Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Унитарное пространствоДействительно, если принять, чтоa b = b a , тоa λb = λ a b , и очевидно, что при некотором ненулевом a и λ = i :ia ia = (i)(i) a a = (−i ) 2 a a = i 2 a a = − a a ,но тогда либоia ia , либо a a не положительно иаксиома 4° не будет справедливой.В случае же равенстваa b = b a вынос λ из вто-рого сомножителя скалярного произведения выполняется иначе:a λb = λb a = λ b a = λ b a = λ a b ,=поскольку λ = λ , что в рассматриваемом примере приводит к равенствуia ia = ii a a = a a ,которое согласуется с аксиомой 4°.Пример11.1.1.1°.
Пространство n-мерных столбцовξ1ξa= 2 ; b=...ξnη1η2, где ξ i , η i ; i = [1, n]...ηn– комплексные числа, со скалярным произведением,nопределяемым по формулеa b = ∑ ξ i ηi , являетсяi =1унитарным.402Аналитическая геометрия и линейная алгебра2°. Унитарным будет пространство непрерывных на[α, β] комплекснозначных функций вещественного аргумента со скалярным произведениемβa b = ∫ a (τ)b(τ)dτ .αВ унитарных пространствах, как правило, существуют аналоги определений и теорем, справедливых для евклидова пространства. Например, неравенство Коши–Буняковского имеет видaa bb ≥ ab ba .Действительно,aa bb ≥ abВ2конечномерном= ab ab = ab baунитарном∀a, b ∈U .пространствеUnбазис{g1, g 2 ,..., g n } при необходимости может быть ортогонализированпо схеме Грама–Шмидта. Выражение для скалярного произведения вкоординатах аналогично соответствующей формуле в евклидовомпространстве:a b = ξ1ξ2 K ξnΓgη1η2=Kηn= ξ1ξ2 K ξng1 g1g 2 g1Kg1 g 2g2 g2KKKKg1 g ng2 gnKg n g1gn g2Kgn gnη1η2Kηn,403Г л а в а 1 1 .
Унитарное пространствогдеΓg– базисная матрица Грама в унитарном пространствеЗаметим, что посколькувоΓTg= ΓОпределение11.1.2.gU n.g i g j = g j g i , то имеет место равенст-.МатрицаA ,удовлетворяющаясоотношениюA = A , называется эрмитовой.TМатрицаATA , удовлетворяющая соотношениямA = E иA AT= E , называется уни-тарной.Определитель унитарной матрицы есть комплексное число, модулькоторого равен единице.
Действительно,det ( ATA ) = det A= det ATdet A = det A det A =2= det E = 1 .§ 11.2. Линейные операторы в унитарномпространствеДля унитарного пространства справедливы определения, введенные для линейных операторов в главе 10.В данном параграфе будут рассмотрены лишь специфические особенности линейных операторов, действующих в унитарном пространстве.404Аналитическая геометрия и линейная алгебраОпределение11.2.1.$ , действующий в унитарномЛинейный оператор Aпространстве U , называется унитарным (или изометрическим), если ∀a , b ∈U имеет место равенствоAˆ a Aˆ b = a b .унитарный линейный оператор, действующий в конеч-Замечание:nномерном унитарном пространстве U , в ортонормированном базисе имеет унитарную матрицу.Определение11.2.2.+$ , действующий в унитарномЛинейный оператор Aпространстве U , называется эрмитово сопряженнымлинейному операторусто равенствоA$ , если ∀a , b ∈U имеет ме-Aˆ a b = a Aˆ + b .Теорема11.2.1.$ и B$ , действующих вДля линейных операторов Aунитарном пространстве U , справедливы соотношения:$ $ ) + = B$ + A$ + и (λAˆ ) + = λ Aˆ + .( ABДоказательство.Докажем первое соотношение.
Имеем( Aˆ Bˆ )a b = Bˆ a Aˆ + b = a Bˆ + Aˆ + b∀a, b ∈ U .Откуда получаем по определению 11.2.2, что$ $ ) + = B$ + A$ + .( ABАналогично(λAˆ )a b = λ Aˆ a b = λ a Aˆ + b = a λ Aˆ + b ∀a, b ∈ Uдля любого комплексного числаТеорема доказана.λ.405Г л а в а 1 1 . Унитарное пространствоДля эрмитовски сопряженных операторов, действующих в конечномерном пространствеU n , имеет местоA$ + , эрмитово сопряженного оператору A в U , в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } определяетсяТеорема Матрица оператора11.2.2.n$соотношениемAˆ +g= Γ−1AˆTgΓ ,доказательство которой аналогично выводу формулы (10.6.1) для евклидова пространства.§ 11.3.
Эрмитовы операторыОпределение11.3.1.$ , действующий в унитарномЛинейный оператор Aпространстве, называется эрмитово самосопряженным (или просто эрмитовым), еслиA$ = A$ + .Замечание: эрмитов оператор, действующий в конечномерномnунитарном пространстве U , обладает свойствами,аналогичными свойствам самосопряженного оператора в евклидовом пространствеE n . В частности:1°.Собственные значения эрмитова операторавещественны.2°.Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям эрмитова оператора, ортогональны.3°.Для каждого эрмитова оператора существуетортонормированный базис, состоящий из егособственных векторов.406Аналитическая геометрия и линейная алгебра4°. В любом ортонормированном базисе унитарnного пространства Uэрмитов операторимеет эрмитову матрицу.Определение11.3.2.$Собственное значение λ линейного оператора Aназывается вырожденным, если отвечающее ему инвариантное собственное подпространство имеет размерность больше единицы.Приведем формулировки и обоснование наиболее важных свойствэрмитовых операторов.Теорема11.3.1.$ и B$ имеют общую сисДва эрмитовых оператора Aтему собственных векторов тогда и только тогда, ко-ˆ Bˆгда Aруют.= Bˆ Aˆ , то есть когда эти операторы коммути-Доказательство.Aˆ a = λa и Bˆ a = µa , тогдаBˆ Aˆ a = λBˆ a = λµa,Aˆ Bˆ a = µAˆ a = λµa,$ $ − BA$ $ ) a = o .
