСовокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнениюОпределениеПрил. 2.7.1.F (± x 2 + y 2 , z ) = 0,называется поверхностью вращения.К поверхностям вращения, например, относятся:ПримерПрил. 2.7.1.1°.Эллипсоид вращения2°.x2 + y2 z2+ 2 = 1.a2c2 222Конус вращения k z = x + y .Замечание: поверхности вращения линии второго порядка не всегдазадаются уравнениями второго порядка.Например, если квадратную параболуz 2 = 2 px вра-щать вокруг оси Ox , то получается эллиптический параболоид вращения, однако при вращении этой же кривой вокруг оси Oz получится поверхность, задаваемаяуравнением видаz 2 = ± 2 p x 2 + y 2 или z 4 = 4 p 2 ( x 2 + y 2 ) .Составить уравнение поверхности вращения, получае-ЗадачаПрил.

2.7.1.мой при вращении линииz 2 = 2 px вокруг оси Ox .Решение. Зафиксируем на вращаемой линии точку с координатамиx00 . Линия, получаемая при вращении этой точки воz0круг осисаOx в плоскости x = x0 , есть окружность радиу-z 0 с уравнением y 2 + z 2 = z 02 .П р и л . 2 . Свойства поверхностей второго порядкаС другой стороны,477z 02 = 2 px0 , поэтомуy 2 + z 2 = 2 px0 .x0Наконец, в силу произвольности точки0 , выбраннойz0на линии вращения, получаем, что уравнение поверхностивращения – эллиптического параболоида − естьy 2 + z 2 = 2 px .478Аналитическая геометрия и линейная алгебраПриложение 3КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАРассмотрим двумерное линейное пространство Ω , изоморфное20линейному пространству радиусов-векторов на плоскости, с ортонормированной системой координат {O, g 1 , g 2 } .Каждый элемент z пространстваΩ в некотором базисе одноαзначно задается двухкомпонентным столбцомэлементы пространствавольный элементΩ суть g1 =.

Если базисныеβ10и g2 =, то произ01αпредставляется в видеβ10z=α+β= α g1 + β g 2 .01z=Введем новую операцию – операцию умножения элементов рассматриваемого линейного пространства.ОпределениеПрил. 3.1.Результатом операции умножения элементовz1 =20α1β1иz2 =α2β2Изоморфизм (см § 7.5) в данном случае означает, что операции сравнения,сложения и умножения на вещественное число выполняются в данном множестве так же, как и для векторов на плоскости.479П р и л . 3 . Комплексные числапространствастранстваΩ является элемент этого же про-z1 z 2 =α1α 2 − β1β 2.α1β 2 + α 2β1Двумерное линейное пространствоОпределениеПрил.

3.2.{g1=10,g2 =01Ω с базисом},в котором введена операция умножения элементовсогласно определению Прил. 3.1, называется множеством комплексных чисел, а каждый элементz ∈ Ω – комплексным числом.Замечания.1°.Операция умножения комплексных чисел коммутативна и обладает распределительным свойствомотносительно операции сложения, что следует непосредственно из ее определения.2°. Операция умножения комплексных чисел позволяет ввести операцию деления: частным от деления комплексного числа z1 на ненулевое z 2 называется комплексное числоz ∗ , такое, что∗z1 = z 2 z .3°.

Нетрудно убедиться, что подмножество комплексных чисел видаα, где α – произволь0ное вещественное число, в силу определенияПрил. 3.2 обладает всеми свойствами вещественных чисел, и потому можно говорить, что вещественные числа есть подмножество комплексныхчисел.480Аналитическая геометрия и линейная алгебраНа практике более употребительна специальная, упрощенная форма записи комплексных чисел: в представленииz=α10+β= α g1 + β g 201g1 опускается (заменяется не записываемым явно множителем “единица”), а символ g 2 заменяется символом i (называемымсимволиногда “мнимой единицей”).

Тогда произвольное комплексное числоz представимо как z = α + β i , а записи операций с комплекснымичислами принимают следующий вид:z1 + z 2 = (α 1 + β1i ) + (α 2 + β 2 i ) = (α1 + α 2 ) + (β1 + β 2 )i ;λ z = λ(α + βi ) = (λα ) + (λβ)i ;z1 z 2 = (α 1 + β1i )(α 2 + β 2 i ) = (α 1α 2 − β1β 2 ) + (α 1β 2 + α 2 β1 )i .Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числамиможно оперировать как с обычными алгебраическими двучленами,если принимать во внимание, чтоi 2 = ii = (0 + 1i )(0 + 1i ) =i 2 = −1 , поскольку010−1== (−1) + 0 i = −1 .10Тогда, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя повсюдуi 2 на число (−1) , мы формально приходим к соотношениюz1 z 2 = (α1 + β1i )(α 2 + β 2 i ) = α1α 2 + α 1βi + α 2β1i + β1β 2 i 2 == (α1α 2 − β1β 2 ) + (α1β 2 + α 2β1 ) i,которое согласуется с введенным выше определением Прил.

3.1.Достаточно просто может выполняться также и операция деления:481П р и л . 3 . Комплексные числаz1 α1 + β1i (α1 + β1i )(α 2 − β 2 i )===z 2 α 2 + β 2 i (α 2 + β 2 i )(α 2 − β 2 i )=(α1α 2 + β1β 2 ) + (α 2β1 − α1β 2 )iα 22 + β 22=ОпределениеПрил. 3.3.=α1α 2 + β1β 2 α 2β1 − α1β 2+i.α 22 + β 22α 22 + β 22Для комплексного числаz = α+βi:1°. Вещественное числоственной частьюRe z .α называется вещеz и обозначаетсяβ называется мнимой частью z и обозначается Im z .2°. Вещественное число3°.