Пои, вычитая почленно, получим, что ( ABДокажем необходимость. Пустьскольку a – произвольный собственный вектор, то данное соотношение верно и для всей совокупности собственных векторов,а значит, и для любого элемента унитарного пространства, таккак из собственных векторов можно образовать базис. Поэтому$ $ − BA$ $ = O$ .ABДокажем достаточность.
Пусть эрмитовы операторыA$ и B$ˆ a = λa . Рассмотрим слукоммутируют и пусть, кроме того, Aчай лишь невырожденных собственных значений, то есть случай, когда все собственные значения различны.407Г л а в а 1 1 . Унитарное пространствоПокажемтеперь,чтоэлементунитарногопространства$ является собственным вектором оператора A$ . Дейстb = Ba$ $ = BA$$вительно, в силу ABAˆ b = Aˆ Bˆ a = Bˆ Aˆ a = Bˆ λa = λBˆ a = λb .$ кратности единица, тоПоскольку все собственные значения Aλ есть его собственное значение, отвечающее a и b одновре$ Bˆ a = κa . То есть aменно.
Поэтому b = κa и в силу b = Ba– собственный вектор оператора B$ .Теорема доказана.$ коммутирует с каждымЕсли эрмитов оператор AТеорема11.3.2из двух некоммутирующих между собой эрмитовых(овырожоператоров B̂ и Ĉ , то все собственные значениядении).оператораA$ вырожденные.Доказательство.∗Пусть Λ – линейная оболочка элемента f – является одномерным инвариантным собственным подпространством оператораA$ , отвечающим его собственному значению λ кратности еди∗ница.
То есть предположим, что dim Λ = 1 .$ и B$ (по теореме 11.3.1)Из коммутируемости операторов A$ и C$ следует,имеем, что Bˆ f = µ f , а из коммутируемости Aˆ f = λ f справедливы равенчто Cˆ f = κ f . Но тогда в силу AстваAˆ Bˆ f = Bˆ Aˆ f = λµ f , Cˆ Bˆ Aˆ f = λµκ f ,Aˆ Cˆ f = Cˆ Aˆ f = λκ f , Bˆ Cˆ Aˆ f = λµκ f ,Cˆ Bˆ (λ f ) = µκ(λ f ) и Bˆ Cˆ (λ f ) = µκ(λ f ).408Аналитическая геометрия и линейная алгебраВычитая эти равенства почленно, получаем, что( Bˆ Cˆ − Cˆ Bˆ )(λ f ) = o ∀f ∈ Λ∗ ,$ $ − CB$ $ = O$ и операторы B$ и C$ коммутируют. Ното есть BCпоследнее утверждение противоречит условию теоремы, и, следовательно, необходимо допустить существование более чемодного линейно независимого элемента вΛ∗ .Теорема доказана.Таблица 11.3.1Евклидово пространствоУнитарное пространствоПравило выноса константы изпервого сомножителя в скалярном произведении:Правило выноса константы изпервого сомножителя в скалярномпроизведении:(λ a , b ) = λ ( a , b )A$ :( Aˆ a, Aˆ b) = (a, b) ∀a, b ∈ EОртогональный операторОртогональная матрица:ATA = EВ ортонормированном базисе вEnортогональный операторимеет ортогональную матрицуλa b = λ a bУнитарный операторAˆ a Aˆ b = a bA$ :∀a, b ∈UУнитарная матрица:ATA = EВ ортонормированном базисе вU n унитарный оператор имеетунитарную матрицу409Г л а в а 1 1 .
Унитарное пространствоA$ + :Сопряженный операторЭрмитово сопряженный оператор( Aˆ a, b) = (a, Aˆ + b) ∀a, b ∈ EnВ Eсопряженный операторимеет матрицуAˆ +g= Γ−1AˆTgСимметрическая матрица:−1AˆTgΓ∀a, b ∈UAˆ a b = a Aˆ bЭрмитова матрица:= AAВ ортонормированном базисе вEg= ΓЭрмитово самосопряженный (эрмитов) оператор:( Aˆ a, b) = (a, Aˆ b) ∀a, b ∈ ETnВ Uэрмитово сопряженныйоператор имеет матрицуAˆ +ΓСамосопряженный оператор:AA$ + :Aˆ a b = a Aˆ + b ∀a , b ∈U .nT= AВ ортонормированном базисе вU n эрмитов оператор имеет эр-самосопряженный операторимеет симметрическую матрицумитову матрицуИз собственных векторов само-Из собственных векторов эрмито-nсопряженного оператора в Eможно образовать ортонормированный базисnва оператора в U можно образовать ортонормированный базисВ таблице 11.3.1 приведены некоторые понятия и свойства евклидова и унитарного пространств таким образом, чтобы облегчить ихсравнительное сопоставление.410Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 11.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