Вещественное числозывается модулемz и обозначается z .4°. Вещественное числоcos ϕ =sin ϕ =ρ = α 2 + β 2 наϕ , такое, чтоαα 2 + β2βи,α 2 + β2называется аргументом z и обозначаетсяarg z при условии, что z ≠ 0 .5°. Комплексное число α − β i называетсякомплексно-сопряженным числу z и обозначается z .482Замечания:Аналитическая геометрия и линейная алгебра1°.Определения, аналогичные пунктам 1°, 2° и 5°,могут быть сделаны и для матриц, элементами которых являются комплексные числа.2°.

Поскольку существует взаимно однозначное соответствие множества радиусов-векторов на плоскости и множества комплексных чисел, то комплексные числа можно изображать точками наплоскости.Свойства комплексного сопряженияИмеют место следующие, легко проверяемые свойства для любыхz , z1 , z 2 ∈ Ω :1°.(z ) = z .2°. Число z будет вещественным тогда и только тогда,когда z = z .3°. Число z z = αотрицательное.4°.2+ β 2 всегда вещественное и не-z1 + z 2 = z1 + z 2 ;z1 z 2 = z1 z 2 .n5°. ЕслиPn ( z ) = ∑ α k z k – многочлен с вещестk =0венными коэффициентами, имеющий корень λ ,то этот многочлен также будет иметь и кореньnДействительно, пусть∑αk =0kλk = 0 , тогдаλ.483П р и л .

3 . Комплексные числаnnk =0k =0k0 = 0 = ∑ α k λk = ∑ α k λ .Замечание: если алгебраическое уравнение с вещественными коэф-фициентами имеет комплексные корни, то они попарносопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайнеймере, один вещественный корень.ЗадачаПрил. 3.1.На множестве комплексных чисел решить уравнениеz 2 +1 = 0 .Решение.Переписывая это уравнение, приняв, чтоz = α +β i =αβ, получаемααββ+10=00.Заметим, что здесь мы воспользовались развернутымипредставлениями чисел1 = 1 + 0i =10и0 = 0 + 0i =00.Выполнив умножение и сложение в правой части уравнения, приходим к равенству0α 2 − β2 + 1=.02αβНо поскольку два комплексных числа равны тогда итолько тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части, то мы получаем следующую систему нелинейных уравнений относительно вещественныхнеизвестных α и β :484Аналитическая геометрия и линейная алгебраα 2 − β 2 + 1 = 0, 2αβ = 0,которая, как легко видеть, имеет два решенияα = 0,и β =1α = 0,Поэтому исходное уравнение также имеет дваβ = −1.решенияz1 =00= 0 + 1i = i и z 2 == 0 + (−1)i = −i .1−1Тригонометрическая и экспоненциальная формы записикомплексных чиселИспользуя определение Прил.

3.3, можно получить специальнуюформу записи ненулевых комплексных чисел, называемую тригонометрической:z = α + β i = α 2 + β2 (αα 2 + β2+βα2 + β2i) == ρ(cos ϕ + i sin ϕ) .Тригонометрическая форма записи комплексных чисел аналогичнаописанию точки, изображающей комплексное число, в полярной системе координат.Пусть направляющим элементом полярной оси служит элементg1 =10,а полюс совпадает с началом ортонормированной системы координат{O, g1 , g 2 } .485П р и л . 3 . Комплексные числаТогда-значение модуля комплексного числаz равно ρ – расстоя-нию от начала координат до точки, изображающей данное число,-значение аргумента arg z совпадает с величиной полярногоугла ϕ , отсчитываемого против часовой стрелки, поэтому, согласно определению Прил. 3.3, комплексное числопредставимо в тригонометрической форме:z = α +βiz = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) .Рис.

Прил.3.1Другой часто используемой формой представления комплексныхчисел является их экспоненциальная форма, которая получается преобразованием тригонометрической формы по формуле Эйлера:e iz = cos z + i sin z ∀z ∈ Ω .486Аналитическая геометрия и линейная алгебраВ этом случае изz = α + β i = z (cos ϕ + i sin ϕ)iϕследует, что z = ρ e .Использование экспоненциальной формы записи комплексных чисел может упростить решение некоторых задач, поскольку при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются21.

Например,z1 z 2 = ρ1 eiϕ1ρ2eiϕ 2= ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 + ϕ 2 )или, приняв во внимание, чтоi = 0 + 1i = cosполучимii = (eπiππ+ i sin = e 2 ,22iπ i2)−=eπ2.ЗадачаПрил. 3.2.Найти какое-либо вещественное решение уравненияРешение.Из формулы Эйлера следует, чтоcos x = 5 .cos z =e iz + e −iz2∀z ∈ Ω ,поэтому данное уравнение можно записать в виде21Обоснование обобщения свойств экспоненциальной функции вещественного аргумента на комплексный случай приводится в курсе ТФКП.487П р и л . 3 . Комплексные числаeix+ e −ix2где= 5 или y +1− 10 = 0 ,yy = ei x .Откуда находим, чтоeix= 5 ± 2 6 , то естьi x = ln(5 ± 2 6 ),или окончательноx = − ln 2 (5 ± 2 6 ).488Аналитическая геометрия и линейная алгебраПриложение 4ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯПриложение 4.1.

Характеристики

Список файлов книги